1. (**) ¿En las condiciones del triángulo de Napoleón, Qué sucede si los tres triángulos construidos sobre los lados del triángulo ABC son equiláteros? ( S: También se cortan en un punto, punto de Fermat).  
2. (**) Si se construyen triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo ABC cualquiera orientados hacia el exterior, y se construye un nuevo triángulo con sus baricentros, dicho triángulo es equilátero y se llama triángulo de Napoleón exterior. Si los triángulos equiláteros se construyen orientados hacia el interior del triángulo ABC, los baricentros determinan el triángulo de Napoleón interior.  ¿Qué relación existe entre el área del triángulo ABC y las áreas de los dos triángulos de Napoleón? (Solución: El área del triángulo ABC es igual a la diferencia de las áreas de los dos triángulos de Napoleón).
3. (***) Esta propiedad de los triángulos puede generalizarse a otros polígonos. Por ejemplo, comprobar que si sobre cada uno de sus lados de un paralelogramo construimos un cuadrado, los centros de estos cuadrados determinan otro cuadrado. El área de este último es igual a el área del paralelogramo inicial más la mitad las áreas de dos de los cuadrados construidos sobre sus lados.
4. (***) Los griegos consideraban que, entre todos los hombres libres, los geómetras eran los más dignos. Y es que la geometría encarna, como ninguna otra ciencia, las características de la cultura griega: el cultivo de la belleza y búsqueda desinteresada de la verdad. Esta concepción platónica de la matemática ha seguido vigente a lo largo de la historia para muchos científicos en contraposición de los que, como los matemáticos de la Revolución, priman la búsqueda de resultados prácticos:

   "Es cierto que Fourier pensaba que el objeto principal de las matemáticas era el uso público y la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debería saber que el único objetivo de la ciencia es el honor del espíritu humano" (Carl Jacobi).

   En tu opinión, ¿cuál debe ser el papel social de las matemáticas?

BOYER, C. (1992) Historia de la Matemática. Madrid, Alianza Universal.
COXETER, H.S.M. & GREITZER, S. L. (1993) Retorno a la Geometría. "La Tortuga, nº 1". Madrid, DSL-EULER.