(**) En matemáticas, el siglo XVII se asocia con el nacimiento de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal, pero esto no quiere decir sean las únicas áreas de desarrollo. Utilizando la biografía de los matemáticos de este periodo, ¿podrías citar algunos de los grandes avances científicos –y en particular, matemáticos- de este siglo?

(**) ¿Sabrías comprobar el teorema de Viviani cuando el punto es exterior al triángulo? Solución.

(***) Consideremos un triángulo equilátero ABC de lado l. Y dos ejes perpendiculares: la recta que pasa por A y B (eje OX) y la altura trazada desde el vértice C (eje OY). De esta forma cada punto del plano P admite unas coordenadas trilineales (x, y, z) respecto del triángulo ABC, y unas coordenadas cartesianas (x´, y´) respecto de los ejes. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A, B, C y del baricentro del triángulo respecto de ambos sistemas? ¿Qué relación exite entre las coordenadas trilienales (x, y, z) y las coordenadas cartesianas (x´, y´) de un punto P.

(***) Sin duda el matemático francés Pierre de Fermat fue un especialista en proponer problemas de enunciado fácil y demostración endiablada. Todos recordamos el “gran teorema” de Fermat: si n es un entero mayor o igual que 3, la ecuación xⁿ + yⁿ =zⁿ, no tiene ninguna solución (x, y, z) con x, y, z enteros no nulos, que no pudo ser demostrada hasta 1995. Busca información sobre este teorema y su demostración.

(**) Determina el punto de Fermat de un triángulo equilátero y de un triángulo isósceles. ¿Qué propiedades cumple?

(**) Comprueba que el punto de Fermat de un triángulo isósceles se encuentra sobre la recta de Euler de dicho triángulo.

(***) Se denomina bóveda de Viviani a la intersección de una esfera de radio r y un cilindro de revolución de radio r/2 tangente a la esfera. Busca información sobre esta bóveda.

(***) "No existe rama de la matemática por abstracta que sea, que no pueda algún día ser aplicada a los fenómenos del mundo real" (Lobatchevsky). Por ejemplo, el punto de Fermat, puede servirnos para construir una carretera que permita comunicar entre sí tres ciudades A, B, y C con el menor gasto posible. ¿Podrías señalar alguna otra aplicación práctica del punto de Fermat y del teorema de Viviani?

Una demostración del teorema de Viviani y punto de Fermat puede encontrase en:
http://www.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/Torricelli/node1.html

También puede encontrarse una demostración del punto de Fermat utilizando giros en:
COXETER, H. S. M. & GREITZER, S. L. (1993) Retorno a la Geometría. "La Tortuga, nº 1". Madrid, DSL-EULER., pp. 82-83.