En un triángulo cualquiera se cumple:
(1) La circunferencia que pasa por los pies de las alturas, pasa también por los puntos medios de los lados, así como por los puntos medios de los segmentos que unen los vértices del triángulo con el ortocentro.
Esta circunferencia se denomina circunferencia de los nueve puntos, o circunferencia de Feuerbach

• Dibujamos un triángulo cualquiera A, B, C 
• Trazamos las alturas y marcamos los pies de éstas S, T, U y el ortocentro H.
• Marcamos los puntos medios de los lados del triángulo M, N, R
• Marcamos los puntos medios de los segmentos que unen los vértices del triángulo con el ortocentro D, E, F
• Trazamos la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo (cuyo centro O es la intersección de las mediatrices de los segmentos que unen dichos puntos medios). 
• Observamos que esta circunferencia pasa por los nueve puntos citados: S, T, U, M, N, R, D, E, F.

Este teorema fue publicado por primera vez por Poncelet y Brianchon en los Annales de Gergonne en 1820-1821. Sin embargo, la circunferencia de los nueve puntos suele asociarse al matemático alemán Feuerbach quien publicó en 1822 un libro que, además de demostrar que la circunferencia pasa por los nueve puntos, incluía otras propiedades interesantes:

(2) El centro O de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la recta de Euler equidistante del ortocentro H y del circuncentro O'.
(3) La circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita en el triángulo y a las tres exinscritas a él. 

Este último resultado, que se conoce con el nombre de teorema de Feuerbach, fue considerado por Coolidge, "el teorema más bello de la geometría elemental que se ha descubierto desde la época de Euclides" (Boyer, 1992, p. 659).