1. Materiales moldeables.

A mediados de la década de los 80 del pasado siglo, se creó el Programa Prensa-Escuela para promover el uso de la prensa en los medios educativos. Aunque el programa acabó, la utilización de la prensa, posteriormente ampliada con el resto de medios de comunicación, ha continuado siendo un poderoso recurso didáctico en todas las materias, en particular las matemáticas. Incluso el desarrollo de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación han permitido contar con una constante actualización de esa herramienta como potente foco de motivación y almacén de recursos educativos.

Entre los elementos que han gozado de un gran tirón motivador en las aulas de las matemáticas están los pasatiempos de la prensa. Existen multitud de pasatiempos, que prácticamente cubren todo el espectro matemático de la enseñanza obligatoria, y más allá.

Los pasatiempos son muy diversos y, aunque el sudoku ha eliminado casi totalmente otros retos interesantes, es posible conseguir ejemplos de pasatiempos encontrados en periódicos y revistas, pues hay bastante material estudiado sobre el tema.

Lo interesante de los pasatiempos es que se pueden encontrar para distintos niveles educativos y muchos de ellos son adaptables a nuestra situación concreta en el aula, según el tipo de alumnado que tengamos o según en que parte del proceso educativo lo queramos utilizar, bien como introducción a un concepto determinado o para desarrollar y practicar ese concepto. Incluso, los pasatiempos vienen muy bien al comienzo de un tema para repasar los conceptos de años anteriores que necesitamos para afrontar un nuevo elemento.

Esa posibilidad de adaptación es la que vamos a ver en este artículo. Vamos a tomar un pasatiempo en concreto y ver cómo se puede modificar para trabajar distintos conceptos. Al final veremos varios juegos que he creado a partir de este pasatiempo.

2. Pirámides numéricas para la suma.

Las actividades que vamos a ver en este trabajo corresponden a pasatiempos que se pueden encontrar en la prensa o revistas. Vamos a centrarnos en un ejemplo, que consistirá en una pirámide, aunque al no ser tridimensional es más bien una pared de ladrillos superpuestos, o como dice en el primer ejemplo, un muro numérico. En esta estructura, lo más general que se puede encontrar son aquellas pirámides en la que en cada ladrillo se encuentra un número, que es la suma de los números existentes en los dos ladrillos sobre los que se apoya. La imagen anterior está tomada de la sección de pasatiempos de la desaparecida revista CNR, de divulgación científica. En concreto corresponde al número de abril de 2003.

Figura 1: Pasatiempo de la revista CNR

En este tipo de pasatiempos hay que realizar básicamente tres tipos de operaciones. Vamos a estudiarlas con un ejemplo más simple.

Figura 2: Ejemplo de pirámide numérica

Según vemos en las siguientes imágenes, las operaciones a realizar son las siguientes:

a) Podemos tener dos ladrillos contiguos cuyos números conocemos, en ese caso sólo hay que hallar la suma (figura 3).

b) Hay un ladrillo conocido y el que se apoya sobre él, en ese caso basta restar al superior el inferior, para tener el otro ladrillo sobre el que se apoya (figura 4).

c) Los casos más generales suelen ser aquellos en que tenemos una disposición de seis ladrillos en los que conocemos el valor de los extremos. Si nos fijamos en la figura 5, el valor 19 es la suma de los ladrillos sobre los que se apoya, el izquierdo es la suma de 3 más el central, mientras que el derecho es la suma de 6 más el central. Por tanto el extremo superior es la suma de los dos extremos inferiores más dos veces el central. Es decir, 19 = 3 + 6 + 2 veces el central. Luego el central vale 5 y una vez conocido podemos rellenar las casillas que siguen en blanco.

Una vez conocida la dinámica general de operación les animo a resolver el de la figura 1, en el que hay que empezar por el tercer procedimiento.

En el ejemplo anterior hemos visto el caso que suele salir en los pasatiempos de prensa, siempre son sumas de números naturales. Pero esa misma estructura puede cambiarse para adaptarlo a otros tipos de números, de esa forma modificamos el pasatiempo original para adaptarlo al tipo de alumnos que tengamos o al concepto numérico que queramos repasar. Por ejemplo, la cantidad de “pistas”, es decir de los números que ya aparecen en la pirámide, se puede ajustar al nivel del alumnado. Mientras más dificultades tengan los alumnos, más números deben aparecer.

Podemos crear también pirámides donde se trabaje con números enteros, como la siguiente:

Figura 6: Pirámide con números enteros

También hay la posibilidad de cambiar los números para trabajar con fracciones o decimales.

Ya puestos, también podemos trabajar con potencias y raíces, pero eso lo veremos en el apartado siguiente. Y si se quiere se puede incluso trabajar con sumas y restas de números complejos.

3. Pirámides numéricas con el producto.

Si queremos trabajar con la misma estructura de actividad, pero trabajando con potencias y raíces, tenemos que modificar las reglas, pues lo que nos interesará entonces será multiplicar y dividir, en lugar de sumar y restar. Por tanto, hay que completar la pirámide sabiendo que en cada casilla está el producto de los números de las dos casillas sobre las que se apoya.

En esta pirámide se pueden mezclar las potencias desarrolladas junto con las potencias expresadas, es decir, igual podemos trabajar con 81 que con 3⁴.

Figura 9: Pirámide con potencias

En su último libro sobre juegos y pasatiempos, la profesora Ana García Azcárate nos presenta una pirámide en la que existen varias operaciones con potencias. Una versión reducida es la siguiente.

Figura 10: Pirámide con operaciones de potencias

Y para terminar este apartado, veamos uno simple de manejo de radicales.

Figura 11: Pirámide con radicales

4. La escalera de las diferencias.

Una vez vista la posibilidad de cambiar la suma por el producto para trabajar con potencias y raíces, me planteé la posibilidad de cambiar la suma por diferencia, pero me encontré con el problema que, a diferencia de la suma, la diferencia no es conmutativa, por lo que las condiciones tienen que ser más restrictivas y explícitas. Los primeros intentos, manteniendo la estructura de pirámide, complicó un poco la solución porque después aparecía confusiones con las sumas, por lo que decidí darle un giro a la pirámide y convertirla en una escalera.

En la siguiente escalera, el número que hay en cada casilla, es la diferencia del número que hay en su casilla inferior, menos el que está a la izquierda de esa casilla inferior.

Figura 12: Escalera de diferencias

Así, en el ejemplo anterior, debajo del 11 va el 18 ya que 11 = 18 – 7. Y así sucesivamente.

A continuación tenemos otros dos ejemplos, cambiando la distribución de las pistas numéricas.

En el ejemplo de la figura 13 podemos encontrar los procedimientos equivalentes a los apartados a y b que vimos en las explicaciones de las pirámides, en el de la figura 14 habría una operación equivalente a la tercera de las pirámides. Si no es evidente como se resuelve, quizás ayude ver el siguiente apartado.

Una vez que está completa la pirámide es posible comprobar con facilidad que es una pirámide girada. Por ejemplo, en el primer reto que hemos visto, dijimos que 11 = 18 – 7, es decir, la casilla del 18 es la suma del 7 y el 11, e igual con las demás.

5. Con la ayuda del álgebra.

Volvemos de nuevo a las pirámides originales. A veces, para resolverlas no es posible utilizar únicamente las tres reglas que vimos al principio. Por ejemplo, veamos la siguiente pirámide.

Figura 15: Pirámide complicada

Si intentamos aplicar las reglas que vimos para resolver la pirámide, vemos que no podemos conseguir ningún número nuevo. Si nos encontramos en este caso, tenemos que echar mano del álgebra. Basta que en una casilla cualquiera coloquemos una variable, como si conociéramos otro dato, y completemos la pirámide en ese caso. A continuación tenemos el resultado.

Figura 16: Pirámide dependiente de x

Aplicando al final la condición de las casillas, 308 = 219 – 2x + 107 + x = 326 – x. Resolviendo la ecuación nos queda que x debe valer 18, por lo que es posible rellenar completamente la tabla.

Aunque pensemos que el anterior es un ejemplo preparado para clase y poder utilizar el álgebra, a veces nos encontramos con pirámides en la prensa que no tienen una solución fácil de descubrir y que, por tanto, debemos echar mano del álgebra para llegar a la solución. Incluso nos las podemos encontrar en revista infantiles de pasatiempos, como en el antiguo suplemento El Pequeño País, que se entregaba los fines de semana con el diario El País. El siguiente pasatiempo es el del 23 de noviembre de 2008.

Figura 17: Pasatiempo de El Pequeño País

Basta intentar resolverlo para ver que, en un determinado momento, no podemos seguir incluyendo números. Debemos por tanto volver al álgebra y plantear cuántas soluciones distintas hay de este reto, suponiendo que sólo utilizamos números naturales.

En la pirámide siguiente nos aparece en rojo los valores que se pueden obtener directamente del enunciado. Después en verde los que se obtienen fijando una casilla con un valor aún indeterminado x.

Figura 18: Pirámide anterior completa

Tras rellenar la pirámide hay que estudiar para qué valores de x tienen sentido todas las casillas. Si queremos que todos los números que aparezcan sean naturales, la casilla con  –19 + 10·x tendrá sentido siempre que x sea mayor o igual que 2, mientras que la casilla 9 – 4·x sólo tiene sentido si x es menor o igual que 2, por tanto, la solución única se obtiene para x = 2.

6. ¡A jugar tocan!

Para terminar este escrito vamos a ver una serie de juegos basados en la misma estructura de ejercicio que hemos visto anteriormente. Una vez que hemos visto la versatilidad de la actividad para amoldarla a distintos enfoques numéricos y algebraicos, veamos cómo se puede enfocar la misma actividad para realizar una serie de juegos de estrategia. Sin más que tener una mente un poco imaginativa, podemos adaptar otros juegos o inventar enfoques para que se realice un juego en el que puedan participar varios alumnos.

Estos juegos estarían indicados para una vez que se ha trabajado el recurso anterior en el aula. Aunque podemos adaptarlos a cualquiera de las versiones que hemos visto, voy a presentar la versión más simple en que trabajamos con números naturales, o en alguno con enteros, y que la operación base es la suma.

6.1. El desafío.

Este es un juego para tres jugadores. En cada partida, uno de los jugadores hace de árbitro y los otros dos se enfrentan entre sí.

Los dos jugadores que se enfrentan, deben crear un tablero piramidal, con las suficientes pistas para poder ser resuelto. Se intercambian el tablero y cada jugador resuelve la pirámide del contrario. El primero que termina se anota un punto. Gana quien tenga más puntuación al final de seis partidas.

Lo normal es que los jugadores creen un tablero completo y después seleccionen las pistas que van a dejar para que se pueda resolver.

Como se supone que cada jugador ha partido de una pirámide completa es fácil comprobar si el resultado es correcto. La labor del árbitro es comprobar que las dos pirámides tienen solución. Si se comprueba que el que ha perdido tiene una pirámide que no tiene solución, entonces el ganador, que es quien ha creado la propuesta, pierde su punto y se le anota un punto al otro jugador.

Para no favorecer especialmente a los que tienen más velocidad a la hora de realizar las operaciones, se puede modificar la puntuación y darle un punto a todo el que consiga completar su pirámide, o incluso anotar un punto al primero y medio punto al segundo, de forma que todos se lleven algo.

La amplitud de la pirámide con que se trabaja queda a gusto del profesor que indica sus medidas, aunque no es aconsejable proponer pirámides mayores de seis casillas de base, lo ideal son cinco o incluso cuatro al principio y después aumentar.

6.2. Rellenar la pirámide.

Este es un juego para dos jugadores. El tablero será una pirámide vacía de orden cinco o seis. Cada jugador, en su turno, coloca un número aleatoriamente en cualquier casilla. La única condición es que el número que se coloca no puede contradecir la regla de construcción de la pirámide. Por ejemplo, si en una casilla hay un 7, un jugador no puede colocar en una de las casillas que se apoyan en ella un 5, pues es claro que será imposible conseguir ese valor sumándole un número natural a 7.

Pierde el jugador que en su turno no puede escribir ningún valor sin contradecir las reglas de formación de la pirámide.

En la siguiente imagen se puede ver una pirámide en la que no se puede escribir ningún número sin contradecir las reglas de formación de las casillas. Como se puede observar, al seguir sumando desde la parte inferior, al llegar a la tercera fila de casillas es imposible que, sean los números que sean, verifiquen que la suma final sea 21.

Figura 19: Partida bloqueada

6.3. Azul y rojo.

Este es un juego para dos jugadores, uno utiliza un bolígrafo azul y el otro rojo, o de dos colores distintos cualesquiera.

Sobre una pirámide vacía el primer jugador escribe un número cualquiera. El segundo jugador debe escribir un número en una casilla que le permita, con los números ya existentes, completar otra casilla. Una vez que ha completado las dos casillas, si con los números que ha puesto puede completar otra casilla está obligado a hacerlo.

Pasa el turno al otro jugador y se repite este último proceso hasta que se completa la pirámide. Cada jugador escribe el número que pone con su color. Al final, gana el jugador que haya puesto más números con su color.

Veamos el desarrollo de una partida. Comienza el jugador rojo colocando un 3 en una casilla. Sigue el azul colocando bien el 2 o el 5 para completar una tripleta de casillas.

Vuelve a jugar el primer jugador a partir de colocar en una casilla contigua a alguna que ya tenga número.

El segundo jugador completa todo lo que pueda y, por último, el primer jugador puede ya rellenar las casillas que quedan.

Jugada 5

Lo interesante del juego es estudiar la estrategia y ver que el primer jugador gana siempre, haga lo que haga el segundo jugador. Tras jugar varias partidas, se comprueba que, con las reglas establecidas, la cantidad de casilla que se rellenan en cada turno son respectivamente 1, 2, 3, 4 y 5. Como las impares corresponden al primer jugador y las pares al segundo, el primer jugador siempre va a tener 9 números y 6 el segundo.

¿Qué ocurre si el orden de la pirámide, es decir, el número de casillas de la base, es par en lugar de impar?

Otro estudio interesante es cómo podemos modificar las instrucciones para que no exista estrategia ganadora. Por ejemplo, quitando la obligación de tener que rellenar todas las casillas posibles a partir del número escrito. ¿Será posible plantear el juego de forma que sea equitativo?

6.4. El que repite pierde.

En los juegos anteriores hemos trabajado sólo con números naturales, en este caso vamos a jugar con enteros. Puede plantearse para jugar en grupos de cuatro o incluso con toda la clase a la vez.

La idea es rellenar una pirámide, por ejemplo de orden 5, con números, positivos o negativos, de una sola cifra.

Al comenzar se coloca en la casilla superior un número de una sola cifra, por ejemplo el 0. Los jugadores deben ir completando, hacia abajo, las casillas. Es decir, deben dividir cada número en la suma de dos, hasta completar completamente la pirámide. Una vez terminada, se anota un punto por cada número que esté repetido. Gana el jugador que al final tenga menos puntuación.

Un ejemplo de la partida de un jugador puede ser la siguiente. En ella se le adjudicaría cuatro puntos ya que repite el 7, el 2, el -1 y el -2.

Figura 20: El que repite pierde

Si se quiere dar más opciones a los jugadores, se puede dar la opción de que una vez completa la pirámide, sea posible cambiar algunos números antes de presentarla, de esa manera se pueden modificar algunos números que se hayan puesto repetidos.

6.5. El mayor en la cumbre.

Este reto se puede jugar en grupo, por ejemplo de cuatro alumnos. Cada alumno tiene una pirámide vacía de base 5 casillas. El grupo dispone de un dado cúbico que va a ser quien indique los números a utilizar.

Cualquiera del grupo lanza el dado y los jugadores anotan el número obtenido en una de las casillas inferiores. Se vuelve a lanzar el dado hasta completar todas las casillas inferiores. A partir de ahí, los jugadores completan la pirámide. El jugador, o jugadores, que consiguen la máxima puntuación del grupo se anotan un punto. Gana el jugador que tenga mayor puntuación después de cinco partidas.

Otra forma de jugar es que sea el profesor quien lanza el dado y toda la clase juega a la vez. En este caso el problema es que hay muchos jugadores que obtienen el mismo resultado.

Lo interesante de este juego no es la partida en sí, sino el estudio posterior de cuál puede ser la estrategia ganadora. Para ello necesitamos volver de nuevo al álgebra.

Si resolvemos una pirámide en función de unos números iniciales cualesquiera tendríamos lo siguiente:

Figura 21: Pirámide genérica

Observando el resultado en la casilla final, se tiene evidencia de que el número que está en el centro es el que se suma más veces, y los de los extremos los que menos.

De todos modos, el azar puede hacer que si se van rellenando las casillas a medida que van saliendo los números, el resultado obtenido al final no sea la suma óptima.

Referencias bibliográficas.

GARCÍA AZCÁRATE, A. (2012): Pasatiempos y juegos en clase de matemáticas. Números y álgebra. Editorial Avinareta, Madrid.

GARCÍA AZCÁRATE, A. (2015): Pasatiempos y juegos en clase de matemáticas. Funciones, álgebra y números. Editorial Avinareta, Madrid.