Mayo 2019: Vuelta y vuelta
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Escrito por José Muñoz Santonja   
Viernes 31 de Mayo de 2019

1. Introducción.

Dentro del inmenso universo de juegos que podemos encontrar actualmente, existen algunos en los que, durante el desarrollo del juego, podemos girar o incluso dar la vuelta a las fichas con las que jugamos. Suelen ser fichas que tienen distintos colores o distintas funciones según estén en una posición u otra.

De este tipo de juegos, quizás los más conocidos sean los del tipo Othello o Reversi, en donde disponemos de fichas de dos colores, por una cara blanca y por otra negra, de forma que cuando se capturan las del contrario de les da la vuelta para posicionarlas de nuestro color.

En este artículo veremos juegos en los que tenemos son fichas de este tipo reversi o materiales más usuales y cotidianos.

Cuando realizamos experiencias de matemáticas en la calle, suelen ser muy atractivos los juegos solitarios en los que hay que partir de una determinada situación, e intentar llegar a otra con una serie de pasos, es lo que se suele indicar diciendo que un estado B es accesible desde otro estado A mediante una serie de transiciones, como nos indican en el artículo sobre invariantes que hay en la bibliografía.

En esta ocasión vamos a comenzar planteando una serie de juegos solitarios, en los que intentaremos buscar la solución, si la hay, para acabar con un juego de estrategia dentro del mismo tipo de puesta en escena.

2. Arriba y abajo.

Del artículo que he citado antes he sacado el siguiente enunciado, que nos puede servir de puntos de partida para lo que vamos a trabajar en estas páginas.

Sobre una mesa hay 11 vasos, 5 de ellos boca arriba y 6 boca abajo. Un movimiento consiste en escoger dos vasos cualesquiera y voltearlos simultáneamente. ¿Será posible, mediante una sucesión de estos movimientos, dejar todos los vasos boca arriba? ¿Y dejarlos todos boca abajo?

El planteamiento del reto es indiferente del número de vasos existentes, siempre que haya un número par en un sentido y otro impar en el sentido contrario. Es decir, sería igual partiendo de tres vasos boca arriba y dos boca abajo.

La solución es evidente. En el primer caso, sí es posible conseguir todos los vasos colocados boca arriba, basta realizar tres movimientos de los que están boca abajo para conseguirlo.

Sin embargo, en el segundo supuesto es imposible conseguir, moviendo dos vasos cualesquiera a la vez, que todos estén boca abajo. Si en la distribución que tenemos consideramos que n es el número de elementos boca arriba, en cada movimiento podemos pasar a tres situaciones distintas. Si volvemos boca abajo dos vasos, que estén boca arriba, el número que quedará será n–2. Si volvemos hacia arriba dos que estén boca abajo, tendremos boca arriba n+2 vasos. Por último, si volteamos uno de cada tipo, el número de vasos que quedará boca arriba seguirá siendo n. La única forma de llegar a tenerlos todos boca abajo sería que el número total boca arriba fuesen cero, pero al ser n un número impar y sólo poder volver dos, es imposible llegar a la solución pedida.

Generalizando este problema a un enunciado estándar, si tenemos una fila de vasos todos boca abajo y en cada movimiento le damos la vuelta a dos vasos, sólo se podrá llegar al estado con todos los vasos boca arriba si el número de vasos es par, en caso contrario será imposible.

Si queremos conseguirlo, será necesario añadir alguna regla extra como veremos en el juego último que plantearemos.

Como hemos deducido, volteando dos vasos a la vez, que no tienen por qué estar contiguos, es imposible volver completamente una fila de vasos impar. Pero en el siguiente planteamiento vamos a ver lo que ocurre si podemos volver tres.

3. De tres en tres.

Tenemos una fila de vasos todos boca abajo. Realizamos un movimiento que consiste en voltear tres de los vasos, que no tienen que ser consecutivos. ¿Es posible conseguir que toda la fila de vasos quede boca arriba con ese tipo de movimiento? En caso afirmativo, ¿cuál será el mínimo número de movimientos para conseguirlo?

Como es tradicional en la resolución de problemas, antes de la solución general vamos a estudiar casos más simples. Para ello, vamos a estudiar qué ocurre con los casos en los que hay menos vasos. Antes de seguir leyendo, animamos a los lectores a que intenten hallar la solución.

Vamos a desechar la posibilidad de tener uno o dos vasos pues no podríamos aplicar el movimiento.

a) Con tres vasos.

En este caso es trivial, con un solo movimiento volteamos los tres vasos a la vez.

b) Con cuatro vasos.

Si disponemos de cuatro vasos, veamos cómo es posible dar la vuelta a los cuatro con el movimiento permitido. Los pasos a seguir son:

i. Se mueven tres vasos cualesquiera, por ejemplo, los de lugar 1, 2 y 3.
ii. Se mueven el vaso que queda boca abajo y dos de los que están boca arriba, por ejemplo, los vasos 2, 3 y 4. De esa manera nos quedan los dos extremos boca arriba y los dos centrales boca abajo.

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Posición inicial

Paso i

Paso ii

iii. Se mueven los dos vasos boca arriba y uno de los que están boca abajo, por ejemplo los de lugar 1, 2 y 4.
iv. Después del movimiento anterior quedan exactamente tres vasos boca abajo, los 1, 3 y 4, luego con un último movimiento es posible colocar los cuatro vasos boca arriba.

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Paso iii

Paso iv

c) Con cinco vasos.

Cuando se estudian los casos progresivos de un proceso como el que nos ocupa, es normal que a medida que compliquemos el número de elementos, se complique la solución. Sin embargo, en este caso no es así, al trabajar con cinco vasos se simplifica la solución.

Los pasos a seguir son los siguientes vamos a indicar solamente el lugar de los vasos que volteamos, estén como estén en ese momento.

i. Vasos 1, 2 y 3.
ii. Vasos 2, 3, y 4.
iii. Vasos 2, 3 y 5.

En las imágenes siguientes vemos los tres movimientos.

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Posición inicial

Paso i

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Paso ii

Paso iiii

d) Con n vasos.

Podemos generalizar, a partir de lo anterior, para cualquier número de vasos mayor o igual que 3.

Si tenemos n vasos, es número puede ser un múltiplo de tres, un múltiplo de tres más uno o un múltiplo de tres más 2. En todos los casos podemos resolverlo, reduciéndolos a los casos anteriores.

i. Si el número de vasos es múltiplo de tres, podemos voltear grupos de tres vasos y con n/3 movimientos hemos conseguido nuestro objetivo.
ii. Es el número de vasos es múltiplo de tres más uno, podemos separar 4 vasos y el resto, n–4 será múltiplo de tres. Para estos últimos hay que hacer la tercera parte de movimientos y para los cuatro vasos primeros ya hemos visto en el apartado b que necesitamos 4 movimientos. Luego, si tenemos un número de vasos, n, igual a un múltiplo de tres más uno necesitamos Vuelta y vuelta movimientos.
iii. Por último, si tenemos un números de vasos que sea múltiplo de tres más dos, separamos 5 vasos y los restantes, n–5, son múltiplos de tres. Por tanto, el número de movimientos es Vuelta y vuelta.

4. La vuelta del cuadrado.

Vamos a añadir una dimensión al problema anterior. Ahora en lugar de una línea vamos a tener un cuadrado hecho con vasos. El objetivo, igual que en el caso anterior, será pasar del estado inicial con todos los vasos boca abajo a un resultado final con todos los vasos boca arriba. Para ello el movimiento que se puede hacer es volver tres vasos a la vez, pero en esta ocasión vamos a imponer la obligación de que los tres vasos sean contiguos en línea recta, puede ser horizontal, vertical o diagonal.

Como ya comenzamos a tener muchos elementos a mover, en lugar de utilizar vasos solemos usar fichas del Othello o bien elementos que reciclemos de los que utilizamos normalmente en casa. Así vamos a ver la solución utilizando tapones de botellas o de tetrabrik, basta ir guardando las que vayamos utilizando para poder utilizarlas como fichas en cualquier juego que se utilice al aire libre.

Como en el caso anterior animamos a los lectores a buscar ellos mismos las soluciones antes de continuar leyendo.

a) Cuadrado de lado cuatro.

En un cuadrado de lado cuatro tenemos un total de 16 elementos que hay que volver. Partimos de la posición de la imagen.

Vuelta y vuelta

Posición inicial

Como en cada movimiento se pueden volver exactamente 3 elementos, se necesitan como mínimo 6 movimientos para conseguir volverlos todos. Vamos a ver que es posible conseguirlo. Hemos señalado, en cada paso, mediante una línea roja los tres tapones que se voltean en ese paso.

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Paso 1

Paso 2

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Paso 3

Paso 4

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Paso 5

Paso 6

b) Cuadrado de lado cinco.

En este caso, el número de elementos de los que disponemos es de 25. Partimos de la posición inicial siguiente.

Vuelta y vuelta

Posición inicial

Se necesitarían como mínimo un total de 9 movimientos para voltear todos. Yo voy a mostrar una solución en la que se realizan un total de 11 movimientos. Dejo a la investigación de los lectores encontrar un procedimiento con menos pasos.

Para no alargar el proceso los primeros seis pasos lo vamos a hacer directamente. Todos ellos consisten en voltear tres tapones en línea horizontal o vertical. A partir de ese resultado, visto en la imagen del paso 6, continuamos con los siguientes pasos del proceso.

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

6 primeros pasos

Paso 7

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Paso 8

Paso 9

Vuelta y vuelta

Vuelta y vuelta

Paso 10

Paso 11

c) Cuadrado de cualquier lado.

Como el razonamiento es similar al visto en el apartado 3, dejamos para nuestros lectores que hagan un estudio de la posibilidad de voltear un cuadrado de cualquier lado y de hallar el número mínimo de movimientos para conseguirlo.

5. El juego de los cinco vasos.

Para terminar con este artículo vamos a ver un juego de estrategia en el que hay que voltear cinco vasos que están boca abajo y conseguir colocarlos boca arriba. Es un juego para dos jugadores y tiene las siguientes reglas.

i. Cada jugador en su turno puede volver uno o dos vasos.
ii. Si vuelve un solo vaso, éste tiene que estar boca abajo y se coloca boca arriba.
iii.  Si vuelve dos vasos, estos deben estar juntos y el de la derecha, al menos, debe estar boca abajo antes de voltearlos.

Vamos a hacer un estudio de la estrategia para ganar. Como es un buen heurístico en la resolución de problemas, vamos a comenzar estudiando un caso más sencillo y después iremos ampliando a casos más complicados hasta llegar a lo que nos proponen.

Como vamos a estudiar muchos casos, para no liarnos lo mejor es consensuar una notación, de forma que podamos fácilmente ver en cada momento en que situación estamos. Para ello hemos a utilizar la C para indicar cuando un vaso está boca abajo, es decir, cuando nos enseña el culo, y por B cuando está boca arriba y nos enseña precisamente la boca del vaso.

Con la notación anterior, queremos pasar del estado CCCCC al estado BBBBB usando las reglas que hemos visto.

Vamos a suponer que los casos en que hay un vaso o dos son triviales, pues el primer jugador gana, y vamos a comenzar a estudiar por la situación de tener tres vasos.

a) Con tres vasos.

En este caso la estrategia ganadora favorece al primer jugador y debe hacer los siguientes procesos.

Comienza volteando el vaso central y pasa a la situación CBC. Esta situación hace que el siguiente en jugar pierda seguro, haga lo que haga. Veamos sus posibles movimientos:

i. Si voltea uno de los vasos boca abajo, el siguiente jugador voltea el otro que está boca abajo y gana la partida.
ii. Si voltean a la vez los vasos 2 y 3, llega a la situación CCB, con lo que el siguiente jugador le basta volver los dos primeros y gana la partida.

b) Con cuatro vasos.

Ahora gana siempre el segundo jugador con la siguiente estrategia. Veamos todas las maneras de comenzar el primer jugador.

i. Si voltea dos vasos a la vez, pueden ser el 1 y 2, o el 3 y 4. En ambos casos el segundo jugador voltea los complementarios y gana.
Si voltea el 2 y el 3, el segundo jugador basta que voltee los vasos 3 y 4 para llegar a la situación CBCB, que como sabemos por el apartado a, es perdedora para el siguiente jugador, pues el vaso que está a la derecha ya no puede ser movido, y por tanto, la distribución es la misma que CBC.
ii. Si voltea el primer vaso, obtiene BCCC, el segundo jugador voltea el 3º llevando la situación a BCBC. El primer jugador puede hacer lo siguiente:
a)Voltear uno de los que siguen boca abajo y el segundo jugador voltea el otro y gana.
b)Voltear los vasos 3 y 4 quedando la situación en BCCB y el segundo jugador voltea 2 y 3 y gana.
c)Voltear los vasos 1 y 2, quedando ahora CBBC. El segundo jugador voltea 3 y 4 llevando a la situación perdedora CBCB que ya hemos visto en el apartado anterior.
iii. Volteando el segundo vaso, queda la situación en CBCC. Al segundo jugador le basta voltear el 4º para volver a la situación CBCB perdedora para quien le toque jugar.
iv. Volteando el tercer vaso nos encontramos con CCBC. Al segundo jugador le basta voltear el primer vaso para llegar a la situación BCBC, que como hemos visto en el apartado ii es perdedora para quien tenga que jugar.
v. Si voltea el cuarto vaso, directamente pasamos a la situación CCCB que es la misma que hemos visto en el apartado a y gana el jugador que le toca jugar.

c) Con cinco vasos.

En este caso el estudio está prácticamente hecho. Basta que el primer jugador voltee el vaso quinto para llegar a la situación CCCCB, que hemos estudiado en el caso anterior, es perdedora para quien le toque jugar. Luego gana el primer jugador.

d) Generalización.

A veces, el estudio que hacemos de un juego nos lleva a una generalización incorrecta, ya que lo obtenido nos lleva a pensar que la generalización es inmediata.

En este juego, en concreto, hemos visto que cuando tenemos tres y cinco vasos, el jugador con estrategia ganadora es el primero, mientras que si tenemos cuatro gana el segundo. Esto nos puede llevar a pensar que en las distribuciones impares gana el primero, mientras que en las pares gana el segundo. Pero nada más lejos de la realidad. Si jugamos con seis vasos, basta que el primer jugador voltee los vasos 5º y 6º para llegar a la misma situación estudiada en b y es evidente que el segundo jugador, que es quien le toca jugar, pierde la partida.

Dejamos aquí abierto, por tanto, el estudio a una generalización del juego o un estudio más exhaustivo según el número de vasos. Que no digan que se lo damos todo hecho.

6. Para acabar, nuevas perspectivas.

En la película “X + Y” dirigida por Morgan Matthews y estrenada en 2014, se desarrollan sesiones de unas olimpiadas internacionales de matemáticas. En la película hay un juego similar al planteado, aunque es un solitario y se realiza con 20 cartas. En cada jugada se vuelve una carta boca abajo hacia arriba y se voltea la que está a su derecha, esté como esté.

En la resolución del problema, que consistía en si el proceso acabaría se utiliza la notación binaria. Así, si consideramos que los elementos boca abajo se corresponderían con un 1 y los boca arriba con un 0, pasaríamos de una situación 111111 a 000000.

Dejo aquí la idea por si algún lector quiere relacionar el sistema binario con alguno de los juegos que hemos visto. Únicamente hay que tener cuidado porque los números binarios que hemos utilizado en estos juegos estarían escritos al revés, comenzando por las unidades y terminando en las posiciones más complejas.

7. Referencia.

NIETO SAID, J.H. (2015): “Invariantes y Problemas de Olimpiadas”. Revista Escolar de la OIM, 53. Enlace activo el 06/08/2018.

https://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero53/Invariantes.pdf

 

 
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