97. (Mayo 2019) La geometría de la música (V)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Martes 07 de Mayo de 2019

1. Macroarmonía y centralidad

Esta es la última entrega de la serie Geometría y Música, serie que ha consistido en una revisión exhaustiva del libro A Geometry of Music [Tym18], redactado por el compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko. Este autor se ha caracterizado por ser un ferviente partidario de los métodos geométricos del análisis musical. En varios textos suyos aboga por este tipo de métodos y argumenta que son más potentes a la hora de analizar música tonal, atonal y jazz. En la primera entrega [Góm18d] estudiamos las cinco características principales de la música tonal según Tymoczko (el movimiento melódico por grados conjuntos, la consonancia acústica, la consistencia armónica, la macroarmonía limitada y la centralidad). En el segundo artículo [Góm18b] describimos a fondo los modelos matemáticos que usa Tymoczko para el análisis musical. En la tercera entrega [Góm18c] se estudiaron los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. En la cuarta entrega [Góm18a] se trataron la construcción de escalas, las operaciones sobre escalas y la relación entre escala y modulación y conducción de voces.

En el capítulo cinco de Geometría y Música, el autor analiza el concepto de macroarmonía. Lo define como el efecto musical que tiene una sucesión de acordes en su conjunto. No cabe duda de que el efecto que tiene un acorde depende de los acordes que se hayan tocado en los compases anteriores. Tymoczko plantea cuatro cuestiones acerca de la macroarmonía:

  1. La música en cuestión ¿articula una macroarmonía clara aparte del total cromático?
  2. ¿Cuán rápido se producen los cambios de armonía?
  3. ¿Son las macroarmonías de la pieza similares estructuralmente hablando? Otra manera de plantear esta cuestión es si las macroarmonías se pueden relacionar a través de las operaciones estudiadas en las series anteriores.
  4. ¿Son las macroarmonías consonantes o disonantes?

2. Cambios de clases de alturas

Una cuestión que interesa a Tymoczko es cómo cuantificar la macroarmonía. Para ello, investiga el cambio de clases de alturas en piezas de varias tradiciones musicales. Toma un número fijo de notas, al que llama ventana, y se cuentan los cambios de clases de alturas dentro de dicha ventana. El tamaño de la ventana va desde una nota hasta la pieza entera. Así, por ejemplo, en la invención a dos voces en fa mayor de Bach de la figura siguiente, vemos las ventanas de tamaño 3 y 4 para el tema principal. Para tamaño 3, la media es 2,4 y para tamaño 4 es 2,9.

La geometría de la música (V)

Figura 1: Cambios de clases de altura en función del número de notas (figura tomada de [Tym11])

En la figura siguiente se tienen el número medio de clases en función del tamaño de la ventana así como su histograma. Este gráfico nos da una idea aproximada de cuán rápido cambian las armonías a lo largo de la pieza.

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Figura 2: Histograma del cambio de clases de alturas (figura tomada de [Tym11])

La siguiente figura muestra una serie de piezas que recorren varios periodos de la música, desde el Renacimiento con la música de Palestrina (la misa del Papa Marcelo) hasta el opus 27 de Webern, pasando por obras de Mozart, Beethoven, Brahms y Wagner. Las curvas de Palestrina y Webern tienen un cierto parecido; ambas indican que los compositores usaron exhaustivamente ciertas colecciones de notas en un periodo de tiempo relativamente corto. Sin embargo, en el caso de Palestrina se trata de las notas de la escala diatónica y en el caso de Webern las notas de la escala cromática. El hecho de que la curva de Webern se acerque al valor de 12 tan pronto y tan pronunciadamente nos habla del carácter dodecafónico del opus 27. Webern recorre cíclicamente todas las armonías que son posibles dentro de la escala cromática. Viendo estos gráficos se concluye que las piezas son estáticas desde un punto de vista de la macroarmonía.

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Figura 3: Comparación entre los cambios de clases de alturas de varios compositores (figura tomada de [Tym11])

La figura 3 confirma empíricamente un hecho bien conocido en la historia de la música y es que el cromatismo gradualmente fue aumentando con el tiempo. Empezó con tímidas exploraciones en la época del Barroco, fue a más durante el Clasicismo, aumentó fuertemente en el Romanticismo y desembocó en el atonalismo a principios del siglo XX.

Los histogramas se puede usar también para estudiar obras de un mismo autor y ver cómo se comportan los cambios en las clases de alturas. En la figura 4 se ve las curvas de cambio de clases de alturas para nueve estudios de Chopin. El opus 10, número 2, es un estudio con un gran cromatismo, que tras 40 compases ya ha visitado prácticamente el universo cromático. En cambio, el estudio opus 10, número 4, es menos cromático y no pasa de ocho clases de alturas.

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Figura 4: Cambios en las clases de alturas en los estudios de Chopin (figura tomada de [Tym11])

Un análisis similar podemos ver en la figura siguiente, esta vez referido a las clases de alturas en el primer libro de preludios de Debussy. Se puede ver que en el caso de esta obra la tendencia hacia al cromatismo ocurre más lentamente que en el caso de Chopin. Se observa que las curvas se acercan al valor 12 (cromatismo total) para valores mayores de la ventana y también que hay varias obras que no alcanzan ese valor, sino otros inferiores.

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Figura 5: Cambios en las clases de alturas en el primer libro de preludios de Debussy (figura tomada de [Tym11])

Por último, tomemos un compositor menos tonal como puede ser Igor Stravinsky. Abajo tenemos las curvas de cambios de clases de alturas para La consagración de la primavera. Se ha analizado cada sección. Vemos que el Cortejo del sabio es mucho más cromática que las Rondas primaverales. También observamos que los cambios de altura se producen pronto.

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Figura 6: Cambios en las clases de alturas en La consagración de la primavera de Stravinsky (figura tomada de [Tym11])

Sin embargo, estos histogramas no reflejan un hecho importante. Informan de cuán rápido cambian las clases de alturas, pero no informan de las macroarmonías en sí mismas. Estos histogramas no pueden distinguir entre piezas en que se modula rápidamente y piezas no diatónicas, por poner un ejemplo. Hace falta otro tipo de instrumentos de análisis. Dicho instrumento es el perfil macroarmónico global. Dada una pieza se pueden tabular todos los acordes de tres notas, de cuatro notas, y así sucesivamente. Para ilustrar el uso de estos perfiles, consideremos dos piezas de dos autores bastante distintos, Schoenberg y Coltrane. Las piezas a comparar son el opus 11, número 1, del primero y el solo de Giant steps, del segundo. En la figura 7 vemos los perfiles para acordes de seis y siete notas. El eje x del perfil corresponde a la codificación de los acordes de Forte; véase [For77] para una descripción general de los mismos. En realidad, lo que importa es la forma de las curvas en los perfiles. Se puede ver que en ambos perfiles, la música de Schoenberg muestra una distribución más regular de los acordes que la música de Coltrane. Schoenberg no enfatiza ningún acorde en particular, mientras que Coltrane sí lo hace. Desde este punto de vista se puede decir que la pieza de Coltrane es más consistente macroarmónicamente que la pieza de Schoenberg.

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Figura 7: Cambios en las clases de alturas en La consagración de la primavera de Stravinsky (figura tomada de [Tym11])

3. Centralidad

En su libro, Tymoczko reconoce que el concepto de centralidad es elusivo. En muchos pasajes musicales se percibe una nota o una serie de notas como más estables, importantes o destacadas que otras. Es lo que llamamos el centro tonal. Esta definición, aunque popular, no es todo lo operativa que sería deseable. En parte se debe a que el concepto de centralidad comprende dos fenómenos relacionados entre sí: las notas fundamentales y la tonicidad. La nota fundamental de un acorde se suele asignar a la nota más grave del mismo cuando el acorde se dispone como una sucesión de terceras ascendentes. No en todos los contextos es así. Por ejemplo, en el siguiente pasaje vemos una serie de repeticiones de dos acordes superpuestos, do-mi-sol y fa♯-re-mi♭. En este contexto es difícil argumentar que la nota fundamental es fa♯ solo porque es la más grave. La dinámica del pasaje nos hace percibirlo como una transición desde el acorde fa♯-re-mi♭ hasta el acorde do-mi-sol. Esta situación aparece con frecuencia en la música del siglo XX.

La geometría de la música (V)

Figura 8: El problema de la determinación de la fundamental de un acorde (figura tomada de [Tym11])

En análisis musical ha empezado a usarse los perfiles de clases de alturas para representar las diferencias en importancia entre las notas de un acorde. El esquema para construir los es asignar el valor 0 a las notas fuera de la macroarmonía, 1 a las notas dentro de la macroarmonía que son centrales y 2 a las notas que sí son centrales. Por centrales aquí se quiere decir que presenta algún tipo de prominencia musical (discutiremos esto más adelante) . Por ejemplo, el perfil asociado a la música en la figura 8 sería una interpolación entre los dos perfiles siguientes:

La geometría de la música (V)

Figura 9: Perfiles de clases de alturas (figura tomada de [Tym11])

En la figura 10 se puede ver el perfil de clases de alturas para la frase inicial de la sinfonía Júpiter de Mozart. Esta distribución de alturas recuerda claramente a la de la escala de do mayor. Este tipo de histogramas reflejan, sin embargo, solo una parte del fenómeno. Es posible crear sensación de centralidad no solo en base a la repetición de notas, sino a través de otros mecanismos.

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Figura 10: Perfil de clases de alturas para la frase inicial de la sinfonía Júpiter de Mozart (figura tomada de [Tym11])

Tymockzko sostiene en su libro que hay dos tipos de explicaciones para la centralidad, las explicaciones externas y las internas. Las explicaciones externas identifican los mecanismos por los cuales los compositores hacen que ciertas notas sean más importantes que otras. Por ejemplo, esos mecanismos pueden ser tener notas que aparecen con más frecuencia, acentos rítmicos, dinámicos o poniendo énfasis en la textura. Las explicaciones internas, en cambio, se centran en el fenómeno y basta un análisis de la música para determinar qué notas son más importantes que otras. En las explicaciones internas se suele asumir dos principios: (1) una nota es más prominente que otra si es la más grave y forma un intervalo consonante; (2) una nota es más prominente que otra si no forma una disonancia fuerte con ninguna otra nota en la macroarmonía (como una segunda menor o un tritono).

Bibliografía

[For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977.

[Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (iv), consultado en abril de 2018.

[Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018.

[Góm18c] Paco Gómez. La geometría de la música (iii), consultado en enero de 2018.

[Góm18d] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018.

[Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011.

[Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en diciembre de 2018.

 
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