En la columna de octubre cerramos el ciclo sobre la teoría generativa de la música tonal de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff. La expusieron en su libro A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicado en 1983 (en castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao). En los tres primeros artículos ([Góm14a], [Góm14b] y [Góm14c]) hemos glosado la teoría de estos autores en cuanto a sus aspectos descriptivos y formales. Examinamos cómo Lerdahl y Jackendoff describen el agrupamiento y la métrica y presentan las reglas de formación correcta y de preferencia. En este último artículo vamos a entrar en los aspectos analíticos de su libro. En un solo artículo de la extensión habitual de esta columna no podríamos tratarlo en suma profundidad. Daremos una visión de conjunto y remitiremos al lector interesado a los capítulos cinco a diez del libro.

1. Las reducciones en música

La música que escuchamos es el resultado de la compleja interacción entre sus elementos, que son múltiples: ritmo, melodía, armonía, conducción de voces, timbre, textura, forman, etc. Una manera muy frecuente de analizar la música es la reducción. Por reducción se entendemos una eliminación de los elementos no esenciales de manera que nos permitan comprender la música en cuestión. Son típicas las reducciones de una partitura orquestal a piano solo o piano a cuatro manos. En esas reducciones se eliminan los instrumentos que doblan una voz y se recoge únicamente aquel material que nos permite reconocer la pieza como tal, con la mayor parte de su personalidad (hay que alcanzar un equilibrio, pues toda reducción implica cercenar en parte el original). Hay una gran tradición de reducciones en la música tonal como instrumento de análisis. Quizás uno de los más conocidos es el análisis schenkeriano; véase [FG82] para más información. En la figura siguiente se ve una reducción de un conocido coral de Bach.

Figura 1: Reducción de un coral de Bach (figura tomada de [LJ83]).

Como el lector ya se habrá dado cuenta, no hay criterios absolutos a la hora de hacer una reducción; un problema similar aparece en la transcripción musical. Diferentes músicos pueden presentar diferentes reducciones de una misma pieza. En su libro Lerdahl y Jackendoff presentan una serie de criterios para llevar a cabo las reducciones y, por ende, el análisis musical. Esos criterios están en buena parte basados en factores psicológicos.

Como primer paso, los autores formula su hipótesis de reducción. Esa hipótesis establece que el oyente siempre intenta organizar los eventos tonales en un todo coherente de manera que estos se oigan de manera jerárquica. Una vez aceptada esta hipótesis, la reducción consistiría en detectar esa estructura y proceder a una simplificación paso a paso de la música. Lerdahl y Jackendoff, no contentos con esta primera hipótesis de reducción, la enriquecen con dos nuevas condiciones:

1. Los eventos tonales se oyen en estricta jerarquía según se describe en la teoría de los autores (véase [Góm14b]).
2. Los eventos que son estructuralmente menos importantes no se oyen como simples elementos aislados, sino en relación específica a eventos de más importancia.

Volviendo a la figura 1, esta debería leerse de arriba abajo y “cada paso debería sonar como una simplificación natural del anterior” (página 108, [LJ83]). En este punto los autores advierten de una posible confusión conceptual entre importancia estructural y prominencia musical. Con frecuencia ambas coinciden, pero no siempre. Solo la primera, la importancia estructural, es la base de las reducciones que se proponen en la teoría generativa. Por ejemplo, en la partitura de arriba, de la figura 1, el acorde de sol es prominente por la distribución de las voces, pero no tiene una importancia estructural grande y, de hecho, en la segunda reducción ya no aparece. Lerdahl y Jackendoff no desprecian la importancia musical o analítica de los eventos prominentes; sencillamente, las reducciones están pensadas para extraer la estructura generativa —gramatical, diremos—de la música.

2. Las reducciones de la teoría generativa

Lerdahl y Jackendoff rechazan el análisis schenkeriano, basado también en reducciones, por no ser un análisis como tal sino una interpretación hasta cierto punto subjetiva de la música; no obstante, reconocen la importancia del análisis schenkeriano en su momento y los caminos que abrió. Los autores se fijan como objetivo dar un conjunto de criterios para hacer las reducciones y que estos reflejen en la medida de lo posible la experiencia del oyente. Para ello, toman prestado de la lingüística la notación de árbol (si bien avisan que solo es la notación que toman prestada y que hay sustanciales diferencias en significado de estos árboles en ambas disciplinas).

Veamos cómo se construyen estos árboles y su uso como herramienta de análisis musical. Dados dos eventos tonales x e y, si y es una elaboración de x, entonces y es una rama derecha en el árbol tal y como se muestra en la figura 2 (a). Aquí se entiende que el evento y es subordinado al evento x. Si la situación contraria se produce, esto es, que x es una elaboración de y, entonces nos encontramos con una rama izquierda, como muestra la figura 2 (b). Por último, cuando no hay relaciones de dominancia clara entre los dos eventos se produce una ramificación central, como la mostrada en la figura 2 (c).

Figura 2: Ramificaciones en los árboles de reducciones (figura tomada de [LJ83]).

Huelga decir que, de acuerdo a la hipótesis de reducción formulada más arriba, estas ramificaciones tienen que cumplir con las reglas de formación correcta expuestas hasta ahora. Los árboles tienen que cumplir con las restricciones de no solapamiento, adyacencia y recursión que vimos en los tres primeros artículos de esta serie. En la figura 3 (a) a (d), vemos una serie de árboles que violan algunas de las reglas de formación correcta. Por ejemplo, en los árboles de (a) y (b) se ve que el principio de no solapamiento no se respeta puesto que hay cruces entre las ramas de los árboles. En el árbol (c) tenemos que un mismo evento tiene más de una rama, situación que está prohibida también. Finalmente, en (d) vemos un evento aislado que no recibe rama, y eso está prohibido igualmente. Los árboles (e) a (h) son árboles correctos.

Figura 3: Ejemplos de árboles de reducción (figura tomada de [LJ83]).

En la figura 4 podemos apreciar la reducción del coral de Bach más arriba junto con su correspondiente árbol de reducción. Los niveles de abstracción crecen según se va desde las hojas o nodos finales del árbol hasta su raíz.

Figura 4: Un coral de Bach junto con su árbol de reducción (figura tomada de [LJ83]).

Lerdahl y Jackendoff pronto se dan cuenta que su método de análisis se quedaría corto si sus métodos de reducción se basasen únicamente en criterios tonales. Indudablemente, hay muchos aspectos musicales de importancia subordinados al ritmo o al menos cuya interacción con el ritmo desempeña un papel esencial. En consecuencia, agrupamiento y métrica se incorporan al modelo de reducciones. En la figura 5 tenemos la primera frase de la sonata número 11 en la mayor KV. 331 de Mozart con el árbol de reducción y la estructura métrica y de agrupamiento en la parte de abajo.

Figura 5: Análisis de una frase (figura tomada de [LJ83]).

Por último, Lerdahl y Jackendoff sentían que el modelo tal cual estaba especificado hasta aquí tenía todavía serias limitaciones. En particular, notaban que no explicaba la música en un sentido más horizontal. Ciertamente, explicaba con detalle los eventos tonales pero a cierto nivel local, digamos, a nivel de segmento. No explicaba, sin embargo, cómo fluía la música de un segmento a otro. Los autores ampliaron su sistema de reducción introduciendo un nuevo tipo de reducciones, las llamadas reducciones de prolongación. Por falta de espacio, en este artículo no entraremos en la descripción de las reducciones de prolongación (véanse los capítulos 8 y 9 de su libro).

3. Conclusiones

En estos cuatro artículos hemos hecho un recorrido sucinto por la A Generative Theory of Tonal Music de Lerdahl y Jackendoff, obra en la que se presenta una formalización de la música tonal y su análisis. En esa formalización hemos encontrado elementos típicamente matemáticos. Ha habido voluntad de abstracción, la cual se ha construido desde un procedimiento inductivo; ha habido afán de rigor; y hemos evidenciado una voluntad de autocrítica constante (en ese sentido el texto muestra muy claramente el camino mental que ha llevado a los autores a la construcción de su teoría). Asimismo, hemos visto en la teoría objetos tan matemáticos como recursión (en la descripción del agrupamiento y la métrica), la especificación de una sintaxis y, en general, de una gramática. Esto es muy similar a, por ejemplo, definir un lenguaje formal en computación o describir la lógica proposicional o de predicados.

Incluso aunque la formalización detrás de la teoría generativa no haya sido muy alta, es indudable que hay pensamiento matemático en su construcción. Es un ejemplo más de dónde podemos encontrar matemáticas en la música.

Bibliografía