1. Introducción

Este artículo es la tercera y última entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas. Hemos usado como fuente de inspiración el libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica). En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). En la segunda entrega, estudiamos a fondo el concepto de distribución de máxima regularidad. En el libro de Johnson se explica a partir de una definición enumerativa y nosotros presentamos una definición basada en el algoritmo de Euclides. En esta última entrega, vamos a aplicar todo lo anterior a la generación de escalas y acordes de máxima regularidad. Aunque recordaremos conceptos y notaciones, en este artículo se dará por sentado que el lector está familiarizado con el contenido de las dos anteriores entregas.

2. Distribuciones regulares de notas en los 12 semitonos de la octava

Empezamos fijando la octava y dividiéndola en 12 semitonos. Estudiaremos las distribuciones regulares para 3, 4, 5, 6, 7 y 8 notas en una octava.

2.1. Distribuciones de 3 notas

Estas distribuciones corresponden a las habituales triadas en música. Aunque es obvia la distribución más regular de 3 notas sobre 12 notas, por completitud, aplicaremos el algoritmo de Euclides para hallarla (consúltese la entrega de enero en caso de duda). Como hemos hecho hasta ahora, las notas se designan por unos y los semitonos sin notas por ceros.

Figura 1: Distribución regular para triadas.

Esta distribución corresponde a la serie [x . . . x . . . x . . ], o escrito en notas a do-mi-sol# (si tomamos do como nota base). Estamos ante una triada aumentada, un acorde con dos terceras mayores encadenadas, que hace que la quinta esté aumentada en medio tono. En principio, este acorde no aparece de manera natural en la escala diatónica. Sin embargo, su uso en la música de la práctica común es corriente, especialmente para crear tensión o suspense musical. Bach, por ejemplo, recurre a la triada aumentada en Ach Gott, vom Himmel sieh darein, BWV 2 (¡Oh, Dios, míranos desde el cielo), así como otros compositores tales como Haydn (en su cuartetos para cuerda), Beethoven (en la novena sinfonía), Brahms, Schubert, Listz o Wagner. Durante el Romanticismo, en que la modulación por terceras se vuelve habitual, este triada se emplea como acorde paso.

2.2. Distribuciones de 4 notas

Las distribuciones de 4 notas dan acordes de séptima de dominante.

Figura 2: Distribuciones regulares para acordes de cuatro notas.

El acorde tiene la forma [x . . x . . x . . x . . ], o traducido a notas, do-mib-fa#-sib. Este acorde recibe el nombre de acorde de séptima disminuida, y está compuesto por 4 terceras menores consecutivas. Durante buena parte del periodo de la práctica común este acorde, debido a su simetría y a la presencia de la quinta disminuida, se consideró disonante e inestable desde el punto de la estabilidad tonal. Posteriormente, este acorde se incorporó al vocabulario de la armonía moderna. Bach lo usa, por ejemplo, en su Tocata y fuga en re menor, en varios momentos, pero es llamativo en la introducción con ese acorde disminuido do#-mi-sol-sib, que escala a lo largo de dos octavas, majestuoso, premonitorio, sobre un pedal de la tónica re, y al que sigue un pasaje en prestissimo que son arpegiaciones de ese mismo acorde (minutos 0:00 a 0:48 en el vídeo de abajo).

Vídeo de la Tocata y fuga en re menor BWV 565, de Bach.

En la música popular o en el jazz este acorde aparecen en progresiones de acordes; por ejemplo, en la legendaria pieza I got rhythm, de los hermanos Gershwin.

2.3. Distribuciones de 5 notas

En este punto abandonamos el mundo de los acordes y nos introducimos en el de las escalas. La mayoría de los acordes se forman con 3 o 4 notas; a partir de 5 notas se considera que la distribución corresponde a una escala. Las distribuciones de 5 notas dan escalas pentatónicas.

Figura 3: Distribución regular para las escalas pentatónicas.

La escala resultante es [x . . x . x . . x . x . ], o expresado en notas, do-mib-fa-lab-sib. Como vimos en el artículo del mes pasado, la rotación de una distribución regular de notas conserva esta propiedad. De modo que, en realidad, tenemos cinco escalas resultantes; las mostramos en la siguiente tabla:

Tabla 1: Escalas pentatónicas obtenidas por distribuciones regulares.

2.4. Distribuciones de 6 notas

La escala de 6 notas dan una única escala, que exhibe una simetría muy aguda, la escala de tonos enteros. Como 6 es divisor de 12, la distribución regular es [x . x . x . x . x . x .],o escrita en notas do-re-mi-fa#-sol#-la#. Esta escala es peculiar porque no tiene nota sensible ni quinta justa, por lo que muchas de sus funciones armónicas han desaparecido. Compositores clásicos y de jazz han usado esta escala puntualmente para dar color orquestal o para transmitir sentimientos oscuros. Los nacionalistas rusos -Borodin y Glinka-, los impresionistas -Debussy- y las vanguardias de principio del siglo XX -Alban Berg- emplearon esta escala en sus obras. John Coltrane en el jazz recurrió a esta escala.

2.2. Distribuciones de 7 notas

Una elección de 7 notas sobre los 12 semitonos de una octava da una escala heptatónica, las cuales forman la base de la música de muchas culturas.

Figura 4: Distribuciones regulares de 7 notas.

La escala obtenida es [x . x x . x . x x . x .]. De nuevo, tenemos que considerar todas las rotaciones de esta escala, que siguen siendo distribuciones regulares. La escala más usada, al menos en Occidente, es la escala mayor. Las rotaciones de esta escala reciben el nombre de modos. Musicalmente, cada modo tiene sus características y su sabor. Consideraremos las rotaciones a partir de la escala mayor, que se llama modo jónico. En la tabla de abajo 2 significa un tono y 1 un semitono.

Tabla 2: Escalas heptatónicas obtenidas a partir de distribuciones regulares.

2.4. Distribuciones de 8 notas

La escala de 8 notas o escala octatónica aparece en la música de la práctica común a partir del Romanticismo. La escala octatónica más común es la que alterna tono y semitono o viceversa. Como una distribución regular se puede obtener como sigue:

Figura 5: Distribuciones regulares de 8 notas.

Esta escala tiene la expresión [x . x x . x x . x x . x] o escrita en notas do-re-re#-fa-fa#-sol#-la-si-do. Esencialmente, hay dos escalas octatónicas que son regulares: la que acabamos de escribir, que alterna tono-semitono, y esta otra [x x . x x . x x . x x .] o do-reb-mib-mi♮-solb-sol♮-la-sib-d. Esta escala se empezó a usar por la escuela rusa, aunque se encuentran precedentes en otros autores tales como Listz. Rimsky-Korsakov la empleó de modo notable en algunas de sus obras, pero es Stravinsky en su época de los ballets rusos quien explora más a fondo las posibilidades expresivas de esta escala. Tan carismático es el empleo que hace Stravinsky de la escala octatónica que un acorde basado en ella se conoce como el acorde Petrushka:

Figura 6: El acorde Petrushka.

En la Danza del sacrificio de la elegida de La consagración de la primavera se puede ver cómo utiliza Stravinsky esta escala (minuto 3:36 hasta final en el vídeo de abajo).

Vídeo de La consagración de la primavera, de Stravinsky.
Danza del sacrificio de la elegida .

A partir de Stravinsky la escala se popularizó y la encontramos en autores contemporáneos -desde Bartók y Barber hasta Zappa- y, por supuesto, en el jazz.

3. El teorema de los tonos comunes

De entre todos los modos anteriores, el correspondiente a la escala mayor es el más común en Occidente (y en otras culturas también). Una de las razones para esta popularidad es la facilidad de modulación (de cambio de tonalidad) que permite esa escala. Las modulaciones naturales al oído se hacen entre dos tonalidades vecinas, esto es, que comparten el mayor número de tonos entre sí. En su libro Johson observa una propiedad de la escala mayor que explica esa relación de vecindad entre las tonalidades. Tomamos prestada de su libro la figura 1.11 de la página 41, en la que muestra una escala de re mayor sobre el círculo cromático y un recuento de las distancias entre las notas de dicha escala.

Figura 7: Distancias en una escala mayor.

En la tabla situada al final de la figura vemos el número de veces que ocurre cada distancia c, para c=1,...,6. Llamemos a ese número n(c). Johnson advierte que cuando se cambia de tonalidad en c grados de la escala, el número de tonos en común entre la primera escala y la transpuesta es exactamente n(c). Por tanto, la tonalidad más cercana -entendiendo cercana como el máximo número de tonos en común- será la que esté a cinco grados de distancia, esto es, el quinto grado, la escala de la. En efecto, la escala de re mayor y la mayor tienen seis grados en común. La siguiente escala más cercana es la que está a distancia dos y que corresponde a n(2)=5; esto es el segundo grado, es decir, mi. Este resultado es llamado el teorema de los tonos comunes.

Otra propiedad interesante que posee la escala mayor es la de ser una escala de multiplicidad única (deep scale en inglés). Eso significa que cada distancia aparece una única vez, como se puede apreciar en la tabla de la figura 6.

4. Conclusiones

El libro de Johnson contiene mucho más material que el glosado tan brevemente en estos tres artículos. Es un ejemplo de cómo se puede incorporar las ciencias, en particular las matemáticas, a la enseñanza de la música. Y no estoy hablando desde una perspectiva forzada, sino desde las verdaderas conexiones que hay entre ambas disciplinas. Sin embargo, esto no será posible mientras no haya un cambio de mentalidad en los profesores de música y mientras no haya un cambio de actitud en los redactores de los planes de estudio actuales.

Bibliografía

• [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.
• Wikipedia. The common tone theorem. Accedido en febrero de 2013.