35. (Abril 2012) Polígonos regulares y percusión
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Miércoles 11 de Abril de 2012

1. Los ritmos de sombra

En la columna de este mes voy a ilustrar lo que he descrito como muchas veces como hacer matemáticas a partir de una excusa musical. Esto es perfectamente lícito siempre y cuando no se engañe al lector -y el autor mismo- respecto a su significado musical. No hay nada malo en tomar un fenómeno musical y extraer de él una estructura matematizable y, a partir de ella, hacer matemáticas. El problema es cuando se recorre el camino contrario y se afirma que las matemáticas que se han obtenido explican o rigen la música.

En muchos instrumentos de percusión, la dinámica (el volumen al que tocas) se controla con la altura de la baqueta o de la mano. Lo hemos visto muchas veces en las orquestas clásicas, cuando un redoble del timbalero empieza muy bajito y luego sube el volumen. Al principio, las mazas suben un poquito, pero más tarde el recorrido es mucho mayor. Esta técnica, que aparece igualmente en la percusión africana, en el flamenco o en el jazz, aprovecha la caída de la maza para controlar la dinámica. En el vídeo de más abajo, podemos apreciar esa técnica.

Esto produce una asociación entre la actividad motriz de golpear la piel del timbal y el propio ritmo. Para autores como el musicólogo Jay Rahn [Rah96] el punto álgido al que llega la maza antes de volver a la piel forma otro ritmo, silencioso, pero igualmente importante, que ayuda a mantener la precisión rítmica del ritmo que se oye. Rahn lo llama la la sombra del ritmo. En ritmos de clave, esto es, ritmos que se repiten a lo largo de toda una obra (la clave son, por ejemplo, en la música cubana), es especialmente frecuente encontrar este modo de tocar. Pensemos en el ritmo del tresillo cubano, que escrito en notación de caja es[x . . . . . x . . . . . x . . .], tiene como sombra al ritmo [. . . x . . . . . x . . . . x .], ritmo que a su vez tiene como sombra a [x . . . . . x . . . . x . . . .]. En la figura 1 se ve el tresillo con los puntos negros y su primera sombra con puntos azules.


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Figura 1: El tresillo cubano y sus sombras.

En lo que sigue trabajaremos con ritmos que representaremos sobre el círculo unidad. Además, supondremos que una nota puede estar en cualquier punto del círculo y no en una serie de pulsos como en el ejemplo del tresillo cubano.

2. ¿Hacia dónde van las sombras de un ritmo?

La operación de tomar la sombra de un ritmo aumenta su regularidad. ¿En qué sentido hablamos aquí de regularidad? Si se permite que las notas estén en cualquier punto del círculo, entonces el ritmo más regular está formado por duraciones iguales. Esa duración común es 1/n, donde n es el número de notas del ritmo. Interpretando el ritmo como un polígono, el ritmo más regular corresponde con el polígono regular inscrito en la circunferencia unidad.

Si ante este objeto matemático, producido a partir de la excusa musical de las sombras de un ritmo, nos ponemos en actitud matemática, la pregunta que viene enseguida a la cabeza es qué pasa si aplicamos infinitas veces (¡el infinito!) la operación de la sombra. ¿A qué convergerá el ritmo final, eso suponiendo que converja a algo (no sea que oscile entre un conjunto de polígonos)? El estudio de las propiedades de sucesiones de polígonos generadas a través de procesos iterativos a partir de un polígono inicial P0 ha despertado mucho interés en la bibliografía matemática. El ritmo de una sombra es solo una de las muchas operaciones que se han investigado. Schoenberg [Sch82] ha estudiado las sucesiones de sombras de polígonos tomando puntos entre dos vértices consecutivos que no son los puntos medios. Hitt y Zhang [HZ01] probaron que la sucesión de sombras de un ritmo converge a un polígono regular. En  [GTT08] aparece una demostración muy elegante que es la que vamos a reproducir a continuación.

La prueba es algo probabilística. Sea P0 el polígono inicial y {P1,P2,⋅⋅⋅,Pk,⋅⋅⋅} la sucesión de sombras. Detengámonos en el paso del polígono Pk al Pk+1 y sea {a1,⋅⋅⋅,an} las duraciones consecutivas del polígono Pi. Consideraremos esas duraciones aj,j = 1,⋅⋅⋅,n como variables aleatorias que toman valores en [0,1]. La media μk de las duraciones es la misma para cualquier polígono:

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En cuanto a la varianza Vk en el paso k, esta es:

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Las duraciones del polígono Pk+1 son ai' = imagen y la media sigue de ai' sigue inmutable en 1∕n. Entonces, tenemos lo siguiente:

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Fijemos nuestra atención en el término ni=1 aiai+1. Se puede considerar como una función de n variables a1,⋅⋅⋅,an. Para poder acotar la última expresión obtenida nos interesa encontrar su máximo valor sujeta a la restricción ni=1 ai = 1. Si usamos multiplicadores de Lagrange, encontraremos que ese máximo se alcanza en cuando todas las ai son iguales, esto es, cuando ai = 1∕n. Aún más, el máximo se alcanza si y solo si ai = 1∕n para todo i = 1,⋅⋅⋅,n. Por tanto, el valor del máximo es ni=1 (1∕n)⋅(1∕n) = 1∕n. Siguiendo con las cuentas anteriores:

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Esta igualdad significa que la varianza tiende a cero. El polígono regular es el único polígono que tiene esa propiedad, que su varianza es precisamente cero.

3. Conclusiones

Y hemos hecho matemáticas divertidas a partir de una excusa musical, el recorrido de la baqueta o la mano que hacen los percusionistas para controlar la dinámica. A partir de ahí, hemos probado de una manera elegante que la sucesión de sombras converge al polígono regular. Y esto es todo. Es incorrecto extraer conclusiones como que los ritmos dados por el polígono regular son importantes o bellos musicalmente. Eso no se sigue de las matemáticas que hemos hecho. De hecho, la división en partes iguales de un compás, como ritmo, es bastante aburrido. Este tipo de excesos se ven con más frecuencia de la deseada en textos sobre matemáticas y música.

 

Bibliografía

[GTT08] F. Gómez, T. Taslakian, and G.T. Toussaint. Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons. In Proceedings of the 18th Fall Workshop on Computational Geometry, pages 10–11, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York, October 31st 2008.

[HZ01] Richard Hitt and Xin-Min Zhang. Dynamic geometry of polygons. Elemente der Mathematik, 56:21–37, 2001.

[Rah96] J. Rahn. Turning the analysis around: African-derived rhythms and europe-derived music theory. Black Music Research Journal, 16(1):71–89, 1996.

[Sch82] I. J. Schoenberg. Mathematical Time Exposures. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1982.

 
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