16. (Julio 2010) El teorema del hexacordo III
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Escrito por Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Viernes 09 de Julio de 2010

1. Introducción

En este último artículo sobre el teorema del hexacordo veremos una demostración basada en la transformada de Fourier y conoceremos un poco de la historia y personalidad de David Lewin, uno de los primeros autores en usarla en el contexto musical. La demostración será un poco más complicada que la de Juan Iglesias [Igl81] o que la del teorema continuo del hexacordo [BBOG09], pero merece la pena por la conexión con ese hermoso y fecundo objeto matemático que es la transformada de Fourier.

Pero empecemos por el hombre. David Lewin (1933-2003) fue un músico y matemático que impulsó el análisis formal de la música por medio de las matemáticas. Neoyorquino de nacimiento, empezó a tocar el piano desde muy niño, aunque su interés por las ciencias, en particular por las matemáticas, le llevó a estudiar matemáticas en la Universidad de Harvard. En 1954 terminaría la licenciatura en Matemáticas. Nunca había abandonado la música y después de terminar la carrera Lewin estudió composición con músicos de la talla de Roger Sessions, Edward Cone o el influyente Milton Babbitt. Tras esta etapa, orientó su carrera hacia la música y empezó a enseñar composición y teoría de la música en varias universidades: Harvard, Berkeley, la universidad estatal de Nueva York en Stony Brook, Yale. Llegó a ser el presidente de la Society for Music Theory norteamericana. Recibió a lo largo de su vida varios doctorados honoris causae. Aunque más conocido por sus teorías sobre el análisis musical, fue también un compositor prolífico y experimentador. Por ejemplo, fue el primer músico en componer una pieza musical totalmente generada por ordenador (véase [Coh01]). Ello ocurrió en los laboratorios Bell en 1961.

La obra más influyente de Lewin es su libro Generalized Musical Intervals and Transformations [Lew87], publicada en 1987. En ella Lewin sienta las bases de lo que poco más tarde recibiría el nombre de teoría de transformaciones (transformational theory, en inglés). Lewin concibe la música como la transformación continua del material musical y su idea es modelizar matemáticamente tanto el material musical, el "conjunto S de objetos musicales" (capítulo 7), como las transformaciones musicales en sí, las cuales se ven como funciones matemáticas sobre S. Principalmente, Lewin se sirvió de la teoría de grupos para modelizar dichas funciones. Por ejemplo, la escala cromática de 12 semitonos la concibe como el grupo cíclico . Esta modelización recoge el hecho perceptual de que una misma nota colocada en distintas octavas en ciertos contextos se percibe como una única nota. Sus modelos se aplicaron a diversos parámetros musicales aparte de a la altura del sonido, incluyendo el ritmo, la métrica y el timbre así como a la música tonal y atonal. Aplicadas a la música tonal, las teorías de Lewin se han considerado como parte de un análisis neoschenkeriano [CG06] que ha prolongado las teorías clásicas del análisis musical; aplicadas a la música atonal, se han visto como un nuevo modo de análisis más flexible y versátil, capaz de explicar las nuevas relaciones musicales provenientes de la música contemporánea. El enfoque de Lewin es, sin duda, muy abstracto y frecuentemente se citan sus métodos de análisis en términos de idealismo abstracto. Para una lista completa de las publicaciones, véase la página de Wikipedia sobre David Lewin [Wik10].

En su artículo Re: Intervallic Relations between Two Collections of Notes [Lew59], de 1959, Lewin investiga cómo reconstruir conjuntos de notas a partir de ciertas propiedades. Lewin, demasiado avanzado para su tiempo, piensa que no será entendido demasiado bien y en el mismo artículo declara que:

"The mathematical reasoning by which I arrived at this result is not communicable to a reader who does not have considerable mathematical training. For those who have such a training, I append a sketch of the proof."
["El razonamiento matemático por el cual llegué a este resultado no es comunicable a un lector que no posea un considerable instrucción matemática. Para aquellos que la tengan agrego un bosquejo de la prueba."]

La prueba apenas está bosquejada, pero claramente menciona la transformada de Fourier y la convolución. En la sección siguiente seguiremos su rastro y completaremos la formalización de Lewin en términos de la transformada de Fourier. Para una exposición profunda del tema, recomendamos al lector el excelente artículo de Amiot [Ami07].

2. La transformada de Fourier

Empezaremos por unas sencillas definiciones a modo de recordatorio. Dado un conjunto cualquiera X, llamaremos 1X a su función característica:

Dadas las aplicaciones que nos interesan aquí, las musicales, consideraremos la transformada de Fourier sobre el grupo cíclico . Dado un subconjunto de , la transformada (discreta) de A, designada por , es una función compleja definida por

La transformada de Fourier se puede pensar como un operador, esto es, una aplicación que transforma unas funciones en otras. En ese caso, designamos solo por la transformada y escribimos . Como es bien sabido, la transformada es un operador lineal; véase [Kam08] para más información.

En el mencionado artículo [Lew59], Lewin introduce la llamada función de intervalo , donde . Su definición es como sigue:

donde |·| indica el cardinal de un conjunto.

Como ya vimos en el artículo pasado, El teorema del hexacordo - II, el teorema del tono común nos dice que:

donde . Esta última fórmula no es sino la convolución de las funciones 1A y 1B. Luego, podemos escribir:

Una vez provistos de las definiciones necesarias, examinamos la primera propiedad que nos permitirá probar el teorema del hexacordo.

PROPIEDAD 1 (P1): Si , entonces . Cuando , entonces .

Demostración: Si , tenemos:

El caso en que , cada término del sumatorio es 1 y el resultado se prueba inmediatamente.

A continuación usamos la propiedad P1 para ver qué relación existe entre las transformadas de Fourier de y .

PROPIEDAD 2 (P2):

Sea con y . Entonces, se cumple la igualdad:

Demostración: En el sumatorio podemos separar los términos que viene del conjunto de aquellos que vienen de .

De esta igualdad se deduce que , como queríamos.

Ahora examinamos la relación que existe entre las transformadas de Fourier de y .

PROPIEDAD 3 (P3): Sea con y . Entonces, se cumple la igualdad:

Demostración: De nuevo es un argumento sencillo sobre los términos del sumatorio.

Se sigue, pues, que , cuando . Si combinamos esta ecuación con la propiedad P2, , tenemos el resultado buscado, .

Para el caso en que , la igualdad es cierta solo cuando . La prueba se deja como divertimento para el lector. A continuación consideramos el módulo de , , que es una función que asocia a cada el número . Usaremos la notación del valor absoluto para indicar el módulo; no debe confundirse con el cardinal de un conjunto.

Recordamos, por último, que la transformada de Fourier tiene inversa:

3. El teorema del hexacordo

Diremos que dos conjuntos cumplen la relación de Lewin si

para todo . La relación de Lewin se conserva bajo la aplicación de movimientos rígidos (giros y simetrías), pero el recíproco no es cierto; véase [Ami07] para una prueba de este hecho. El contenido interválico, definido formalmente, es una función

Si calculamos la transformada de Fourier de CI(A), obtenemos:

Teorema del hexacordo. Sea con n par y . Entonces .

Demostración. He aquí la demostración de dos líneas.

Línea 1: .

Línea 2: implica que como consecuencia de la aplicación de la inversa de la transformada de Fourier.

4. Para saber más

  • Aparte de sus teorías matemáticas para modelizar la música, Lewin se ocupó del problema del texto y la música. Escribió varios artículos sobre esta cuestión. Véase, por ejemplo, [Lew92], donde analiza los aspectos estructurales de la música que pueden servir como base de la interpretación dramática.
  • En el artículo de Amiot [Ami07] se analizan extensa y profundamente la relación de la transformada de Fourier. Gran parte de ese trabajo está dedicado al fascinante tema de los conjuntos de máxima regularidad (a los que se dedicará una serie en esta sección en un futuro muy próximo).

Bibliografía

[Ami07]
Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007.
[BBOG09]
B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, páginas 63-77. Springer, Berlin, 2009.
[CG06]
Allen Cadwallader and David Gagne. Analysis of Tonal Music: A Schenkerian Approach. Oxford University Press, USA, 2006.
[Coh01]
Richard Cohn. Lewin, David. Macmillan Publishers, London, 2001. The New Grove Dictionary of Music and Musicians, second edition, edited by Stanley Sadie and John Tyrrell.
[Igl81]
Juan E. Iglesias. On Patterson's cyclotomic sets and how to count them. Zeitschrift für Kristallographie, 156:187-196, 1981.
[Kam08]
David W. Kammler. A First Course in Fourier Analysis. Cambridge University Press, 2008.
[Lew59]
David Lewin. Re: Intervallic relations betwen two collections of notes. Journal of Music Theory, 3(2):298-301, noviembre 1959.
[Lew87]
David Lewin. Generalized Musical Intervals and Transformations. Yale University Press, 1987.
[Lew92]
David Lewin. Musical Analysis as Stage Direction. Cambridge University Press, 1992. In Music and Text: Critical Inquiries, editor. S.P. Scher.
[Wik10]
Wikipedia. David Lewin. http://en.wikipedia.org/wiki/David_Lewin, 2010.

 
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