1. La versión continua del teorema del hexacordo

Seguimos (en presente) con el teorema del hexacordo, ahora en su versión continua. En el artículo anterior conocimos el interés de Schoenberg por los hexacordos, vimos cómo los saboreó, cómo los deglutió, cómo intuyó sus propiedades; pero, aunque quiso, no pudo dar con el resultado apetecido. Después aprendimos qué es el contenido interválico y qué movimientos lo dejan invariantes. Seguimos (en pasado) con el teorema del hexacordo, enunciándolo con precisión, y continuamos (¿También éste? ¡Qué oficio! Sí, claro, en pasado) la historia de su demostración. Una historia llena de intentos fallidos, desconocimientos mutuos, refinamientos sucesivos y, por fin, demostraciones epigramáticas, certeras como puñales, breves como haikús. Dimos la demostración de Iglesias, por elegante y corta. Consistía, si recordáis, en un juego de recuento entre puntos blancos y negros.

Y ahí el mes pasado nos quedamos. El presente mes presentamos una generalización del teorema del hexacordo al caso continuo, demostración incluida. Es corta y profunda, pues une dos mundos, el discreto y el continuo.

1.1. Ritmos y pesos

Para generalizar el teorema del hexacordo necesitamos un cambio de enfoque, que provoque choque y que apoque el enroque mental tendencial. Pasaremos de acordes y escalas a ritmos de modo inmisericorde. Pero ¿qué es un ritmo? Tomemos el círculo y pongamos n puntos equiespaciados en él, a los que llamaremos pulsos. En cada pulso elegimos si ponemos una nota o un silencio. Solo se pueden poner notas o silencios en los pulsos, pero no entre dos pulsos consecutivos. Un ritmo es una sucesión de notas y silencios puestos sobre un conjunto de n pulsos. En música los pulsos no suenan, no se tocan; la división del tiempo sencillamente está en la mente del intérprete, como referencia temporal. En la figura 1 tenemos el ritmo [x . . x . . x . . x . .] definido sobre 12 pulsos, donde la x representa un sonido y el punto un silencio.

Figura 1: Un ritmo y su representación geométrica.

Este ritmo, interpretado como un acorde, sería el acorde disminuido de do (do - mi bemol - fa sostenido - la), que es el acorde que divide la octava en cuatro partes iguales. Este ritmo consiste en la división de una unidad de tiempo, dada por la longitud del círculo, en cuatro partes iguales. Se ve la equivalencia entre el enfoque de acordes y el enfoque rítmico.

Seguimos (en presente a partir de aquí): sea R un ritmo; asignamos a cada nota del ritmo un peso y a cada silencio un peso . Formamos el vector de pesos del ritmo R, . Llamaremos a la suma el peso W(R) del ritmo, cuyo valor no es otro que el número de notas de R. El complementario de un ritmo R tiene como pesos . Estamos lanzados: consideremos el histograma H_R del ritmo R. Dicho histograma nos informa, educadamente, para cada distancia , del número de veces que ocurre sin más que mirar a la altura de sus cajitas. El histograma H_R determina, pues, una función de la distancias; llamemos H_R(d) a esa función de d. Enunciamos de nuevo el teorema del hexacordo acorde a la nueva terminología:

Teorema 1 Sea R un ritmo sobre un conjunto de n pulsos, donde n es par. Si W(R) = n/2, entonces R y son homométricos, esto es, para todo d, .

Antes de seguir daremos un teorema, conocido en teoría de la música como el teorema del tono común [Joh03], y que servirá de base para la generalización en ciernes. Por completitud, incluimos una prueba sencilla del teorema; para una prueba más compleja, basada en teoría de grupos, consúltese [JK03].

Teorema 2 [Teorema del tono común] , donde los índices se interpretan módulo n.

Queda por ver que cada par de puntos a distancia d solo contribuya una vez a la suma, excepto en el caso del diámetro que contribuye dos veces. Si el par (i, i+d) contribuye dos veces a la suma es porque la distancia de i a i+d es la misma que de i a i-d. Entonces, se tiene que:

Al ser distancia geodésica, y, por tanto, 2d. Estamos en el caso del diámetro con toda seguridad.

Como ejemplo, cojamos el ritmo sobre 16 pulsos dado por , esto es, hay notas en las posiciones 0, 3, 6, 10 y 12 y silencios en el resto. Su peso es . Para , la función da lugar al histograma de la figura de abajo.

Figura 2: La función histograma H_R(d).

1.2. La generalización al caso continuo

La generalización se produce en dos sentidos. Primero, pasaremos del círculo de n pulsos a un círculo continuo. Se puede tomar, sin pérdida de generalidad, como el círculo unidad. Segundo, los pesos discretos son ahora funciones reales f(x), con . Aquí la variable x indica un punto del círculo medido desde las 12 del mediodía; f(x) indica su peso. El peso de un ritmo R se define como la integral .

Las definiciones en el caso continuo son análogas al caso discreto. El complementario tiene peso y H_R(d) es una función sobre el intervalo . Como definición de H_R(d) tomamos la versión continua del teorema del tono común:

Ilustremos con un ejemplo este salto del caso discreto al continuo. Consideremos el ritmo continuo R dado por la función . Su función histograma es

donde . La gráfica de f(x) y su histograma se muestran en la figura 3.

Figura 3: La función f(x) y la función histograma H_R(d).

1.3. La demostración en el caso continuo

Teorema 3 Si R es un ritmo integrable y , entonces para toda distancia , se tiene que .

Aplicando la definición de ritmo complementario obtenemos:

Multiplying out los términos queda:

Efectuando el producto dentro de la integral da:

La primera integral da 1. Dado que , la segunda integral también vale 1/2. La tercera integral también da 1/2; el área de f(x) y f(x+d) es la misma, ya que f(x) es una función periódica en [0,1]. Finalmente, llegamos a:

Esto prueba que para todo d.

1.4. De vuelta al teorema discreto

Afirmábamos antes que el teorema continuo del hexacordo recién probado es una generalización del teorema original, discreto, sin duda. Se deduce que este teorema es un caso particular de la versión continua. Así es. Para verlo basta tomar un ritmo discreto y transformarlo en una función integrable f(x) en [0, 1] como sigue:

donde es la función característica del intervalo , esto es, la función que vale 1 si y 0 en caso contrario.

Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero.

• Volvemos ahora a la cuestión de por qué se cuenta el diámetro dos veces en el contenido interválico. En primer lugar, por comodidad. Si no se cuenta el diámetro de esta manera, la fórmula que aparece en el teorema del tono común hay que reescribirla de una manera farragosa. Los resultados no cambian si se cuenta solo una vez el diámetro, pero su descripción es menos concisa. También se puede justificar esta convención estudiando el comportamiento de cuando .
• La fórmula que aparece en el teorema del tono común, , es, en realidad, una función de autocorrelación discreta. Varias demostraciones del teorema del hexacordo han surgido del campo de la teoría de funciones gracias a la relación que proporciona esa fórmula. Véanse [JK03] y [Ami07] para más información.
• La generalización que hemos mostrado aquí sirve también para probar otros resultados más generales que el teorema del hexacordo. Por ejemplo, el primer teorema de Patterson, que establece que, si dos ritmos tienen el mismo número de notas y son homométricos, entonces sus complementarios también son homométricos. Véase [BBOG09] para los detalles de esta demostración usando la versión continua del teorema del hexacordo.

References

[BBOG09]

B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63-77. Springer, Berlin, 2009.

[JK03]

Philippe Jaming and Mihalis Kolountzakis. Reconstruction of functions from their triple correlations. New York Journal of Mathematics, 9:149-164, 2003.

[Joh03]

Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003.