110. (Noviembre 2020) Reseña del libro de Godfried Toussaint "The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good?"
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Lunes 16 de Noviembre de 2020

1. Introducción

Este artículo es una reseña del libro de Godfried Toussaint The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good? [Tou17a]. Godfried (en este artículo no lo llamaré Toussaint) fue mi director de tesis y amigo personal. Desgraciadamente, nos dejó en julio de 2019. Estaba dando una charla en una conferencia en Japón y cayó fulminado por causas todavía desconocidas pero que apuntan a un ataque al corazón.

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Figura 1: Godfried Toussaint

Godfried era una persona apasionada de la vida en muchos aspectos. En los intelectuales y académicos, destaca su pasión por la geometría y la música. Empezó su carrera por la geometría, en particular la geometría computacional. Está considerado el padre de la Geometría Computacional. Estudió a fondo los aspectos teóricos de la geometría computacional así como sus aplicaciones a múltiples campos: reconocimiento de patrones (los algoritmos para encontrar los k vecinos más cercanos, análisis de agrupaciones), planificación de movimiento, visualización, teoría de nudos, configuraciones de articulados, los problemas de la galería de arte, triangulaciones, el problema del círculo vacío más grande, entre otros. Y fue productivo, como lo atestiguan sus cerca de 300 artículos en 50 años de carrera académica (su primer artículo data de 1969). Su otra gran pasión fue la música, en especial el ritmo y la percusión. Fue percusionista de música africana, afro-cubana y además tocaba la batería en un grupo de rock y pop formado por profesores de la universidad McGill (la universidad donde desarrolló su carrera) que tenía el significativo nombre de The Algorithmics.

Godfried era un investigador de raza. Prefería con mucho inventar nuevos problemas, con perspectivas originales, que supusiese un cambio de perspectiva y metodología, antes que centrarse en problemas de investigación técnicos o de carácter demasiado concreto. Le gustaba pensar en abstracto, conectar varios campos con ideas insólitas; le gustaba ejercer la creatividad desde una cumbre de abstracción.

Sin embargo, donde creo que Godfried brilló más fue en las relaciones personales. Godfried trataba bien a la gente con la que colaboraba. Les contagiaba la pasión que tenía por la geometría y la música, en general por la investigación y aun más por la vida misma. En los famosos talleres que organizaba en Barbados (asistí a diez de ellos) la risa pero también el trabajo duro eran constantes. Reconocía genuinamente el talento en otros, calmaba de forma magistral los atisbos de ego y sabía crear un ambiente de seguridad emocional que era altamente productivo y generaba un gran disfrute.

2. La reseña

En la página de Amazon, encontramos las siguientes reseñas breves de varios especialistas en el campo del [Tou17b]. Por Marc Chemillier dice del libro:

The late Godfried Toussaint studied the rhythms of the world like a gold panner, collecting with meticulousness and passion all the motifs that different cultures have given birth to. Thanks to his skill as a mathematician, he extracted fascinating properties from them. There is no doubt that this unique book will survive for a very long time.

El eminente etnomusicólogo francés Simha Arom:

Through the original use of distance geometry for analyzing musical rhythm and the visualization of rhythms as cyclic polygons, Godfried Tousssaint?s fascinating book will be extremely valuable to any researcher involved in in the field of rhythm.

Y finalmente, los comentarios de Justin London:

The new edition of The Geometry of Musical Rhythm takes us further along Godfried Toussaint?s journey through the world?s rhythms. There are new discussions of metric complexity, rhythm visualization, rhythmic performance, and the evolution of rhythmic patterns. Almost every chapter has been expanded and informed by the latest scholarship in music theory, music psychology, ethnomusicology, and music informatics. Specialists and lay readers alike will find this edition even more engaging and valuable than the first, giving us even more reasons to delight in what makes a “good” rhythm good.

El libro está compuesto por 38 capítulos en los que el autor ofrece una descripción del ritmo desde sus predilecciones musicales y matemáticas; se trata además de un libro conceptual, donde no hay ejercicios ni está orientado a ser un libro de texto. Como dice el propio Godfried en los prolegómenos, “quería hacer un libro que fuera accesible a un público de músicos y gente del mundo universitaria, con diversas formaciones académicas y actividad musical, y a la vez con un nivel mínimo de prerrequisitos”. En su libro solo se examina música en formato simbólico.

En el capítulo 1, titulado ¿qué es el ritmo?, pasa revista a diferentes definiciones dadas en el pasado y por diversos autores de este término. El concepto de ritmo adoptado por Godfried es simple y consiste en considerar una sucesión de k ataques distribuidos sobre un conjunto de n pulsos. Sigue, en el capítulo 2, con un distinción conceptual entre ritmo y pulso, y se adentra en cuestiones cognitivas para precisar tal distinción. Ya en el capítulo 3, se centra en un tipo de ritmo, los ritmos de clave u ostinatos, que será el grupo de ritmos que estudiará extensiva y profundamente en el resto del libro. Un ritmo de clave es un ritmo que se repite a lo largo de una pieza y que sirve como referente y estabilizador rítmico. Típicos ritmos de clave son los ritmos del son, la rumba, o la bossa-nova. En este capítulo encontramos una interesante historia del tresillo cubano (dos negras con puntillo seguidas de una negra en notación 2/2), la cual ilustra con alta erudición musical. Esta erudición musical es una de las características notables del libro de Godfried.

En los capítulos 4 y 5 describe más a fondo los ritmos de clave, en especial su función rítmica, y además describe los instrumentos en los que se suelen tocar, esencialmente claves y campanas. En el capítulo 6, presenta la clave son, que en notación de caja es [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ⋅×⋅ ×⋅ ⋅ ⋅ ]. En este punto encontramos una interesante discusión sobre por qué los ritmos más interesantes aparecen cuando k es menor que n∕2. También se discute algunos valores del número de pulsos en términos de su aparición en la práctica musical de diversas tradiciones. Termina este capítulo con un análisis matemático que justifica la particularidad rítmica de la clave son.

En el capítulo 7 presenta los seis ritmos binarios objeto de estudio en buena parte del resto del libro. Son estos:

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Figura 2: Los seis ritmos de clave binarios

Explica los orígenes de estos ritmos, su nomenclatura y su aparición en diversos contextos musicales.

En los capítulos 8 y 9 presenta su método de visualización de los ritmos de clave a través de su representación geométrica en círculos.

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Figura 3: La geometría de los ritmos de clave

Además, define varios conceptos que se usarán a lo largo del libro tales como contenido del intervalo, distancia entre notas (ataques), distancia geodésica, vector de intervalos, histogramas de distancias e histogramas de distancias adyacentes. También define los ritmos aksak (a partir del trabajo de Simha Arom [Aro91]).

En el capítulo 10 se analizan los ritmos binarios y ternarios y se presentan las claves binarias de 5 y 7 notas más importantes, la clave fume-fume y el bembé (ritmos descritos con su terminología). Godfried hace una comparación entre ambos y estudia su contorno rítmico. El capítulo 11 es un capítulo aparte, pues realiza una comparación entre ritmo y alturas de sonido (escalas más bien). El capítulo 12 es una revisión de la obra de Rolando Pérez La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [PF86]. En esta obra Pérez propone una teoría de cómo los ritmos binarios que se oyen en América Latina provendrían de una binarización de ritmos ternarios de los esclavos africanos. Godfried hace un análisis de esta hipótesis con una perspectiva computacional y matemática.

El capítulo 13 está dedicado a uno de los temas que más le gustaban en la teoría del ritmo: la síncopa. Examina y discute las varias definiciones de síncopa que encuentran en la literatura (como la de Jackendoff y Lerdahl [LJ83] o la de Keith [Kei91]). Gran parte de este capítulo es material de la tesis de maestría que dirigió a Eric Thul [Thu08]; véase también [Góm11].

En el capítulo 14 se zambulle en el fascinante mundo de las operaciones sobre ritmos, en particular, en los collares y las pulseras (necklaces y bracelets). Aplica toda esta teoría combinatoria al estudio de ritmos de clave y destila maneras de clasificar ritmos en base a si existe alguna operación que pase un ritmo a otro. Aquí es otro capítulo donde ilustra sus teorías con abundantes ejemplos de las tradiciones musicales más diversas.

En el capítulo 15 estudia el índice de asimetría rítmica, propuesto inicialmente por Simha Arom, y lo aplica al análisis de la música de los pigmeos aka así como a los ritmos de clave seleccionados. Esta parte del libro es fuertemente algorítmica y se disfruta mucho la generación de ritmos en base a propiedades pre-establecidas. El capítulo 16 se especializa en el estudio de índice de contratiempo, que es una medida de complejidad rítmica con inspiración en la teoría de números. Y finalmente, en el capítulo 17 aborda el problema de la complejidad rítmica a través de conceptos tan potentes como puede ser la entropía.

Los capítulos 18 a 22 están dedicados a los ritmos euclídeos o ritmos cuyas notas están distribuidas lo más regularmente posible. En el capítulo 18 argumenta muy elocuentemente porque la distancia geodésica en el círculo no es una buena medida de la dispersión de las notas en el ritmo. A continuación, propone la distancia intercordal como una medida de la regularidad de un ritmo y prueba que funciona.

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Figura 4: Distancias entre las notas de un ritmo

En el capítulo 19 expone los aspectos algorítmicos de la generación de los ritmos euclídeos; en concreto, muestra de una manera muy instructiva la conexión entre el algoritmo de Euclides de cálculo del máximo común divisor y los ritmos euclídeos. Variando el número de notas y de pulsos, genera varios ritmos que aparecen en diversas músicas del mundo (el tresillo cubano, el bembé, la clave bossa-nova, ritmos de los pigmeos aka, entre otros).

Los ritmos euclídeos o de regularidad máxima tienden a crear tensión rítmica, sobre todo si el número de notas y el número de pulsos son primos entre sí (no tienen divisores comunes salvo el 1). En este caso las notas “contradicen” las notas que se esperan a partir del número total de pulsos. Consideremos, por ejemplo, el ritmo [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]. Tiene 8 pulsos y 3 notas y observamos que 3 y 8 son primos entre sí. Por ser 8 divisible por 2 y 4, las notas sobre múltiplos de 2 y 4 se perciben como estables. Sin embargo, este ritmo tiene notas en 0,3 y 7. Al tocar ese ritmo se percibe una superposición de un ritmo ternario, las tres notas del ritmo, sobre un ritmo binario, la estructura binaria de los pulsos. Todo ello, ciertamente, crea tensión rítmica.

Demain y otros colegas, autores del trabajo The Distance Geometry of Music [DGM+05], investigaron la relación entre la distribución de regularidad máxima de patrones y otras disciplinas, con especial énfasis en el ritmo musical.

¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima?

Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas en los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la figura 5. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la figura 5–paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [10] (en columnas en el paso (2) de la figura). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo –véase el paso (3) de la figura– nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 5– paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)).

         |------------|-----------------|            |-------------||-------|    (1)  |1 1 1 1 1 1 1|0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 →  (2)   |1 1 1 1 1 1 1|| 0 0 0 |→         -------------------------------             -0-0-0-0 0-0-0----------                                                     17 = 7 × 2+ 3                                                                  |-------||---|      |--------------|---|          |-------||---------|          | 1 1 1 ||1  |      |1 1 1 1 1 1 1 |   |          | 1 1 1 || 1 1 1 1 |          | 0 0 0 ||0  |(3)   |0 0 0 0 0 0 0 |   | →   (4)  | 0 0 0 || 0 0 0 0 |→   (5 )  | 0 0 0 ||   |      |0 0 0         |   |          | 0 0 0 ||         |          | 1 1 1 ||   |      -------------------           -------------------           | 0 0 0 ||   |                                                                  --------------                                                                  7 = 3× 2 + 1                            →  (6) Ritmo  eucl´ideo: {1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0}

Figura 5: Generación de ritmos euclídeos.

Aquí cada 1 representa una nota [×] y cada 0, un silencio [ ⋅ ]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ]

Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k,n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. Así, por ejemplo, el ritmo de la sevillana [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ] se puede escribir como (3333), donde cada 3 indica que dura tres pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7,17) = [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ] = (3232322).

Demain y sus coautores [DGM+05] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides.

Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo y que aparecen en el libro de Godfried.

  • E(5,8) = [×⋅××⋅××⋅ ] = (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yŏn. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango.
  • E(5,12) = [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ] = (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya.
  • E(5,16) =[×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ⋅ ] = (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota.

Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides. Para más información sobre ritmos euclídeos, recomendamos los artículos [GTT09b] y [GTT09a]

El capítulo 20 trata de la aplicación de los ritmos euclídeos al cálculo de los años bisiestos. Proporciona una fascinante historia del problema de definir los años bisiestos y cómo se han resuelto en diversas culturas (desde la islámica a la cristiana). En el siguiente capítulo, el 21, se estudian los ritmos aproximadamente regulares, que son aquellos que difieren en un ritmo euclídeo por una nota; véase la figura de abajo.

         |------------|-----------------|            |-------------||-------|    (1)  |1 1 1 1 1 1 1|0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 →  (2)   |1 1 1 1 1 1 1|| 0 0 0 |→         -------------------------------             -0-0-0-0 0-0-0----------                                                     17 = 7 × 2+ 3                                                                  |-------||---|      |--------------|---|          |-------||---------|          | 1 1 1 ||1  |      |1 1 1 1 1 1 1 |   |          | 1 1 1 || 1 1 1 1 |          | 0 0 0 ||0  |(3)   |0 0 0 0 0 0 0 |   | →   (4)  | 0 0 0 || 0 0 0 0 |→   (5 )  | 0 0 0 ||   |      |0 0 0         |   |          | 0 0 0 ||         |          | 1 1 1 ||   |      -------------------           -------------------           | 0 0 0 ||   |                                                                  --------------                                                                  7 = 3× 2 + 1                            →  (6) Ritmo  eucl´ideo: {1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0}
Figura 6: Ritmos aproximadamente regulares

Para cerrar esta serie de capítulos sobre los ritmos euclídeos, Godfried estudia las conexiones entre estos ritmos y la cristalografía.

El capítulo 23 está dedicado a los ritmos complementarios, esto es, a los ritmos obtenidos al intercambiar notas por silencios y viceversa. Estudia Godfried las propiedades que se conservan por la toma de complementarios y en particular analiza el teorema del hexacordo; véase [BBOG09]. El capítulo 24 es una conexión entre los ritmos y la radio astronomía que usa resultados del capítulo anterior.

En el capítulo 25 se presentan los ritmos profundos, que son ritmos en que las distancias entre todas las notas ocurren de manera única. Si hacemos el histograma de un ritmo profundo, entonces es posible ordenar sus distancias de tal manera que el histograma sea creciente o decreciente estrictamente. La figura de abajo ilustra un ritmo profundo, en este caso, el bembé.

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Figura 7: Ritmos profundos

El capítulo 26 versa sobre los ritmos cáscara. Dada una propiedad P de un ritmo (ser euclídeo, por ejemplo), se dice que es un ritmo cáscara con respecto a P si existe una sucesión de inserciones o borrados que mantiene la propiedad todo el tiempo.

En el capítulo 27 Godfried estudia los ritmos fantasma, que son los ritmos resultantes de considerar como ritmos los silencios de un ritmo dado. En particular, discute las implicaciones cognitivas de estos ritmos. El capítulo 28 consiste en un examen de los cánones rítmicos y también de las simetrías axiales que se pueden encontrar en los ritmos. En el capítulo 29 el tema principal es los ritmos definidos por acentuación. Estos ritmos consisten en tocar todas las notas de los pulsos y acentuar unas cuantas de ellas, lo cual da lugar a un ritmo que destaca sobre la alfombra de pulsos. Este tipo de ritmos aparece, por ejemplo, en el flamenco. El capítulo 30 investiga varios tipos de simetría en los ritmos (simetría axial, palindrómica, etc.), ampliando así el capítulo 28. El capítulo 31 se adentra en los ritmos que tienen un número inusual de pulsos; se trata más bien de un examen musicológico de dichos ritmos más que un análisis matemático del mismo. En el capítulo 32 se discuten y analizan diversas representaciones de los ritmos, desde la notación de caja hasta las duraciones inter-notas.

Ya en el capítulo 32 Godfried nos muestra uno de los temas más interesantes en la teoría del ritmo: la similitud rítmica. Examina diversas distancias de similitud, desde la distancia Hamming hasta la distancia de permutación dirigida (cuyo inventor fue él). En el capítulo 33 el autor se enfrenta a definir el concepto de regularidad e irregularidad para ritmos y cómo establecer una gradación entre ambos extremos.

El capítulo 35 describe las aplicaciones de los árboles filogenéticos a la teoría del ritmo. Aquí expone buena parte de sus resultados [?] con esta técnica así como sus aplicaciones al análisis del flamenco. El capítulo 36 está consagrado al estudio combinatorio del ritmo.

Finalmente, el capítulo 37 consiste en una defensa ardiente del ritmo de la clave son como el ritmo más popular y mejor construido (argumenta para ello su nivel de regularidad, su índice de asimetría, su índice de contratiempo, su complejidad métrica, entre otras). En el último capítulo del libro traza una historia y un recorrido musicológico de este ritmo.

El libro cierra con un epílogo en que Godfried hace un resumen de su perspectiva e ideario sobre la teoría del ritmo y justifica una vez más la pertinencia del análisis matemático y computacional del ritmo.

 

Bibliografía

[Aro91] Simha Arom. African Polyphony and Polyrhythm. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1991.

[BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O’Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63–77. Springer, Berlin, 2009.

[DGM+05] Erik Demaine, Francisco Gomez, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried Toussaint, Terry Winograd, and David Wood. The distance geometry of deep rhythms and scales. In Proceedings of the 17h Canadian Conference on Computational Geometry, pages 160–163, University of Windsor, Windsor, Ontario, Canada, August 10-12, 2005.

[GTT09a] F. Gómez, P. Talaskian, and G.T. Toussaint. Interlocking and euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1):15–30, 2009.

[GTT09b] F. Gómez, P. Talaskian, and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1):1–14, 2009.

[Góm11] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), 2011.

[Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991.

[LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983.

[PF86] Rolando Antonio Pérez Fernández. La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Casa de las Américas, Havana, 1986.

[Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008.

[Tou17a] Godfried Toussaint. The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good? CRC Press, Boca Raton, Florida, 2017.

[Tou17b] Godfried Toussaint. The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good?, 2017.

 
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