74. (Marzo 2016) Música y probabilidad (IV)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Martes 15 de Marzo de 2016

Esta es la última entrega de la serie Música y probabilidad en la que estamos estudiando modelos probabilísticos siguiendo el libro de Temperley Music and Probability [Tem10]. Estudiaremos en esta cuarta entrega los modelos de expectativa musical, tanto de ritmo como de altura del sonido así como los de detección de errores. La primera entrega [Góm16c] consistió en un argumentario a favor del estudio de la probabilidad por parte de los músicos y una introducción al libro de Temperley. En la segunda entrega [Góm16a], estudiamos los modelos computacionales y probabilísticos para el ritmo, y en la tercera entrega [Góm16b], los modelos probabilísticos de la altura del sonido. Esperamos que con estos cuatro artículos hayamos convencido, o al menos ablandado, al lector escéptico acerca de las bondades del conocimiento de la probabilidad para el estudiante de música, en especial para el futuro musicólogo.

1. Probabilidad de una melodía

En las dos entregas anteriores se trató el ritmo y la altura del sonido por separado. En esta entrega vamos a combinar ambos para dar un modelo conjunto de la melodía. La hipótesis principal que Temperley hace sobre el modelo conjunto es que ritmo y altura se pueden elegir independiente de modo que la probabilidad de una melodía es el producto de la probabilidad de los patrones rítmicos (duraciones) por la probabilidad de la sucesión de alturas. El estudio que lleva a cabo sobre la probabilidad de la melodía (capítulo 5) se centra en dos fenómenos, a saber, las expectativas musicales y la detección de errores. Las expectativas se refiere a las notas que el oyente espera tras haber oído una melodía previa. La detección de errores se refiere a cómo el oyente detecta errores en la melodía. Las expectativas en la melodía se dividen en las expectativas sobre la altura del sonido y sobre el ritmo, las cuales tratamos por separado.

2. Expectativas en la altura de la melodía

En la percepción de la melodía, las expectativas desempeñan un papel importante. La investigación en cognición musical ha estudiado esta cuestión desde hace mucho tiempo. Los oyentes se forman expectativas en cuanto a las notas que siguen una sucesión de notas previas —tanto en términos de ritmo como de altura del sonido— y ello crea y disuelve la tensión musical, que es entre otros factores la manera en que el discurso musical progresa. Se sabe que la creación, la confirmación y la negación de las expectativas musicales es una parte fundamental del proceso de creación del significado musical. Ya Meyer [Mey56] en su libro de 1956 Emotion and Meaning in Music analiza exhaustivamente esta cuestión en base a la teoría de la percepción de la forma (Gestalt). Posteriormente, Narmour [Nar90], en 1990, con su libro The Analysis and Cognition of Basic Melodic Structures: The Implication- Realization Model extiende y profundiza notablemente el estudio de las expectativas musicales.

Desde un punto de vista experimental, hay dos enfoques o paradigmas: el paradigma de la percepción y el de la producción. En los estudios pertenecientes al primer paradigma se pide a los sujetos que, tras oír un fragmento de una melodía, juzguen si una cierta nota es la mejor continuación; véanse los trabajos de Schmuckler [Sch89] y Cuddy y Lunney [CL95]. En el paradigma de la producción, en cambio, se pide a los sujetos que produzcan la nota que consideran más adecuada para continuar la melodía; véanse los artículos de [Pov96], [TCP97], and [Lar04] así como las referencias del propio libro de Temperley.

El modelo de Temperley se basa en el trabajo de Cuddy y Lunney [CL95]. En los experimentos llevados a cabo por estos autores, los sujetos tenían que juzgar una melodía de dos notas que era continuada por una tercera nota en una escala de 1 a 7, donde 1 corresponde a una “extremadamente mala continuación” y 7 a una “extremadamente buena continuación”. Las melodías (o contextos musicales, como los llama Temperley) fueron los siguientes: (A) segunda mayor ascendente; (B) segunda mayor descendente; (C) tercera menor ascendente; (D) tercera menor descendente; (E) sexta mayor ascendente; (F) sexta mayor descendente; (G) séptima mayor ascendente; (H) séptima mayor descendente; véase la figura 1.

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Figura 1: Melodías de dos notas usadas en los experimentos de Cuddy y Lunney [CL95] (figura tomada de [Tem10])

Los autores presentaron 25 continuaciones diferentes para cada par de notas; esas continuaciones se generaron tomando todos los tonos posibles dentro de una octava hacia arriba y hacia abajo. A partir de estos datos, Cuddy y Lunney dieron la clasificación media para cada continuación tomada entre todos los sujetos.

Entre los numerosos modelos de expectativa de las alturas de sonido, Temperley se fijó en los modelos perceptuales y descartó los teóricos, es decir, se quedó con aquellos modelos que tenían su base en experimentos perceptuales con sujetos reales. Estos modelos suelen usar regresión múltiple como método para obtener las mejores continuaciones. Uno de esos ejemplos se encuentra en el trabajo de Schmuckler [Sch89], en el que el autor asigna una puntuación a cada posible continuación que es una combinación lineal de varios factores. La regresión múltiple se usa para ajustar estas variables a los resultados de los sujetos de manera óptima (minimizando el error de la predicción). Otro grupo de trabajos se centró en la teoría de la implicación-realización de Narmour [Nar90]. En particular, Krumhansl [Kru95] y Schellenger [Sch96] dieron cobertura experimental a la teoría de Narmour. Schellenger consiguió un coeficiente de correlación de 0.8 al aplicar regresión múltiple usando como variables independientes las dadas por el modelo de Narmour y como variables dependientes las medidas experimentales de Cuddy y Lunney.

En su libro Temperley toma los datos de Cuddy y Lunney y los reinterpreta en términos probabilísticos. Tras comparar varios métodos, decide interpretar las puntuaciones de las continuaciones dadas por los sujetos como los logaritmos de las probabilidades. En concreto, se interpretan como los logaritmos de las probabilidades condicionadas, es decir, los logaritmos de la probabilidad de que un tono sea una continuación dada un contexto previo de dos notas. Usando los parámetros obtenidos a partir del corpus Essen Folksong Collection [Sch95], Temperley es capaz de obtener un coeficiente de correlación de 0.729. Tras algunos ajustes en el modelo, llega a obtener un coeficiente de 0.87. En la figura 2 se comparan el modelo de Cuddy y Lunney y el de Temperley para dos intervalos dados, la segunda mayor ascendente y la sexta mayor descendente. El eje horizontal muestra las posibles continuaciones descritas en términos de semitonos (de ahí el rango de +12 a -12); el eje vertical proporciona la puntuación media de los sujetos.

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Figura 2: Comparación de los datos de los experimentos de Cuddy y Lunney [CL95] y del modelo de Temperley (figura tomada de [Tem10])

En su modelo probabilístico, Temperley tiene en cuenta el fenómeno de las inversiones post-salto. Es un hecho comprobado que grandes saltos en la melodía suelen estar seguidos por cambios en la dirección melódica. Tanto los modelos de Narmour como el de Schellenger tienen en cuenta este fenómeno. Otros autores, como von Hippel y Huron [vHH00], lo niegan y argumentan que se trata de un efecto debido a la regresión a la media, que no expresa sino la tendencia a estar en el centro de la tesitura. La manera en que se trata la inversiones post-salto se refleja en las probabilidades que se obtienen en el modelo. No entraremos a describir la implementación de este fenómeno; el lector interesado puede consultar el libro de Temperley en las páginas 69 a 70.

3. Expectativas en el ritmo

El modelo probabilístico de Temperley también considera la componente rítmica. Las expectativas son similares a las del caso de la altura de sonido. Tras escuchar unas secuencias de duraciones, el oyente espera con más probabilidad ciertas continuaciones que otras. Este hecho se puede justificar en base a la ley de continuación de la percepción de la forma (véase el libro de Meyer [Mey56]). Por ejemplo, tras oír una sucesión de notas de igual duración, el oyente espera encontrar otra nota de igual duración; véase la figura 3.

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Figura 3: Comparación de los datos de los experimentos de Cuddy y Lunney [CL95] y del modelo de Temperley (figura tomada de [Tem10])

Esta expectativa del oyente influye en la percepción de la altura. En efecto, cuando una nota ocurre en la posición de mayor expectativa, la altura es evaluada con más precisión por el oyente que si ocurre un poco o bien un poco después. Large y Jones, dos autores que han estudiado este fenómeno en profundidad, lo llaman el modelo del oscilador [LJ99]

Para su modelo de expectativa del ritmo, Temperley acude al modelo de ritmo que presentó previamente (capítulo 3 de su libro [Tem10]; tercera entrega de nuestra serie [Góm16b]). La expectativa de una continuación será la probabilidad condicionada de la continuación dado el contexto. En el caso del ritmo, la adaptación del modelo de ritmo a un modelo de expectativa del ritmo no es directa, como sí ocurrió en el caso de la altura del sonido. Hay una discusión técnica de cómo se puede llevar a cabo tal adaptación, discusión que no reproduciremos aquí, pero que el lector con suficiente entrenamiento en probabilidad puede seguir en las páginas 72 y 73 del libro de Temperley. Las probabilidades que aparecen en la figura 3 están calculadas con el modelo de ritmo y esa adaptación de la que hablamos.

4. Detección de errores

Temperley aprovecha su modelo para estudiar otro fenómeno musical: la detección de errores. Se sabe por los experimentos llevados a cabo en la investigación que los oyentes pueden detectar errores en la música, incluso aunque se trate de música de tradiciones que les son desconocidas. Esto se debe a que en la escucha el cerebro detecta patrones con mucha eficiencia y, aunque el oyente no conozca el estilo, detecta dichos errores. Los errores en las notas se pueden clasificar en varias categorías: errores en la nota, donde el intérprete toca una nota por otra; errores en la afinación (cuartos de tono en las cuerdas o las notas en la octava aguda dadas por la sobrepresión en los vientos); errores que el oyente no percibe (porque su cerebro corrige la nota); errores detectados, entre otros.

De nuevo, Temperley recurre al corpus de Essen [Sch95], que ya empleara para probar el modelo de alturas. Modifica aleatoriamente el ritmo y la altura de las notas y obtiene un nuevo corpus de 650 piezas, sumadas las piezas originales y las modificadas (esto es, las versiones con errores). A continuación obtiene las probabilidades de continuación para las melodías y compara las versiones originales con las versiones modificadas. Para la altura de sonido, en 573 de las 650 melodías el modelo asignó mayor probabilidad a la versión original que a la versión modificada. En el caso del ritmo, en 49 de 650 casos, el modelo no detectó como diferente la versión modificada. De los restantes casos, 601, el modelo asignó correctamente la probabilidad en 493 de los casos, que es un 82%.

5. Conclusiones

Esperamos haber ilustrado fehacientemente las conexiones entre la probabilidad y la música. Esas conexiones son mucho más extensas y profundas que las mostradas en las cuatro entregas de esta serie, como se puede ver en los restantes capítulos del libro de Temperley (nosotros hemos glosado aquí solo los cinco primeros) y en sus referencias. Asimismo, esperamos haber convencido al lector escéptico, especialmente el músico, de las bondades de incluir la formación matemática en la música, en particular la de la probabilidad.

Durante estos primeros seis meses de 2016 estoy pasando una estancia de investigación en la Universidad del Estado de Georgia, Atlanta. Estoy un curso cuyo título es Introducción a los modelos matemáticos y que está dirigido a alumnos que no son de matemáticas. En mi clase tengo a estudiantes de cine, enfermería, ciencias políticas, criminología, trabajo social... y música. Sí, música. Aquí hacen estudiar a los alumnos de ciencias humanidades y artes; y a los de humanidades y artes, ciencias. Y he decir que los alumnos de música están entre los mejores a la hora de razonar matemáticamente. No me imagino en ningún conservatorio de España poniendo en el plan de estudios asignaturas de matemáticas. Fuera de nuestras fronteras, lleva años haciéndose. Quizás sea esa la razón por la que apenas nadie destaca en este país en Musicología Sistemática y menos aún en Musicología Computacional.

 

Bibliografía

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[Góm16a] P. Gómez. Música y Probabilidad (II). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16921&directory=67, diciembre de 2016.

[Góm16b] P. Gómez. Música y Probabilidad (III). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16940&directory=67, diciembre de 2016.

[Góm16c] P. Gómez. Música y Probabilidad (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16871&directory=67, noviembre de 2016.

[Kru95] C. L. Krumhansl. Music psychology and music theory: Problems and prospects. Music Theory Spectrum, 17:53–80, 1995.

[Lar04] S. Larson. Musical forces and melodic expectations: Comparing computer models and experimental results. Music Perception, 21:457–498, 2004.

[LJ99] E. W. Large and M. R. Jones. The dynamics of attending: How people track time varying events. Psychological Review, 106:119–159, 1999.

[Mey56] Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. University of Chicago Press, Chicago, 1956.

[Nar90] E. Narmour. The Analysis and Cognition of Basic Melodic Structures: The Implication-Realization Model. University of Chicago Press, Chicago, 1990.

[Pov96] D.-J. Povel. Exploring the fundamental harmonic forces in the tonal system. Psychological Research, 58:274–283, 1996.

[Sch89] M. Schmuckler. Expectation and music: Investigation of melodic and harmonic processes. Music Perception, 7:109–150, 1989.

[Sch95] H. Schaffrath. The Essen Folksong Collection. Center for Computer-Assisted Research in the Humanities, Stanford, Calif., 1995. Editado por D. Huron.

[Sch96] E. G. Schellenberg. Expectancy in melody: Tests of the implication–realization model. Cognition, 58:75–125, 1996.

[TCP97] W. F. Thompson, L. L. Cuddy, and C. Plaus. Expectancies generated by melodic intervals: Evaluation of principles of melodic implication in a melody-completion task. Perception & Psychophysics, 59:1069–1076, 1997.

[Tem10] D. Temperley. Music and Probability. MIT Press Ltd, 2010.

[vHH00] P. von Hippel and D. Huron. Why do skips precede reversals? The effect of tessitura on melodic structure. Music Perception, 18:59–85, 2000.

 
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