68. (Junio 2015) Otras armonías son posibles (IV)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Jueves 18 de Junio de 2015

1. Introducción

Este es el último artículo de la serie Otras armonías son posibles. La serie está basada en el libro de Tom Johnson Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], libro en que se investiga los sistemas armónicos no tradicionales. Entre ellos, hemos seleccionado para esta serie de cuatro artículos aquellos que tienen base matemática. Por completitud, en el primer artículo de la serie [Góm15a] dimos unas nociones básicas de la armonía tonal; en el segundo artículo [Góm15b] analizamos la armonía atonal con ejemplos tomados de la técnica dodecafónica, la nomenclatura de acordes de Forte y la clasificación de Jedrzejewski basada en teoríia de nudos. En el tercer artículo [Góm15d] estudiamos las armonías de Euler, Hauer, Slonimsky y Schillinger, autores que inventaron sistemas armónicos con base matemática. En este último artículo examinaremos las ideas matemáticas del resto del libro de Johnson, ideas que se basan en conceptos en apariencia simples y que dan lugar a sistemas armónicos desligados de la psicoacústica (como es el caso de la armonía tonal clásica).

2. Igualdad y completitud

En el capítulo Equal and Complete [Joh14b] (página 109 y siguientes), Johnson analiza el papel que la igualdad y completitud en la estética musical y en particular en la armonía. Él mismo reconoce que muchos músicos e improvisadores no tienen ningún interés en esas dos características; quieren tener máxima libertad y no quieren estar constreñidos por reglas formales. Sin embargo, otros músicos e improvisadores —aunque habría que matizar que en distintos grados — sí han sentido atracción por la igualdad y la completitud y han reconocido su valía como criterios estéticos. Para justificar por qué esos criterios son válidos estéticamente, Johnson menciona la corriente literaria OuLiPo o taller de literatura potencial. Esta corriente tiene un fuerte carácter experimental y usa técnicas literarias que implican estrictos límites formales, los cuales desembocan en obras tales como novelas anagramáticas, variaciones temáticas, literatura combinatoria, entre otras. Para más información sobre OuLiPo recomendamos al lector que visite su excelente página web [OuL15]. Por su calidad, y también por cariño, pues se trata de una compañera de Divulgamat, no resistimos la tentación de mencionar a Marta Macho [Mac15d]. Es una experta en la obra de Oulipo y ha contribuido notablemente a su difusión en España; véanse, como botón de muestra, los magníficos artículos de divulgación [Mac15c], [Mac15a],  [Mac15e], y [Mac15b]. Johnson también argumenta la importancia de la igualdad y completitud extrayendo ejemplos de la poesía, de la música misma (de la obra de Bach y de Jürg Frey, del grupo Wandelweiser) y de las artes plásticas (del minimalista Sol LeWitt).

Pero ¿qué significa igualdad y completitud en la armonía? Hay muchas maneras de interpretar ambos conceptos, sin duda, y Johnson en buena parte del resto del libro se dedica a estudiar los diferentes matices escondidos en ellos. El capítulo Equal and Complete acaba con un ejemplo de Jürg Grey, un miembro del grupo Wandelweiser, formado por un conjunto de intérpretes y compositores de carácter internacional, fundado en 1992, y que tiene fuertes influencias de John Cage y su tratamiento del silencio. La obra que analiza Johnson es Sam Lazaro Bros, una pieza que consiste exclusivamente en las 12 triadas menores, donde la primera y segunda inversión se permiten así como conducciones de voces entre las notas de los acordes. La obra, según Johnson, “nunca resulta aburrida o repetitiva”.

Entusiasmado por el modo en que Grey compuso Sam Lazaro Bros, Johnson describe cómo se lanzó él a componer una pieza en que aparecieran todos (completitud) las transposiciones e inversiones de un acorde de 3 notas (igualdad), el acorde Forte 3-7 (do-re-fa) y de modo que cada acorde tenga dos notas en común con el siguiente. Encontró que la tarea no era tan fácil como había supuesto en un principio. Para aclarar las ideas se ayudó del siguiente grafo:

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Figura 1: Grafo con los 24 acordes pertenecientes al acorde 3-7 de Forte (figura tomada de [Joh14b]).

El cual dio lugar a la siguiente secuencia de acordes:

Otras armonís son posibles IV

Figura 2: Secuencia de los acordes pertenecientes al acorde 3-7 de Forte (figura tomada de [Joh14b]).

Johnson concluye (aunque sin pruebas) que “podemos percibir completitud cuando oíimos una secuencia como esta, al menos a un cierto nivel inconsciente”.

3. Alturas y sumas

En el capítulo, Heights and Sums, Johnson explora la generalización de altura a acordes. En general, se habla de la diferencia de altura entre dos notas como el intervalo medido desde la más grave a la más aguda. Ahora hablamos de la altura de un acorde. Empecemos por numerar las notas, por ejemplo desde do. La nota do es el 0, la nota do# es 1, la nota re 2 y así sucesivamente. Cada uno de estos números es la altura de la nota. Dado un acorde, se define su altura como la suma de las alturas de sus notas. Así por ejemplo, el acorde de do mayor, do-mi-sol, tiene altura 11 porque la altura de sus notas es {0,4,7}. El lector ya habrá adivinado que el juego compositivo y armónico es el de escribir una pieza en que aparezcan todos los acordes que tengan una altura fija. Para ilustrar a fondo el concepto, Johnson da una tabla con el número de acordes que hay para una altura dada cuando esta varía entre 3 (el mínimo posible) y 30 (el máximo posible).

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Figura 3: Número de acordes de tres notas con altura dada (figura tomada de [Joh14b]).

Como se ve en la figura 3, el mínimo valor se alcanza con alturas 3 y 30, y el máximo valor para el rango de alturas entre 15 y 19, con 15 acordes cada una. Fijémonos en la altura 16. Los 15 acordes resultantes están en la siguiente tabla:

{{4,5,7},{3,6,7},{3,5,8},{2,6,8},{1,7,8},{3,4,9},
{2,5,9 },{1,6,9 },{0,7,9},{2,4,10 },{1,5,10 },{0,6,10}
{2,3,11 },{1,4,11},{0,5,11}}

¿Cómo conectar estos conjuntos de acordes? Johnson, entre las muchas posibilidades, escoge dos que aplican dos propiedades matemáticas: se unen bien por sus diferencias mínimas o bien por sus diferencias máximas. Por diferencias mínimas quiere decir moviendo las notas del acorde lo mínimo posible (con frecuencia una subida y una bajada de un semitono). En el caso de las diferencias mínimas, la figura 4 muestra una posibilidad. Para que la altura se mantenga constante, una subida de un semitono ha de compensarse con la bajada de otro semitono.

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Figura 4: Acordes de suma 16 unidos por sus diferencias mínimas (figura tomada de [Joh14b]).

Para las diferencias máximas se intenta mover las notas lo más posible dejando la altura constnate. Cuando se trata de las diferencias máximas, la conducción de voces se hace un poco brusca. Aquí está una solución dada por Johnson.

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Figura 5: Acordes de suma 16 unidos por sus diferencias máximas (figura tomada de [Joh14b]).

4. Progresión de acordes

En el capítulo Advancing Johnson abunda en la idea de conectar acordes que compartan el mayor número de notas entre sí, por ejemplo, que solo varíe una nota entre acorde y acorde. Esta idea no es extraña a la armonía tonal ni mucho menos. En la armonía tonal el enlace entre acordes se hace cambiando el mínimo número de notas y dos acordes se consideran semejantes o relacionados entre sí si provienen de escalas que difieren en el menor número de notas (como do mayor y sol mayor, por ejemplo). Evidentemente, aquí Johnson usa esta idea para conectar acordes fuera del contexto tonal.

Como ejemplo inicial, pone el de ir desde el acorde {1, 2, 3} hasta el {4, 5, 6} (en este capítulo Johnson fija un acorde origen y un acorde final). La secuencia sería (se muestra incompleta, página 136):

{1,2,3} → {1,2,4} →  {1,3,4} → ......→ {2,5,6} →  {3,5,6} → {4,5,6}

Esta idea da lugar a bonitos grafos de acordes. En el siguiente ejemplo, el autor de Other harmony toma el conjunto de notas {re, fa#, sol, si, do , mi} (inspirado en el Thesaurus de Slonimsky [Slo47]) y genera el grafo de la figura 6. Los nodos del grafo son el conjunto de acordes de tres notas tomados de ese conjunto, y dos acordes están unidos por una arista si difieren solo en un nota. El acorde origen es re-fa#-sol y el acorde final si-do-mi. Recorrer el grafo entero visitando cada acorde una sola vez empezando en el acorde origen y terminando en el acorde final es equivalente a encontrar un camino hamiltoniano en el grafo. El grafo en cuestión admite tal camino, como se comprueba fácilmente.

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Figura 6: Grafo de los acordes de 3 notas formados a partir de {re, fa#, sol, si, do , mi} (figura tomada de [Joh14b]).

Por último y en un giro inesperado, Johnson propone usar ¡el círculo de quintas! para construir una progresión de acordes, nada menos que en el ignoto territorio de la Otra armonía. Casi se diría que Johnson escribe esta sucesión de dominantes con un sentido de lo prohibido a la vez divertido y gratificante.

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Figura 7: El acorde Forte 4-16 en un ciclo de quintas (figura tomada de [Joh14b]).

5. Intervalos adyacentes

Johnson está interesado ahora en progresiones donde se fijan las notas más grave y aguda de un acorde y se varíian las notas interiores. El autor previene al lector de un error y es el de pensar que la altura del acorde no varía. Si tomamos el caso de una triada mayor, {0, 4, 7}, y observamos sus intervalos, vemos que no cambian con respecto a los de una triada menor {0, 3, 7}. Ambos acordes están formados por una quinta justa, una tercera mayor y una tercera menor. La diferencia está solamente en el orden de aparición de dichos intervalos. Sin embargo, ambas triadas tienen alturas diferentes. La triada menor tiene altura 10 y la triada mayor, 11.

Entre los ejemplos con que Johnson ilustra esta técnica nos llama la atención las progresiones en que se mueve una sola voz cada vez. Johnson contempla todas las posibilidades para esta progresión y construye un grafo. Se podría pensar —y así lo reconoce el propio Johnson— que el grafo tendrá bastantes triángulos, pero no es así; principalmente está formado por cuadrados, como se puede ver en la figura 8 (donde, por cierto, las notas externas no se han indicado).

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Figura 8: Grafo de los acordes de cinco notas con las mismos intervalos adyacentes y con las notas exteriores fijas (figura tomada de [Joh14b]).

No es muy difícil ver que el grafo, que goza de bastante simetríia, es, en efecto, hamiltoniano y que admite, por tanto, un ciclo que visita todos los nodos sin repetición. Una posible solución es la de la figura 9.

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Figura 9: Acordes correspondientes a la figura 8 (figura tomada de [Joh14b]).

6. Sumas módulo n

Ahora Johnson abandona el concepto de altura y sus implicaciones armónicas y presenta uno nuevo: las sumas módulo n. Fijado un entero n distinto de cero, dos números enteros se dicen son congruentes módulo n si su diferencia es divisible por n. Por ejemplo, si n es 2, todos los números congruentes con 0 son los números pares y todos los congruentes con 1 son los números impares. La relación de congruencia es una relación de equivalencia y las clases de equivalencia asociadas son los restos de la división entera por n, que son 0, 1,…, n - 1.

Johnson comienza considerando sumas módulo 2 del siguiente modo. Aquí el 2 va indicar el número de notas del acorde. Siguiendo con la numeración por semitonos de la octava de 0 a 11, Johnson clasifica los intervalos (acordes de dos notas) por la paridad de su altura. Así, obtiene intervalos pares e intervalos impares. La figura 10 muestra los intervalos pares a la izquierda (todos los que son congruentes con 0 módulo 2) y los impares a la derecha (todos los que son congruentes con 1 módulo 2).

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Figura 10: Clasificación de los intervalos módulo 2 (figura tomada de [Joh14b]).

Esta división no deja de ser curiosa. La teoríia de la consonancia ha sufrido cambios a lo largo de la historia y el intervalo disonante de hoy será la consonancia de mañana. En la armonía tonal la consonancia ha tenido un fundamento psicoacústico, basado en la serie de los armónicos. Aquí Johnson sugiere un criterio matemático, como por ejemplo que los intervalos pares se consideren consonantes y los impares disonantes, o viceversa.

Cuando queremos considerar los acordes de 3 notas hemos de tomar números módulo 3. La relación de congruencia módulo 3 clasifica los números en tres grupos: los que al dividir por 3 da resto 0, los que da 1 y los que da resto 2 (y no hay otras posibilidades). En la figura 11 se muestran todos los acordes de 3 notas clasificados según la congruencia módulo 3 de su altura.

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Figura 11: Acordes de 3 notas clasificados módulo 3 (figura tomada de [Joh14b]).

La clase de los acordes 0 módulo 3 está formado por acordes con dos intervalos iguales; de ahí que acordes disminuidos y similares aparezcan en dicha clase. En la clase 1 módulo 3 aparecen, en cambio, acordes menores. Y, finalmente, en la clase 2 módulo 3 encontramos la triada mayor junto con otros acordes de diversa naturaleza.

Nótese que la transposición o la inversión de un acorde no cambia su congruencia. La razón por la que la transposición no cambia la congruencia es porque se añade una altura constante a cada una de las tres notas del acorde, es decir, se añade un múltiplo de 3, que es 0 módulo 3. En cuanto a la inversión, dado que la octava son 12 semitonos y 12 es 0 módulo 3, y dado que la inversión consiste en cambiar una nota una octava arriba, tampoco afecta a la congruencia módulo 3.

En el resto del capítulo Johnson sigue analizando más acordes, entre ellos los de cuatro notas, para lo cual usa toma módulo 4 en la altura. El grupo de acordes que suman 1 módulo 4 resulta contener todos los acordes de séptima de dominante. El grupo cuya suma es 3 módulo 4 también es interesante y en él encontramos los acordes de Tristán así como otros acordes más cromáticos. Para terminar esta sección voy a reproducir el grafo de la página 162 del libro de Johnson. En él se muestran 30 acordes del grupo cuya suma es 1 módulo 4, donde se ha trazado una arista si dos acordes tienen tres notas en común.

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Figura 12: Grafo de 30 acordes con suma igual a 1 módulo 4 (figura tomada de [Joh14b]).

7. Tetracordos paninterválicos y homometrías

El siguiente capítulo, All-interval tetrachords and other homometries, versa sobre homometrías y es quizás uno de los mejores capítulos del libro. Dado un acorde, su contenido interválico consiste en todos los intervalos que se pueden formar con sus notas. Un acorde de dos notas solo tiene un posible intervalo; uno de tres notas da lugar a tres intervalos. Por ejemplo, la triada mayor {0, 4, 7} da lugar a tres intervalos: 4, 5 y 3 (seguimos midiendo los intervalos en semitonos). Los intervalos del acorde se miden tomando la distancia más corta entre las dos notas; esto da lugar a que los intervalos no sean mayores que 6, el tritono. Cuantas más notas tenga el acorde, mayor se hace el contenido interválico. Dos acordes se dicen que son homométricos si tienen el mismo contenido interválico; para más información sobre acordes homométricos, véase la serie dedicada al teorema del hexacordo ([Góm15c] y dos siguientes números). En la figura 13 se ve el contenido interválico de dos hexacordos (acordes de seis notas); se han dibujado las notas sobre un círculo de 12 puntos para mejor visualización. Una pregunta fácil de hacerse es si dos acordes homométricos son equivalentes en el sentido en que se puede obtener el uno del otro por transposiciones u otros movimientos rígidos. La respuesta es no y la propia figura 13 proporciona el contraejemplo. En el libro de Johnson se estudian los tetracordos paninterválicos, que son los acordes de cuatro notas cuyo contenido intervalo tiene los seis intervalos posibles exactamente una vez cada uno.

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Figura 13: El contenido interválico de dos acordes.

Tetracordos paninterválicos hay 48, como bien lista Johnson, y son estos:

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Figura 14: Los 48 tetracordos paninterválicos (figura tomada de [Joh14b]).

El libro de Johnson está plagado de visualizaciones de acordes y sus relaciones. Para los tetracordos paninterválicos propone el grafo de la figura 15. Este grafo muestra para cada acorde la tercera menor y mayor como un vértice; nótese que por ser paninterválicos dichas terceras han de existir. A continuación las conecta con las segundas menores y cuartas que aparecen en el acorde. En realidad, las aristas de este grafo son las que determinan cada uno de los tetracordos; compárense esas aristas con los elementos de la tabla de la figura 14.

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Figura 15: Los 48 tetracordos paninterválicos vistos en un grafo (figura tomada de [Joh14b]).

8. Diseño de bloques

Los dos últimos capítulos de Other harmony toman un giro más radical e introduce el diseño de bloques (block designs). Las consideraciones para la construcción armónica se vuelven puramente matemáticas, en particular combinatorias. Esto es lo que dice Johnson al respecto, que reproduzco literalmente dada su elocuencia (dejo el original tal cual pues creo que se entiende bien):

With block designs all acoustical characteristics are essentially forgotten. No more overtone series, no more ideas of consonance and dissonance, and no more octave equivalence. In the real world octaves never were equal, or even equivalent. Accepting the convention of octave equivalence was reasonable for music theorist Rameau to Forte, and this convention worked fine for the music they studied. (...) Block designs come from an abstract mathematical world, rather a long way from the acoustical world. Scales are no longer scales but rather sets. Chords are no longer chords but rather subsets. Notes are no longer notes but rather elements. Music theory is now replaced by group theory, though we can make music all the same.

Un bloque es un conjunto de acordes de m notas que se extraen de una escala de n notas y en que se fija el número k de veces que aparecen en el bloque entero. Los bloques se designan por (n, m, k). El bloque más pequeño es (6, 3, 2), lo cual quiere decir que tiene 6 elementos, divididos en subconjuntos de 3 elementos y en los que cada par de elementos aparece 2 veces en cada uno de los bloques. Por comodidad, usemos el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} para designar los elementos del bloque. Todos las parejas sin repetición que se pueden formar con los elementos de este conjunto son:

{{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},
{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},
{3,4},{3,5},{3,6},
{4,5},{4,6},
{5, 6}}

Ahora habría que añadir un tercer elemento a cada pareja de modo que todo par de elementos apareciese exactamente dos veces. Ello implicará que desaparecerán algunas parejas. El conjunto final tiene 10 elementos y es este:

{{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,6},{1,5,6},
{2,3,5},{2,3,6},{2,4,6},
{3,4,5},
{4,5,6 }}

Johnson presenta en la página 195 una visualización geométrica de este conjunto en forma de grafo; véase la figura 16. El grafo de la figura, dibujado como es habitual, no seríia un grafo plano, pues se trata del grafo completo K5. Aquí Johnson duplica algunos vértices, los que aparecen entre paréntesis, y da una representación, digamos, pseudo-plana de K5. En esta representación las caras triangulares son los elementos del bloque, como es inmediato de comprobar.

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Figura 16: Grafo asociado al bloque (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]).

Una posible transformación del grafo en notación musical puede ser la de la figura 17.

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Figura 17: Interpretación musical del bloque (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]).

9. Bloques paralelos

En este último capítulo se consideran bloques con una condición extra y es que los bloques estén definidos de tal forma que por cada subconjunto aparezca su complementario. A este tipo de bloques los llama Johnson bloques paralelos (en realidad una mejor terminología sería bloques autocomplementarios). El bloque (6 3, 2) que aparece más arriba no es paralelo porque el complementario del subconjunto {1, 2, 4} no aparece en el bloque. De nuevo, Johnson nos sorprende gratamente con otro grafo en que representa profundamente las relaciones entre los acordes. En la figura 18 vemos los 20 acordes que se pueden forman con tres notas. De ellos, la mitad están rodeados por un círculo y otros no. Los que tienen círculo forman una clase paralela y Johnson los ha unido con una línea discontinua. Las aristas sólidas están dadas por la relación de diferencia mínima (dos acordes varían en una sola nota). Para una mejor visualización, los nodos de la izquierda van en orden creciente de altura, mientras que los de la derecha van en orden decreciente de altura. Por último, nótese que la clase con círculo es paralela, pero que la clase sin círculo es también una clase paralela. Esto es consecuencia de la propia definición de bloque paralelo.

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Figura 18: Visualización de bloques paralelos en (6, 3, 2) (figura tomada de [Joh14b]).

Johnson muestra otro método para obtener bloques paralelos, los cuadrados. Por ejemplo, el bloque (9, 3, 1) lo extrae del siguiente cuadrado o matriz

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Curiosamente, cuando se leen los elementos de este cuadrado horizontalmente, verticalmente y diagonalmente se obtienen bloques paralelos correspondientes a (9, 3, 1) (cada fila abajo corresponde con un bloque paralelo):

{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9},
{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9},
{1,5,9},{2,6,7},{3,4,8},
{1,6,8},{2,4,9 },{3,5,7 }}

10. Progresiones armónicas Casi no

El último capítulo Johnson habla de las progresiones Casi no que no son otras que las progresiones que no van a ningún sitio. De nuevo, las palabras más elocuentes para explicar esto son las del propio Johnson:

We are accustomed to thinking of chord progressions as progressions that go somewhere, and these (Almost not progressions) just noodle around as if they were going to neighbor notes and back. Each note is as important as each other note, and they somehow belong together, because they have equal places in a complete block design.

A continuación Johnson justifica brevemente las progresiones Casi no poniendo ejemplo de la historia de la música con las armonías wagnerianas y post-wagnerianas. Cierra el capítulo con un análisis de estas progresiones, que ya por brevedad, no glosamos aquí.

11. Conclusiones

En una serie de cuatro artículos hemos glosado el libro de Tom Johnson Other harmony (beyond tonal and atonal). Este libro es, en el fondo, una excursión por las ideas matemáticas que inspiraron nuevas formas de concebir la armonía. Esperamos que al lector que proviene del mundo de las matemáticas le haya abierto los ojos a la armonía, sobre todo a las Otras Armonías, y que, en cambio, al lector que proviene del mundo de las música le haya abierto los ojos a los conceptos matemáticos. Si esto hemos conseguido, siquiera modestamente, habremos cumplido nuestro objetivo.

 

Referencias

[Góm15a] P. Gómez. Otras armonías son posibles (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16413&directory=67, consultado en febrero de 2015.

[Góm15b] P. Gómez. Otras armonías son posibles (II). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16445&directory=67, consultado en marzo de 2015.

[Góm15c] P. Gómez. El teorema del hexacordo (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10806&directory=67, consultado en mayo de 2015.

[Góm15d] P. Gómez. Otras armonías son posibles (III). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16588&directory=67, consultado en mayo de 2015.

[Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014.

[Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014.

[Mac15a] Marta Macho. 50 (+1) años de OuLiPo. http://www.matematicalia.net/articulos/v7n3sep2011/OuLiPo.pdf, consultado en mayo de 2015. artículo publicado en la revista digital Matematicalia.

[Mac15b] Marta Macho. El material del taller de literatura OuLiPo. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16316&directory=67, consultado en mayo de 2015.

[Mac15c] Marta Macho. Oulipo: mestizaje entre cifras y letras. http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Alliance2013.pdf, consultado en mayo de 2015.

[Mac15d] Marta Macho. Página web de Marta Macho. http://www.ehu.eus/~mtwmastm/Datos.html, consultado en mayo de 2015.

[Mac15e] Marta Macho. Taller de literatura OuLiPo. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16260&directory=67, consultado en mayo de 2015.

[OuL15] OuLiPo. OuLiPo | Ouvroir de littérature potentialle. http://OuLiPo.net/, consultado en mayo de 2015.

[Slo47] N. Slonimsky. Thesaurus of scales and melodic patterns. Charles Scribner’s Sons, 1947.

 
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