1. Introducción

Tras un parón obligado por una lesión deportiva —y que me impidió sacar este artículo el mes pasado—, continuamos con la serie Otras armonías son posibles. Como recordará el lector, esta serie se basa en una glosa de los sistemas armónicos de base matemática que aparecen en el libro de Tom Johnson Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a]. En él, Johnson investiga la existencia de otros sistemas armónicos diferentes del tonal a lo largo de la historia. En el primer artículo de la serie [Góm15a] examinamos la armonía tonal, de la que dimos una descripción sucinta, y proporcionamos referencias bibliográficas para el lector que quiera profundizar. En el segundo artículo de la serie [Góm15b] analizamos la armonía atonal con ejemplos de Arnold Schonberg y su técnica dodecafónica, la nomenclatura de acordes de Forte y la clasificación de Jedrzejewski basada en teoría de nudos. El último artículo de la serie, el del mes que viene, estudiará el resto de los autores del libro de Johnson.

El resto del libro de Johnson es la exploración de las Otras Armonías, las armonías que no fueron ni tonales ni atonales (en el sentido restringido de armonía tonal que se definió en el primer artículo de la serie [Góm15a]). En este artículo estudiaremos las armonías de Euler, Hauer, Slonimsky y Schillinger, que son algunos autores cuyos sistemas armónicos tienen relación con las matemáticas. El lector se adentrará en otras formas de concebir las armonías a las que probablemente no esté acostumbrado.

2. Las armonías de Euler

Euler (1707-1783) es uno de los mayores genios de las matemáticas de todos los tiempos. Sus contribuciones a las matemáticas, la física y la ingeniería son sobresalientes y todavía hoy en día tienen repercusión; véase el archivo Euler [KSTd15] para información sobre su vida y obra. También era Euler un apasionado de la música y en una de sus obras dedica muchas páginas a su estudio. Esa obra, de largo título, es Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae o un nuevo intento de teoría de la música, expuesto con total claridad de acuerdo a los principios de la armonía mejor fundados. Véase el archivo de Euler [KSTd15] (dirigido por Klyve, Stemkoski y Tou), que contiene los originales en latín; una traducción parcial al inglés se encuentra en [Bai97]. Pesi analiza el impacto de la obra de Euler y la relación entre música y teoría de números. Para profundizar en la vida y obra de Euler, consúltese [BM11].

Euler adoptó un enfoque combinatorio para estudiar la armonía. Construyó los acordes a partir de los armónicos que se podían obtener usando productos de números primos pequeños. Déjesenos aclarar primero que en los tiempos de Euler el número 1 era considerado primo. En su libro Johnson ofrece un ejemplo con los números 1, 2, 3 y 3 (con la repetición del 3), cuyas combinaciones entre ellos dan 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Si tomamos la nota fa como fundamental, el acorde más a a la izquierda de la figura 1 es el obtenido con ese conjunto.

Figura 1: Acordes de Euler (figura tomada de [Joh14b]).

En la figura anterior las notas se han ajustado a la escala de temperamento igual. En principio, habría que objetar a tal ajuste, pero el mismo Euler lo hizo en su obra y aquí lo hacemos para seguir su pensamiento escrupulosamente. El segundo acorde de la figura 1  corresponde a la serie (1,2,2,3,3) y el tercero, a la serie (1,2,2,2,3,3).

Euler fue más lejos e introdujo el 5 en las series. El acorde de la siguiente figura está generado por la serie (1,2,3,5,5), que tiene dos cincos. La nota marcada con un asterisco está fuera del espectro audible.

Figura 2: Acorde correspondiente a la serie (1,2,3,5,5) (figura tomada de [Joh14b]).

Estos acordes generados por las series numéricas resultan impracticables musicalmente. Euler los transformaba usando el principio de equivalencia de la octava, es decir, poniendo todas las notas en una misma octava. Así por ejemplo, los acordes de especie V (terminología de Euler) provienen de series tales como (2,3,3,5). En la figura 3 se muestran algunos de esos acordes.

Figura 3: Acordes de especie V (figura tomada de [Joh14b]).

A propósito del mecanismo de contraer las notas del acorde en una octava, el propio Johnson señala en su libro que “seguro que Euler se daba cuenta de que estaba haciendo trampa aquí” (página 43). El sistema de Euler no tuvo acogida entre los compositores de la época, entre otras cosas porque rompía ciertas reglas de la armonía. El ejemplo de Euler —como apunta el propio Johnson (página 44) sirve para dar un contraejemplo de que el principio de equivalencia de la octava no siempre funciona en armonía y que una clasificación de intervalos consonantes no es siempre consecuencia de la serie de armónicos de una nota.

3. Hauer y los tropos

Hauer (1883-1959) fue un compositor contemporáneo de Schoenberg que rompió con la tonalidad clásica por vía de la experimentación del cromatismo y la atonalidad. Como compositor, estuvo por debajo de los principales representantes de la Segunda Escuela de Viena (Schoenberg, Berg y Webern), aunque su obra, en especial las piezas cortas para piano, sí revisten interés. Hauer perfiló y presentó su técnica compositiva a lo largo de una serie de obras escritas entre 1912 y 1919, que culmina con Über die Klangfarbe (1918), una teoría de tonos basada a su vez en la teoría del color de Goethe. Este compositor dotó a sus obras teóricas de una sugestiva concepción mística de la música. El compositor no es un creador de música sino “un oyente de la música, alguien capaz de percibir y conservar la incambiable e intocable eternidad de las cosas”(citado en [Mor99]). La excelente tesis de Covach [Cov90] y su posterior trabajo [Cov03] constituyen una buena fuente de información y análisis de la figura de Hauer. En castellano se puede consultar el libro de Morgan [Mor99].

El sistema de Hauer y el de Schoenberg son similares, pero presentan algunas diferencias importantes. Hauer basa su sistema composición en el concepto de tropo, que son conjuntos de seis notas desordenados, en oposición a las series dodecafónicas, que son sucesiones y por tanto el orden de presentación de las notas es determinante. Hauer especificaba para cada pieza dos tropos. Sus notas se podían repetir varias veces y no era necesario que apareciesen todas antes de repetir una nota particular. Esta técnica compositiva es mucho menos rigurosa que la de Schoenberg.

Hauer no siempre trabajó con conjuntos de seis notas. En el ejemplo que aparece en las páginas 51–53 del libro de Johnson, Hauer experimenta con conjuntos de cuatro notas de la manera siguiente. Observemos la partitura reproducida en la figura 4, que corresponde a los primeros 12 compases de Zwölftonspiel, obra de 1946.

Figura 4: Los primeros 12 compases de Zwölftonspiel (figura tomada de [Joh14b]).

En ella se advierte que en cada compás usa un conjunto de cuatro notas, las cuales se repiten en el siguiente compás salvo una, que cambia de compás a compás. Este proceso continúa durante 12 compases. Es claro que al final de este proceso han aparecido las 12 notas de la escala cromática. Es, como vemos, una manera de experimentar con el cromatismo, de romper con la armonía con función de dominante similar y a la vez diferente de la de Schoenberg. En Other Harmony Johnson analiza e ilustra más piezas de Hauer y de su técnica compositiva.

4. Slonimsky y el inventario de escalas

Slonimsky (1894-1995) fue una figura fascinante que, sin duda, merecería más conocimiento y reconocimiento por parte del gran público. Fue pianista, compositor de orquesta y director de orquesta, pero también autor y —¿cómo podríamos decir?— lexicógrafo (pero no de palabras, sino de escalas). Sus escritos musicales más conocidos son el formidable Thesaurus of Scales and Melodic Patterns [Slo97] y su hilarante Lexicon of Musical Invective [Slo53]; también es digno de mención su trabajo como editor en el Baker’s Biographical Dictionary of Musicians (se puede consultar en línea una versión escaneada de la quinta edición en [Bak15]). A nosotros particularmente nos llama mucho la atención el sentido del humor del que hacía gala, irreverente, irónico y humano. Su Lexicon of Musical Invective es un jocoso ataque al mundo de la crítica, en que destapa sus miserias de modo irrefutable; se puede encontrar unos cuantos ejemplos de dicho libro en [Góm13].

El Thesaurus of Scales and Melodic Patterns es una gran compilación de todo tipo de escalas: las hay ascendentes, pero también con otros tipos de orden; las hay basadas en la división de la octava, pero también basados en intervalos superiores a ella; y las hay con una gran variedad de número de notas. Como es obvio, a partir de las escalas se pueden construir acordes tomando subconjuntos de notas de varios tamañ˜nos. Sin embargo, Slonimsky no pone mucha atención en las consecuencias armónicas de la enumeración de las escalas. Pero al final del libro Slonimksy sorprende al lector y presenta tres acordes bastante sugerentes y hasta provocativos. Al comentarlos Johnson afirma que probablemente no se han empleado nunca en composición alguna.

Figura 5: Acordes de 12 notas de Slonimsky (figura tomada de [Joh14b]).

Del libro de Slonimksy hay dos hechos que llaman la atención de Johnson. El primero es el sistema creación de escalas por interpolación y el segundo es el uso de intervalos superiores a la octava para construir escalas. El concepto de interpolación aparece en matemáticas en múltiples contextos, especialmente en cálculo numérico (la interpolación de Lagrange, de Hermite, polinomial, esplines y sus múltiples variaciones). La interpolación de escalas consiste en, a partir de una escala con pocas notas, introducir otras notas. Con frecuencia la interpolación lleva a la construcción de una escala de rango mayor que la octava en cuanto las notas introducidas tengan una mínima distancia interválica. En la figura 6 vemos distintas interpolaciones entre las notas do-sol#-mi-do a lo largo de dos octavas (dos primeros sistemas de la figura). El tercer sistema muestra una interpolación de tres octavas.

Figura 6: Interpolación de escalas (figura tomada de [Joh14b]).

No querríamos dejar sin mencionar la reflexión de Johnson (página 65) sobre la ruptura del pensamiento musical imperante y que este autor trae a colación de la obra de Slonimksy:

Most people are content to follow the traditions of their day, however, Slonimsky’s book remains surprisingly little known in music departments today.

5. Schillinger y su teoría compositiva

La figura de Joseph Schillinger es controvertida. Para unos, Schillinger fue un adelantado de su tiempo en su concepción de la teoría de la música, pues fue pionero de las técnicas algorítmicas de composición, del uso de la teoría de conjuntos para el análisis musical y de la música electrónica. En la figura 7 se puede ver una representación de una pieza musical de Bach con el sistema de Schillinger; dicha representación recuerda mucho a las modernas partituras de la música electrónica. Asimismo, influyó en compositores de la talla de George Gershwin, Benny Goodman, Glenn Miller o Henry Cowell, por nombrar unos pocos. Para otros, su teoría de la música es otro fracasado intento de explicar la música desde una perspectiva matemática, fracaso que sus detractores suelen achacar al carácter descriptivo de la gramática musical que presenta Schillinger, a sus problemas terminológicos y de notación, a su estilo deliberadamente provocativo y críptico en ocasiones, o en su énfasis en la repetición. Schillinger escribió una monumental obra en dos volúmenes, Schillinger System of Musical Composition [Sch78], cada uno de ellos dividido en doce libros donde virtualmente trata todos los aspectos de la música, desde el ritmo (quizás donde su teoría es más profunda) hasta orquestación y contrapunto. Su obra se publicó postúmamente.

Figura 7: Representación de la invención n^o 8 en fa mayor, BWV 77, de Bach (figura tomada de [Wik15]).

En Other harmony Johnson se aliena con los primeros, con los partidarios, aunque con sentido crítico. Considera sus ideas sobre el ritmo interesantes y dignas de estudio, pero se muestra decepcionado cuando entra en su sistema armónico. “Schillinger no nos dice mucho sobre la Otra Armonía”, se lamenta en la página 87 de su libro. Los acordes y sus métodos de construcción que describe Schillinger son esencialmente tonales, con frecuencia construidos sobre intervalos de tercera consecutivos.

Como hicieran otros autores, Schillinger clasifica los acordes y he aquí el momento en que Johnson encuentra un punto de interés con su propia obra compositiva. Johnson es el compositor de la obra The chord catalogue, una obra de 1985 en que se tocan todos los 8.178 posibles acordes en una octava; véase el vídeo [Vri15] para más información sobre esta obra. Para componer esta obra Johnson tuvo que desarrollar un esquema de cómputo de los acordes de modo que no hubiese repeticiones ni se quedaran acordes fuera de la lista. Resultó que el esquema de Johnson es casi igual que el de Schillinger. Johnson no conocía la obra de Schillinger cuando acometió la composición de su The chord catalogue.

Referencias