1. Introducción

¿Qué es una paradoja? Si algo caracteriza una paradoja es la capacidad de sumirnos en un estado de perplejidad, el cual suele ir seguido de una disposición a resolver la aparente contradicción. El diccionario de la Real Academia de la Lengua [Rea14] trae varias acepciones de la palabra paradoja. En primer lugar habla de “idea extraña u opuesta a la común opinión y al sentir de las personas”. En efecto, una paradoja siempre causa extrañeza porque desafía la lógica en su sentido más habitual, porque nos muestra una situación bajo una luz diferente y cuyos resultados nos son inesperados. Enfrentados a una paradoja siempre tenemos la sospecha de que estamos en presencia de una trampa. La paradoja es más potente cuanta más perplejidad causa en nosotros. En la siguiente acepción, la RAE habla de “una aserción inverosímil o absurda, que se presenta con apariencias de verdadera”. Y he aquí una segunda característica de las paradojas: han de ser aparentemente contradictorias. El diccionario de la RAE quizás se excede en esta definición cuando dice que la aserción es absurda o inverosímil. Hay paradojas —sobre todo en matemáticas—que no fueron absurdas en su momento y que mostraron serias grietas en los fundamentos de las matemáticas; piénsese en las paradojas de Russell, de las que hablaremos más abajo. Las paradojas, empero, no se limitan a las matemáticas. Las hay lógicas, psicológicas, filosóficas, físicas, biológicas, lingüísticas y musicales, entre otras; véase [Wik14] para una lista más larga de ellas. En la columna de este mes vamos a examinar las paradojas matemáticas y las paradojas musicales.

2. Paradojas matemáticas

2.1. Las paradojas de Zenón de Elea

Las paradojas de Zenón de Elea (490-430 a.C.) se cuentan entre las más conocidas en matemáticas. Estas paradojas tienen consecuencias matemáticas y filosóficas; véanse  [Sai09] y [Pal08] para más información sobre este filósofo y sus paradojas. Como ejemplo, vamos a presentar en la columna de este mes la paradoja de Aquiles y la tortuga.

Aquiles es un famoso guerrero aqueo por la velocidad de su carrera hasta tal punto que es conocido como “el de los pies ligeros”. Entre sus hazañas se cuenta haber matado al príncipe troyano Héctor durante la guerra de Troya. La paradoja propone una carrera entre el rápido Aquiles y una tortuga. Para equilibrar la carrera, la tortuga cuenta con una ventaja inicial. La carrera empieza y Aquiles corre raudo y veloz y en poco tiempo alcanza el punto en que estaba la tortuga al inicio de la carrera. Sin embargo, la tortuga ya no está allí. En el tiempo que ha empleado Aquiles en recorrer esa distancia, la tortuga ha avanzado un cierto trecho. Aquiles corre, otra vez raudo y veloz, hasta ese nuevo punto solo para encontrarse con que la tortuga ya no está, ha seguido avanzando. Cada vez que Aquiles llega a un nuevo punto, la tortuga ya no se encuentra allí. Este proceso se repite todo el tiempo. Llegamos a la conclusión de que Aquiles, por muy raudo que sea, nunca alcanzará a la tortuga. En la figura 1 se ilustra la paradoja.

Figura 1: La paradoja de Aquiles y la tortuga (figura tomada de [Rub14]).

Como vemos, la paradoja provoca perplejidad, pues nuestra experiencia cotidiana nos dice que no ocurre lo que describe la paradoja. Sabemos que hay algo que no funciona, pero ¿qué es? Hay varias maneras de explicar la paradoja y señalar dónde está el error en la paradoja. Hay una explicación filosófica y es la de advertir que la paradoja de Zenon confunde el espacio real con su modelo matemático. Para fijar ideas, supongamos que Aquiles es diez veces más rápido que la tortuga y que la distancia inicial entre Aquiles y la tortuga era de 10 metros. Después de n pasos Aquiles se encontrará a una distancia de . Cuando n sea muy grande, esa cantidad en el mundo matemático es todavía positiva, pero en el mundo real eso significa que Aquiles ya ha alcanzado a la tortuga.

Desde el punto de vista estrictamente matemático la paradoja se puede explicar también usando series numéricas. Teniendo en cuenta la distancia inicial y la velocidad de Aquiles, la distancia que recorre Aquiles viene dada por la siguiente suma:

La serie infinita que aparece es la suma de una progresión geométrica de razón menor que uno, la cual es convergente. Tenemos entonces que:

que es una cantidad finita. Por tanto, la suma infinita de números puede dar un resultado finito. La paradoja nos estaba haciendo creer que eso era imposible y que, por tanto, Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga. Sin embargo, los cálculos anteriores desenmascaran la paradoja.

2.2. Las paradojas autorreferenciales

Las paradojas autorreferenciales son aquellas que se derivan de enunciados que se refieren a sí mismos. La historia de estas paradojas es instructiva e interesante. A finales del siglo XIX hubo una escuela de pensamiento matemático, el formalismo, que concebía las matemáticas únicamente como un sistema formal basado en axiomas y demostraciones. Hoy en día se acepta mayoritariamente que las matemáticas tienen como características la abstracción, las demostraciones y las aplicaciones (véanse [AKL12, Sna79] para más detalles sobre las posibles definiciones de matemáticas). Obviamente, el formalismo enfatizó la segunda característica, las demostraciones. Durante un cierto tiempo los formalistas creyeron que la lógica y la teoría de conjuntos, tal cual estaban definidas entonces, constituirían los fundamentos de las matemáticas. Entonces aparecieron una serie de paradojas que les hicieron replantearse esa idea. Una de ellas fue la paradoja del barbero de Bertrand Russell.

La paradoja va como sigue. Hay una ciudad donde hay un único barbero, que resulta ser un hombre. En esa ciudad misteriosa no hay hombres que se dejen barba. Para afeitarse hacen una de las dos cosas siguientes: o bien se afeitan a sí mismos o bien acuden a la barbería para afeitarse. Además el barbero solo afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos. La pregunta es quién afeita al barbero. Si el barbero se afeita a sí mismo, caemos en una contradicción, ya que el barbero no afeita a quien se afeita a sí mismo. Si declaramos al barbero como miembro del conjunto de los que no se afeitan a sí mismo, por las condiciones del problema, tendría que ir a la barbería a que le afeitaran. Pero entonces se afeitaría a sí mismo y ya hemos visto que eso es contradictorio. La paradoja del barbero pone de manifiesto que no es posible definir un conjunto cuya definición se refiera a sí mismo.

Relacionadas con esta paradoja están las paradojas lógicas consistentes en enunciados cuyo valor de verdad no se puede establecer. Por ejemplo, ”esta frase es falsa”, es un ejemplo clásico (la paradoja del mentiroso). Estos enunciados no son objeto de la lógica de proposiciones, la cual requiere que todo enunciado que participe en un razonamiento sea susceptible de determinarse su valor de verdad.

La autorreferencia o circularidad ha aparecido en otros campos como la literatura o las artes plásticas. Escher la usó mucho; abajo tenemos una famosa litografía suya tratando este tema.

Figura 2: Drawing hands, de M. Escher.

2.3. Las paradojas relativas a conjuntos infinitos

A veces la paradoja no es tal, sino el producto de un sesgo cognitivo. La idea de que el todo es mayor que sus partes nos parece natural e incontestable. En realidad, eso solo ocurre para conjuntos finitos. Con los conjuntos infinitos las cosas siempre son más divertidas. Consideremos el siempre inocente y familiar conjunto de los números naturales ℕ. Ilustraremos sus curiosas propiedades a través de la paradoja del Gran Hotel debida a Hilbert (véase, por ejemplo, [Gar89, Dek14]).

El Gran Hotel es un hotel especial; tiene infinitas habitaciones, infinitas del tipo de los números naturales (el lector ya me entiende). Estamos en el fin de semana en que se celebra el aniversario del nacimiento de Martin Gardner, el ya conocido Celebration of Mind, y el hotel se encuentra totalmente lleno. No queda ni una sola habitación libre. Su recepcionista, Adolfo Diligente, es el ser más servicial que quepa imaginar, amén de un amante de las matemáticas. Cerca del mediodía llega Maryam Mirzakhani, la medalla Fields de 2014. Entre tanta entrega y homenaje, olvidó hacer la reserva y ahora no tiene habitación. Preguna, compungida, a Adolfo qué puede hacer él. Este, que la admira profundamente, responde resueltamente a su petición.

— No se preocupe, señora Mirzakhani, estamos en el Grand Hotel, un hotel infinito donde los haya, y aquí hay solución para todos los problemas. Mire lo que haré. Pediré a cada huésped que se vaya a la habitación siguiente a la suya. Esto nos dejará la habitación número uno libre para usted. Esta es, señora Mirzakhani, una de las mejores del hotel —y Adolfo sonrió cálidamente al tiempo que dejaba ver sus blancos dientes—.

— Gracias, Adolfo. Nunca olvidaré esto —dijo la señora Mirzakhani con una expresión sincera—.

Adolfo se sumió en sus quehaceres y aunque fijaba su atención en ellos se sentía secretamente feliz por haber tenido la oportunidad de hablar con una matemática de la talla de la señora Mirzakhani.

Al poco entró un grupo de viajeros. Se identificaron como matemáticos que iban a asistir a la Celebration of Mind, pero, igual que la señora Mirzakhani, habían olvidado reservar habitación. El resto de los hoteles de la ciudad eran finitos y todos, que también estaban llenos, les habían mandado al Grand Hotel, el único hotel infinito en la zona. Amablemente preguntaron a Adolfo si algo se podía hacer. Adolfo, mientras hablaba con el portavoz del grupo, los contó disimuladamente. Es un número finito, pensó, y eso se puede arreglar.

— Estimados señores, veo que su grupo consta de 25 personas. Dado que este hotel es infinito, les puedo acomodar. Pediré a cada huésped que amablemente se cambia a la habitación que marca su número más 25, salvo la primera habitación. En ella se aloja la señora Mirzakhani y no se la puede molestar, ya me comprenden ustedes —el grupo de viajero asintió con seriedad—. Tienen ustedes las habitaciones de la 2 a la 26. Permítanme su documentación, por favor.

Y así fue como Adolfo acomodó a este grupo. Dos horas más tarde, cerca de la hora del aperitivo, cuando los infinitos huéspedes departían relajadamente en el infinito salón del Grand Hotel (hotel infinito para huéspedes infinitos, claro), un nuevo grupo de viajeros llegó. Pero esta vez el grupo era diferente: era un grupo infinito de personas. Este grupo de matemáticos absortos habían tratado de probar un teorema y tal fue la concentración que pensaron que habían reservado el hotel, pero, de hecho, solo fue una intención que nunca se materializó.

Adolfo escuchó educadamente la historia de los infinitos matemáticos. Luego hizo la siguiente pregunta:

— Señor, el infinito de ustedes, ¿es numerable?, esto es, ¿es el infinito de los números naturales? En otro caso, me temo que nada podría hacer.

— Venimos en número infinito numerable, señor; nos podemos poner en biyección con los números naturales, sí, en efecto.

Adolfo sonrió e informó que sus habitaciones estarían listas después de comer. De momento, los condujo a la consigna para que dejasen sus maletas allí. Durante la comida pediría a los huéspedes que se mudasen a la habitación cuyo número es el doble de la que ahora tienen. De este modo se quedarían libres un número infinito de habitaciones. Ese infinito es numerable y, por tanto, los nuevos huéspedes cabrían. Sentía tener que mover a la señora Mirzakhani, pero estaba seguro de que era comprensiva.

Y hasta aquí nuestra versión de la paradoja del infinito. Como vemos, la paradoja apela a la intuición bastante común de que las partes son más pequeñas que el todo, pero se resuelve en cuanto estudiamos mínimamente las propiedades de los conjuntos infinitos. Se sabe que los números pares tiene el mismo cardinal que el propio conjunto ℕ; en realidad, el conjunto de los múltiplos de cualquier número k ∈ ℕ fijo tiene el mismo cardinal que ℕ.

3. Paradojas musicales

Hay varias paradojas en el mundo de la música. Vamos a describir una de las más conocidas, la paradoja del tritono, que fue descubierta por la psicóloga de la música Diana Deutsch [Deu86]. En su página web tiene un artículo excelente, donde explica con mucho detalle la paradoja y sus consecuencias; consúltese [Deu14]. Para un buen artículo de divulgación sobre las paradojas, véase Paradoxes of musical pitch [Deu92] de la la misma autora.

La paradoja del tritono presenta dos sonidos producidos uno después del otro y separados por un tritono, esto es, exactamente por la mitad de una octava. Cuando estos sonidos se tocan en sucesión ascendente ocurre que a veces se oyen como descendentes (el primer sonido es más agudo que el segundo) cuando en realidad se han tocado ascendentes (el primer sonido es más grave que el segundo). Esto no pasa en todas las ocasiones ni con todos los sujetos, pero a Deutsch le pareció que merecía la pena investigarlo.

Para ello diseñó un experimento en que presentó a los sujetos una sucesión de intervalos de tritono que primero subían y luego bajaban. Cuando un sujeto percibía que el intervalo subía, dibujaba una flecha hacia arriba; en caso contrario, dibujaba una flecha hacia abajo. El experimento se repitió varias veces con los mismos sujetos y los mismos patrones melódicos. En la figura 3 tenemos los resultados de un sujeto en particular. La gráfica muestra el porcentaje de veces que el sujeto oyó el patrón melódico como descendente. Uno esperaría que la gráfica tomase dos valores solo, 0 y 100, pero en lugar de eso vemos que hay una curva que indica que ciertos intervalos ascendentes se oyen como descendentes. Deutsch conjeturó que este fenómeno no se da uniformemente y que depende de los tonos en particular.

Figura 3: Experimento asociado a la paradoja del tritono.

También conjeturó que esa circunstancia varía de un sujeto a otro y que está relacionada incluso con la procedencia geográfica, la posesión de oído absoluto, la lengua madre o los patrones del habla a que estamos acostumbrados o expuestos. En la figura 4 vemos los resultados de otro sujeto. Son muy diferentes a los del sujeto de más arriba. Ahora la confusión en la dirección melódica ocurre cerca de de otros tonos, en este caso do# y re. Las gráficas de las dos figuras parecen casi complementarias.

Figura 4: Experimento asociado a la paradoja del tritono.

4. Conclusiones

En este artículo hemos examinado las paradojas en las matemáticas y en la música. La naturaleza de las paradojas en música es de tipo cognitivo. La sorpresa viene de que nuestro sistema cognitivo percibe un estímulo de modo incorrecto, pero nada podemos hacer al respecto (Deutsch incluyó músicos en sus experimentos y eso no cambió los resultados). En el caso de las matemáticas, las paradojas se pueden resolver bien ofreciendo explicaciones más finas (como en el caso de las paradojas de Zenón de Elea o del infinito) o bien fortaleciendo los matemáticas en sí (como en el caso de las paradojas autorreferenciales).

Bibliografía