50. (Septiembre 2013) Transformaciones rítmicas: de binarizaciones y ternarizaciones - II
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Jueves 05 de Septiembre de 2013

Tras haber estudiado en la columna anterior las transformaciones rítmicas, nos adentramos en este mes en las binarizaciones y ternarizaciones de ritmos. Las binarizaciones se estudiarán con los ejemplos reales tomados del libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [Pér86]. Se analizarán también las ternarizaciones, siguiendo el artículo de Gómez y sus coautores [GKK+07], así como los experimentos que realizaron con distancias rítmicas y centros de familias de patrones rítmicos.

3. La teoría de Rolando Pérez

Ilustraremos la binarización de patrones rítmicos principalmente examinando el libro de Rolando Pérez [Pér86]. Este autor ofrece una teoría que explica la presencia de patrones binarios en América Latina como resultado de un proceso de binarización de patrones rítmicos ternarios de los esclavos de origen africano. El libro está organizado en tres grandes capítulos que glosaremos aquí brevemente.

El primer capítulo constituye un estudio histórico, sociológico y cultural de la influencia africana en la península ibérica y en la América Latina colonial. Se estudian con gran atención los procesos de enculturación, deculturación y transculturación entre la cultura de los esclavos y la de los colonizadores. Tras la caída de Constantinopla en 1453 el comercio de esclavos desde Oriente Próximo se interrumpe, pues queda en manos de los turcos, y los españoles van al África occidental para nutrirse de esclavos. Después del descubrimiento de América, los esclavos capturados en África eran mandados a los nuevos territorios. Tan solo nueve años después del descubrimiento de América, España aprueba la primera ley para regular el mercado de esclavos. En algunos casos los esclavos renuncian a su cultura y aceptan la de la potencia dominante; en otros casos la cultura de origen se mantiene de como forma de preservar la identidad, incluso a pesar de la represión ejercida por el entorno.

El capítulo dos está dedicado al estudio de las similitudes y diferencias en la música española y la africana así como a los procesos de sincretismo entre ambas. La zona de África de donde se tomaba los esclavos gozaba de una cierta unidad musical –Rolando Pérez hace esta afirmación basándose en el trabajo de Nketia [Nke63]–. También recuerda el autor que en la música de la península ibérica en aquellos tiempo los patrones rítmicos ternarios eran bastante frecuentes. En este segundo capítulo se explica con detalle el proceso de binarización y lo analizaremos en profundidad más abajo.

En el tercer capítulo Rolando Pérez pone ejemplo musicales detallados de cómo el proceso de binarización tiene lugar. Muestra, por ejemplo, como la clave ternaria [x . x . x . . x . x . .] se transforma en la clave binaria [x . . x . . x . . . x . x . . .].

Rolando Pérez se apoya en el trabajo del prestigioso musicólogo ghanés Nketia [Nke63, Nke74] para la conceptualización y terminología de su teoría. Nketia relacional la frase música con el tramo temporal, que es de duración fija. El tramo temporal, que se identifica típicamente con un compás de 12/8 a la hora de transcribir, se divide en pulsos reguladores que sirven como referencia a los bailarines (en África la música no se concibe sin la danza). Estos pulsos reguladores dividen en dos partes iguales al tramo temporal. Dividiendo a su vez el tramo temporal en unidades más pequeñas llegamos al pulso básico. El tramo temporal se mide en términos de pulsos básicos. Hasta aquí la teoría de Nketia; en este punto Rolando Pérez introduce el pie métrico entre la categoría de pulso regulador y la de pulso básico. El pie métrico es la clasificación del agrupamiento de dos o más pulsos básicos acorde a su duración o acentuación. Aquí solo tomaremos en cuenta el agrupamiento por duración. Hay dos duraciones básicas, la larga y la corta, y la primera dura el doble que la segunda. En la figura 1 se pueden ver los principales pies métricos que se emplearán en este artículo (L significa largo y C corto; hemos usado notación de caja).


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Figura 1: Los principales pies métricos

Por ejemplo, el patrón [x . x x x . ∣ x x . x . x] está formado por un tramo temporal de 12 pulsos básicos, donde los pulsos reguladores se encuentran en las posiciones 1 y 7. Su descomposición en términos de pies métricos es troqueo+yambo+yambo+troqueo. La línea vertical marca la división del tramo temporal en los dos pulsos reguladores.

En este punto Rolando Pérez presenta un conjunto de patrones rítmicos con un tramo temporal formado por 6 pulsos ([Pér86], páginas 82, 83, 91 y 101). Todos ellos son combinaciones de los pies métricos definidos antes. Para cada uno de esos ritmos muestra el proceso de binarización, el cual tiene lugar al nivel del pie métrico. En la figura 2 se recogen esos patrones rítmicos y sus binarizaciones. Los nombres en la columna de la derecha corresponden a uno de los muchos que se pueden encontrar para ese patrón rítmico concreto.


figura-2
Figura 2: Patrones rítmicos de 6 pulsos y sus versiones binarias.

En la figura 3 podemos observar la evolución del pie de zamba hasta el patrón [x x . x x . x .] en varios ejemplos ([Pér86], páginas 100 y 101). Primer, tenemos La manta, una canción mejicana con el pie de zamba (véase la voz superior); después se percibe una binarización parcial de la segunda parte del pie de zamba en una canción popular mejicana llamada El adiós a la fiesta; finalmente, vemos la danza cubana de Ignacio Cervantes Pst, donde se ha producido una binarización completa.



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La manta

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El adiós

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Pst



Figura 3: Evolución del pie de zamba.

En un segundo conjunto de ritmos, Rolando Pérez reúne patrones rítmicos con tramos temporales de 12 pulsos y presenta sus correspondientes binarizaciones ([Pér86], páginas 102 y siguientes); véase la figura 4. El patrón llamado clave son 6/8 se puede encontrar en muchas tradiciones musicales bajo otros nombres, por ejemplo, como clave fume-fume [Tou03b]. El patrón [x . x . x x . x . x . x] es conocido bajo otros nombres, pero hemos elegido el que se usa en la tradición africana: bembé. Chernoff [Che79] fue el primero en estudiar la binarización del bembé.

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Figura 4: Patrones binarizados con tramos temporales de 12 pulsos.

Los nombres de los patrones binarizados en la columna de la derecha servirán como referencia en el resto del artículo.

Rolando Pérez presenta un tercer conjunto de patrones rítmicos a los que llama recursos de variación rítmica ([Pér86], páginas 73-74 y 112-122). Estos patrones están formados por variaciones del moloso [x . x . x .], la primera parte de la clave son 6/8. Fueron recogidos para un trabajo previo de Rolando Pérez  [Pér79] en el cual clasificaba los patrones de palmas y cencerros de la música tradicional cubana. Estos patrones también estaban documentados en tradiciones musicales africanas pertenecientes a las áreas donde se produjo esclavitud. En la figura 5 se muestran estas variaciones rítmicas junto con las versiones binarizadas. Nótese que algunas variaciones tienen más de una versión binaria asociada.


Descripción Notación del Versión Nombre del
del patrón patrón binarizada patrón binarizado








Variación 1(c) [x x x . x .] [x . x x . . x .] Ver. binarizada var. 1(c)-1




Variación 1(c) [x x x . x .] [x x . x . . x .] Ver. binarizada var. 1(c)-2




Variación 1(d) [. x x . x .] [. . x x . . x .] Ver. binarizada var. 1(d)-1




Variación 1(d) [. x x . x .] [. x . x . . x .] Ver. binarizada var. 1(d)-2




Variación 2(c) [x x x . x x] [x . x x . . x x] Ver. binarizada var. 2(c)




Variación 4(c) [x x x x x x] [x x . x . x x x] Ver. binarizada var. 4(c)




Variación 4(a) [x . x x x x] [x . . x x x x .] Ver. binarizada var. 4(a)




Variación 5(a) [x . x . . .] [x . . x . . . .] Ver. binarizada var. 5(a)




Variación 6(c) [x x x . . x] [x x . x . . . x] Ver. binarizada var. 6(c)
Figura 5: Binarizaciones de los recursos de variación rítmica.

De nuevo, los nombres de los patrones binarizados son mnemónicos para futura referencia en este artículo.

4. Reglas de transformación rítmica

Como ya hemos señalado, el proceso de binarización propuesto por Rolando Pérez usa el pie métrico como punto de partida. La binarización de un patrón ternario se descompone en términos de su pie métrico. Después, cada pie es binarizado de acuerdo a un conjunto de reglas de binarización o reglas de transformación rítmica. Finalmente, los pies binarizados se ponen juntos de nuevo para formar el nuevo patrón rítmico. Por ejemplo, consideremos el pie de zamba [x x x x x .]. Está formado por la concatenación de un tribraquio [x x x] y un yambo [x x .]. En este caso, las reglas de transformación son [x x x]-→[x x . x ] y [x x .]-→[x . x . ]. Finalmente, pegamos los subpatrones y obtenemos el patrón ternario [x x . x x . x .]. Las reglas de transformación usadas en el libro de Rolando Pérez se pueden ver en la figura 6 (la explicación de la columna de la derecha se da en la siguiente sección).


Pie métrico Patrón binarizado Reglas de aproximación






[x x x] [x x . x] Vecino más cercano

[x . x x] Vecino horario

[x x x .] Vecino antihorario



[x . x] [x . . x] Vecino más cercano

[x . x .] Vecino más lejano



[x x .] [x x . .] Vecino más cercano

[x . x .] Vecino más lejano
Figura 6: Las reglas de transformación rítmica usadas por Rolando Pérez y su interpretación geométrica.

Gómez y sus coautores [GKK+07] estudiaron desde un punto de vista matemático las reglas de transformación rítmicas definidas por Rolando Pérez en su libro. Definieron una serie de reglas geométricas con las que modelizar la binarización. Aun más, analizaron las reglas inversas, las de ternarización, y llevaron a cabo experimentos con esas reglas. En el resto de este artículo revisaremos su trabajo.

4.1. Reglas de aproximación

Las reglas descritas antes son expresables en términos de reglas de aproximación. Algunas reglas de binarización se pueden interpretar como un problema geométrico en un círculo. Para hacer una exposición más gráfica, consideremos un reloj de tres horas superimpuesto sobre un reloj de cuatro horas, tal y como se muestra en la figura 7. El problema se reduce a encontrar una regla que transforme las notas del reloj ternario en notas del reloj binario. Ya que ambos relojes tienen como hora común las doce del mediodía (el polo norte), esta nota se transforma en sí misma. Para el resto de las notas se definen varias reglas. Una regla que surge naturalmente es asociar la nota con su vecino más cercano en el reloj binario. Esta regla refuerza la idea intuitiva de que las notas se perturban lo menos posible y se debería esperar pues que las estructuras perceptuales de ambos ritmos fuesen similares. Por ejemplo, esta regla toma el tribraquio [x x x] y lo convierte en [x x . x]; esta regla se llama del vecino más cercano (VMC). Otras reglas que se van a usar son las siguientes: la regla del vecino más lejano (VML), donde cada nota se mueve a su vecino más lejano; la regla del vecino horario (VH), donde cada nota se asocia a la nota siguiente en el sentido horario; y la regla del vecino antihorario (VAH), donde cada nota se mueve a la siguiente en sentido antihorario. En la figura 6 de arriba la columna de más a la derecha contiene las reglas utilizadas por Rolando Pérez y su definición en términos de las reglas de aproximación.

La regla VML, del vecino más lejano, puede parecer poco intuitiva. Sin embargo, los experimentos demostraron que esta regla funciona bien en muchos casos y que era válido tenerla en cuenta.


PIC

Figura 7: Las reglas de aproximación.

Nótese que la reglas VMC y VML pueden llevar dos notas a una nota común. Tomemos el tribraquio [x x x] y la regla del vecino más lejano; uno obtiene el patrón [x . x .], con una nota menos. Surge entonces el llamado problema de las notas comunes. Volveremos a este problema más tarde.

Las reglas de aproximación se han usado previamente en otros contextos; por ejemplo, en la definición de ritmos euclídeos o en similitud rítmica en la música flamenca; véanse [Tou03a] y [DGM+05].

5. Experimentos con las reglas de aproximación

En el artículo de Gómez y sus coautores [GKK+07]estudiaron los procesos de binarización y ternarización. Lamentablemente, no disponían de un conjunto de patrones ternarios como los que había recogido Rolando Pérez para el caso binario. Su estudio consistió en una serie de experimentos con las reglas de aproximación que explicamos a continuación.

El primer experimento consistió en binarizar los patrones ternarios contenidos en los libros de Rolando Pérez [Pér86, Pér79] (véanse las figuras 2, 4 y 5) empleando las reglas de aproximación VMC, VML, VH y VAH. Estas reglas no solo se pueden aplicar para binarizar patrones rítmicos, sino que también valen para ternarizar patrones binarios. Las reglas de aproximación en estos experimentos no fueron aplicadas al nivel del pie métrico sino al patrón rítmico entero.

El segundo experimento tiene que ver con los centros de familias de patrones rítmicos o patrones que equidistan de todos los demás (ver la correspondiente sección más abajo para los detalles técnicos). Estos fueron usados por primera vez por Toussaint en el análisis de ritmos de clave binarios y ternarios [Tou02, Tou03a].

Resta por resolver el problema de las notas comunes que surge con las reglas VMC y VML. Gómez y sus coautores usaron el concepto de contorno rítmico para resolverlo. Su motivación para ello fue su importancia en cognición musical [Mar91, Han98, Deu98, Sny04].

5.1. Contorno rítmico

El contorno rítmico se ha usado en el análisis de ritmos que no están basados en pulsación regular o métrica, para la descripción de características estilísticas, para el diseño de algoritmos para la clasificación de estilos y también para el estudio de la discriminación perceptual de patrones rítmicos, entre otros. El contorno rítmico se define como el patrón de cambio en la sucesión de duraciones correlativas. Algunos autores representan el contorno rítmico como una sucesión de enteros que refleja estos cambios; otros simplemente describen los cambios de una manera cualitativa, observando si la duración se hacer más larga, más corta o permanece constante. Por ejemplo, consideremos el contorno rítmico de la milonga [x x . x x . x .]. Primero, obtenemos su sucesión de duraciones: 12122. El patrón de duraciones usando números enteros es {1,-1,1,0,-1} (se cuenta el cambio entre la primera y la última nota), y si solo nos interesan los cambios, entonces basta con escribir {+ - +0-}. Usaremos esta última forma de registrar el contorno rítmico en el resto de este artículo.

Para resolver el problema de las notas comunes se comparan los contornos rítmicos de los patrones transformados. Dicha comparación se puede hacer con la distancia de Hamming, que cuenta las posiciones donde los contornos rítmicos no coinciden, o dicho de otra manera, cuenta el número de sustituciones que hay que hacer un contorno rítmico para obtener el otro. El inconveniente de esta distancia es que requiere que los contornos tengan la misma longitud, situación que se no produce en cuanto hay notas comunes. Una buena alternativa es la distancia de permutación dirigida (desarrollada más abajo).

5.2. Centros de familias de ritmos

El segundo conjunto de experimentos comprende el cálculo de varios tipos de centros. Dada una familia de ritmos con tramo temporal fijo, digamos n pulsos, se define el centro como el patrón que optimiza cierta función distancia, bien sea dentro de la familia de patrones rítmicos, o bien en el espacio de patrones rítmicos entero. Gómez y sus coautores relacionan la idea de centro con la de similitud. Los criterios de optimización que seleccionaron fueron dos: la minimización de la máxima distancia (min-max) y la minimización de la suma (min-sum). Como función distancia tomaron por dos distancias muy frecuentes, la distancia de Hamming y la distancia de permutación dirigida [DBFG+04] (DPD en adelante; esta distancia se definió en la sección 2 más arriba). Así pues, tenemos ocho posibles tipos de centros, dadas las dos posibles distancias, los dos posibles criterios de optimización, los dos posibles conjuntos de patrones rítmicos y si la optimización se lleva a cabo dentro de la familia de patrones o en el espacio entero.

6. Resultados de los experimentos

En los experimentos las familias de ritmos se agruparon acorde a la longitud de los tramos temporales. Debido al problema de las notas comunes, las tablas que produjeron Gómez y sus coautores tenían varias páginas de longitud en algunos casos. Los resultados completos de los experimentos se pueden consultar en [GKK+07b] Aquí mostraremos los resultados más relevantes que obtuvieron junto con una breve discusión de los mismos. Comentaremos más en profundidad los centros relativos a la familia de ritmos que los correspondientes al espacio de patrones rítmicos entero.

6.1. Patrones rítmicos obtenidos con las reglas de aproximación

En primer lugar, consideraremos la regla VMC aplicada a la binarización. Las figuras 8 y 9muestran los resultados de los experimentos. Los ritmos en negrita son aquellos que coinciden con los patrones binarizados en el libro de Rolando Pérez. Como se puede ver, la regla VMC no da a lugar a casi ninguna correspondencia. Más aun, esas binarizaciones tienen poco interés en cuanto que guardan poco parecido perceptual con las versiones ternarias; véase, por ejemplo, la binarización del bembé producida por esa regla, [x . . x . x . x . x . . x . . x], y compárese con la binarización dada por Rolando Pérez, [x . . x . . x x . . x . x . . x].


Patrón ternario Nombre Patrón binarizado



x x x x x . x . x . x . Zamba+Moloso x . x . x . x . x . x . . . x .



x . x . x . . x . x . . Clave son 6/8 x . x . . . x . . . x . x . . .



x . x . x . . x . x . x Clave son 6/8 -var. 1 x . x . . . x . . . x . x . x .



x . x . x . . x . x x . Clave son 6/8 -var. 2 x . x . . . x . . . x . x . x .



x . x . x x . x . x . x Bembé x . . x . x . x . x . . x . . x
Figura 8: Binarización de los patrones de 12 pulsos con la regla VMC.


Patrón ternario Nombre Patrón binarizado



x x x x . x Tribraquio+Troqueo x x . x x . . x



x x x x x . Pie de zamba x x . x x x . .



x . x x x . Coriambo x x . x x x . .



x x x . x . Var. 1(c)-1 x x . x . x . .



. x x . x . Var. 1(d)-1 . x . x . x . .



x x x . x x Var. 2(c) x x . x . x . x



x x x x x x Var. 4(c) x x . x x x . x



x x x . . x Var. 6(c) x x . x . . . x



x . x . . . Var. 5(a) x . . x . . . .



x . x x x x Var. 4(a) x . . x x x . x
Figura 9: Binarización de los patrones ternarios de 6 pulsos con las reglas VMC.

A continuación mostramos la tabla correspondiente a la ternarización de los patrones de 8 pulsos obtenidos aplicando la regla VMC; véase la figura 10. El significado de las abreviaturas en las columnas de la tabla, leídas de izquierda a derecha, es la siguiente: P. binar. es el patrón binario; Nombre es el nombre del patrón; Tern. es el patrón ternarizado; Nombre tern. es el nombre del patrón en el caso de que esté en el catálogo de Rolando Pérez; NNC es el número de notas comunes en la ternarización; Min. Ham. es la lista de patrones con la distancia de Hamming mínima cuando se aplica la regla para resolver las notas comunes o la lista de todos los patrones con notas comunes; Cont. rítm. los contornos rítmicos con las notas comunes y el contorno del patrón original; N. com. es la lista de los patrones generados con notas comunes; Con. rítm. com. son las partes comunes de los contornos rítmicos. En algunos patrones binarios se encuentran correspondencias con los patrones binarios originales. En esta tabla se puede observar el procedimiento para resolver los patrones con notas comunes. Por ejemplo, la variación 6(c) fue ternarizada de manera única ya que no dio lugar a notas comunes. Sin embargo, la variación 1(c)-1 produjo dos patrones con notas comunes, [x x x . x .] y [x x x . . x]. En este último caso comparamos los contornos melódicos para decidir qué patrón dará el resultado final. Los contornos rítmicos son {0 + 0-} y {0 + -0}, respectivamente (nótese que la última nota y la primera se comparan para el contorno rítmico). Para el patrón ternario el contorno rítmico es {- + -0}; por tanto, el contorno rítmico de [x x x . x .] es más similar, y este es el patrón que se da como resultado. En el caso de la variación 1(d)-1, el contorno rítmico no puede determinar cuál de los dos ritmos es el válido ya que los contornos rítmicos son idénticos.


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Figura 10: Ternarización de los ritmos de 8 pulsos con la regla VMC.

Las figuras 11 y 12 muestran las binarizaciones dadas por la regla VH. Para los patrones de 12 y 6 pulsos se encontraron muchas correspondencias con los patrones dados en el libro de Rolando Pérez. Por ejemplo, el bembé se transformó en su forma binarizada comúnmente aceptada, [x . . x . . x x . . x . x . . x]. Como ya mencionamos antes, esta regla no produce patrones con notas comunes.


Patrón ternario Nombre Patrón binarizado rhythm



x x x x x . x . x . x . Zamba+Moloso x . x x x . x . x . . x . . x .



x . x . x . . x . x . . Clave son 6/8 x . . x . . x . . . x . x . . .



x . x . x . . x . x . x Clave son 6/8 -var. 1 x . . x . . x . . . x . x . . x



x . x . x . . x . x x . Clave son 6/8 -var. 2 x . . x . . x . . . x . x . x .



x . x . x x . x . x . x Bembé x . . x . . x x . . x . x . . x
Figura 11: Binarización de patrones de 12 pulsos usando la regla VH.


Patrón ternario Nombre Patrón binarizado rhythm



x x x x . x Tribraquio+Troqueo x . x x x . . x



x x x x x . Pie de zamba x . x x x . x .



x . x x x . Coriambo x . . x x . x .



x x x . x . Var. 1(c)-1 x . x x . . x .



. x x . x . Var. 1(d)-1 . . x x . . x .



x x x . x x Var. 2(c) x . x x . . . x



x x x x x x Var. 4(c) x . x x x . x x



x x x . . x Var. 6(c) x . x x . . . x



x . x . . . Var. 5(a) x . . x . . . .



x . x x x x Var. 4(a) x . . x x . x x
Figura 12: Binarización de patrones de 6 pulsos usando la regla VH.

La regla VML no produjo correspondencias con los patrones recogidos por Rolando Pérez ni en la binarización ni en la ternarización. Curiosamente, no aparecieron notas comunes en el caso de la binarización y sí muchas en la ternarización, en algunos casos tantas como tres. Más aun, en numerosas ocasiones las notas comunes no se pudieron resolver. En el caso de los patrones de 16 pulsos no se produjo resultado alguno; todas las notas comunes quedaron sin resolver. Para la binarización, los patrones generados con la regla VML eran más bien monótonos, a menudo patrones con muchas corcheas consecutivas que no reflejaban la estructura perceptual de sus equivalentes ternarios. Con respecto a la regla VAH, los resultados fueron mejor que con la regla VH. La ternarización funcionó bien; por ejemplo la ternarización de [x . . x . . x x . . x . x . . x] dio el bembé. No hubo correspondencias con los patrones de Rolando Pérez en la binarización, pero los ritmos que se obtuvieron son interesantes por sí mismos. Las reglas VH y VAH no dan resultados llamativos cuando transforman patrones como [. x x . x .], ya que ambas reglas generan patrones con una nota en la primera posición. Obviamente, esto cambia la esencia del ritmo, puesto que transforma en tiempo débil en una parte en tiempo fuerte.

6.2. Centros de familias de patrones rítmicos

En esta última sección discutiremos los centros calculados para las familias de patrones rítmicos. Gómez y sus coautores usaron dos distancias, la de Hamming y la DPD (distancia de permutación dirigida); y dos tipos de criterio de optimización, la min-sum y la min-max.

Consideramos en primer lugar los patrones de 8 pulsos. Los resultados están resumidos en la figura 13. Nótese que el ritmo [x x . x . . x .] es el centro para todas las distancias y para todos los criterios de optimización. El centro para la DPD con el criterio min-max contiene cuatro patrones. Por tanto, el patrón [x x . x . . x .] se puede considerar el más similar a los otros.


Distancia Función Valor Patrón Nombre










Hamming Min-Sum 23 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2





Hamming Min-Max 3 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2





DPD Min-Sum 24 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2





DPD Min-Max 4 [x . . x x . x .] Habanera



[x . x x . . x .] Bin. var. 1(c)-1



[x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2



[. x . x . . x .] Bin. var. 1(d)-2
Figura 13: Resultados para los centros con patrones de 8 pulsos.

Para la binarización de los patrones de 16 pulsos los autores obtuvieron los resultados que se muestran en la figura 14. La clave son y su variación [x . . x . . x . . . x . x . x . ] aparecen como centros en todos los casos. Esto no constituye ninguna sorpresa, ya que el conjunto de patrones binarios estudiados por Rolando Pérez son variaciones de la clave son en muchos casos.


Distancia Función Valor Patrón Nombre










Hamming Min-Sum 13 [x . . x . . x . . . x . x . . . ] Bin. clave Son



[x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1





Hamming Min-Max 6 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1





DPD Min-Sum 12 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1





DPD Min-Max 4 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1
Figura 14: Resultados para los centros con patrones de 16 pulsos.

La figura 15muestra los resultados para los patrones ternarios de 6 pulsos. Como en el caso de la binarización, hay un ritmo que aparece en todos los centros, a saber, la variación 1(c)-1 [x x x . x .]. De nuevo, esto indica que es el patrón más similar al resto.


Distancia Función Valor Patrón Nombre










Hamming Min-Sum 19 [x x x . x .] Var. 1(c)-1





Hamming Min-Max 3 [x x x x x .] Pie de zamba



[x x x . x .] Var. 1(c)-1



[x x x . x x] Var. 2(c)





DPD Min-Sum 18 [x x x . x .] Var. 1(c)-1





DPD Min-Max 3 [x . x x x .] Coriambo



[x x x . x .] Var. 1(c)-1



[. x x . x .] Var. 1(d)
Figura 15: Resultados para los centros con patrones de 6 pulsos.

En último lugar, examinamos los centros de patrones ternarios de longitud 12 pulsos; véase la figura 16. La situación es muy similar a la de los patrones binarios. La clave son 6/8 y su variación [x . x . x . . x . x x .] determinan el conjunto entero de centros, donde este último patrón aparece en tres de los cuatro centros.


Distancia Función Valor Patrón Nombre










Hamming Min-Sum 11 [x . x . x . . x . x . .] Clave son 6/8





Hamming Min-Max 6 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2





DPD Min-Sum 9 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2





DPD Min-Max 4 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2
Figura 16: Resultados para los centros con patrones de 12 pulsos.

7. Conclusiones finales

De todo lo visto hasta ahora se pueden obtener muchas conclusiones, las cuales resumimos a continuación:

  • Los datos de los experimentos: Sería deseable tener más ejemplos documentados de patrones rítmicos binarizados. Los proporcionados por Rolando Pérez en sus libros son insuficientes. Los patrones de 12 pulsos son más bien limitados ya que en el fondo son variaciones de la clave son 6/8 clave son. La situación es aun peor para la ternarización, donde no se tienen ejemplos, siquiera teóricos, de transformaciones rítmicas de patrones binarios a ternarios.
  • Reglas de transformación: Las reglas VMC y VML parecen no funcionar como se esperaría en un principio. Especialmente sorprendente es el comportamiento de la regla VMC, que no respeta la estructura perceptual de los patrones al menos cuando se aplica al patrón entero. Las reglas basadas en dirección, VH y VAH, funcionan mejor que VMC y VML. Curiosamente, VC funciona mejor para la binarización que para la ternarización, mientras que VAH funciona mejor para la ternarización.
  • Centers: Como consecuencia del tamaño pequeño de los conjuntos de patrones rítmicos de 12 y 16 pulsos, las familias de centros son pobres en general. Los centros calculados para las familias de 6 y 8 pulos son más significativos. Parece que un cierto número crítico de patrones es necesario para que los centros sean relevantes. Los centros obtenidos tienen cierto interés musicológico y se pueden usar como herramientas para generar nuevos ritmos.

 

Bibliografía

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