36. (Mayo 2012) Rotaciones de ritmos
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Miércoles 30 de Mayo de 2012

1. Rotaciones matemáticas

Las rotaciones son transformaciones que desde siempre han suscitado mucho interés y, por ello, se han estudiado con profundidad y de modo exhaustivo. Una rotación se define como un movimiento rígido alrededor de un punto fijo. Ese movimiento tiene lugar en algún espacio, que puede ser todo lo abstracto que queramos, pero las rotaciones en el plano están entre las más estudiadas. En la figura de abajo tenemos la rotación de un objeto plano alrededor del punto O = (0,0). La rotación es de 180 grados y se muestran varios pasos intermedios.

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Figura 1: Rotaciones en el plano.

Las ecuaciones que transforman el punto (x1,y1) del plano mediante una rotación de ángulo θ ∈ [0,2π) alrededor del origen O = (0,0) son las siguientes:

(     )   (               ) (     )   (                  )    x2   =    cosθ  - senθ      x1   =   x1 cosθ - y1senθ    y2        sen θ   cosθ       y1       x1 senθ + y1cosθ

(He escrito las ecuaciones porque viene al caso, pero también por su belleza.) Las rotaciones pertenecen a la clase de las isometrías, que son las transformaciones que no cambian la distancias entre los puntos. Esto viene a decir que si la distancia entre dos puntos antes y después de aplicar la rotación es la misma.

Una pregunta inmediata es por qué las rotaciones en el plano se han investigado tanto. Ciertamente, nos resultan familiares. Nuestras extremidades pueden rotarse en cierto grado, la cabeza, los ojos; manipulamos muchos objetos con las manos y les aplicamos rotaciones; también las usamos para cambiar el sentido de la marcha. La psicología de la forma o psicología Gestalt puede explicar esa familiaridad. Esta teoría psicológica surgió para explicar los mecanismos de la percepción. La teoría se articula en torno a una serie de leyes o principios que explican los procesos organizativos de la percepción. Entre esos principios se cuentan el de invariancia, que establece que elementos geométricos simples se perciben como iguales o semejantes si son el producto de rotaciones, traslaciones o simetrías. También está el principio de semejanza, que agrupa objetos semejantes si son similares. Estos principios explican la importancia perceptual de las rotaciones. Las matemáticas se encargaron más tarde de formalizar el concepto de rotación. Dado que la percepción es fundamental, la teoría de la forma ha ejercido una gran influencia en el arte. Véanse [WBS92], [DMM10] y [Lem97] para saber más sobre las relaciones de la psicología de la forma y las artes en general.


2. Rotaciones musicales

Lo que nos interesa en este artículo es profundizar en el significado de las rotaciones aplicadas a la música, en particular, a los ritmos. De entre los ritmos nos quedaremos con los llamados ritmos de clave. Los ritmos de clave son ritmos que se repiten a lo largo de toda una pieza y cuyas funciones musicales incluyen la estabilización rítmica, la organización del fraseo o la referencia temporal [Uri96], [Ort95]. Esa repetición en el tiempo los hace muy adecuados para estudiar sus rotaciones. Además muchas de esas claves son características de ciertos géneros. Por ejemplo, el son cubano se toca con la clave son, que escrita en notación de caja es [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Se puede tocar esta versión, la llamada 3-2 o la versión [. . x . x . . . x . . x . . x . ], llamada 2-3, pero es esencialmente la misma versión (una es la rotación de la otra en ocho posiciones). Y es raro encontrar el son cubano tocado con otro tipo de clave, sobre todo en el son tradicional. Los ritmos de clave, o sencillamente claves, aparecen en muchísimas tradiciones musicales tales como la afro-cubana, brasileña, africana, asiática, el flamenco, etc. Véanse para más información [Tou02], [DBFG+04]. En el vídeo siguiente tenemos un bembé tocado por el grupo Isla Percusión. Un músico, el de la camiseta amarilla, toca una clave ternaria, conocida como clave bembé o patrón estándar. Su partitura es [x . x . x x . x . x . x]. Obsérvese como el fraseo y las entradas se estructuran alrededor de la clave.


Figura 2: Bembé tocado por Isla Percusión.

Vamos a estudiar las rotaciones en las claves ternarias, esto es, las que están formadas por 12 o 6 pulsos normalmente agrupados en 4 o 2 partes de tres pulsos cada una. En el siguiente vídeo aparece un percusionista tocando varias claves ternarias. Veámoslo y luego analizamos las más relevantes (en el vídeo se toca un pulso de referencia con una caja china que no se ve).

Figura 3: Claves ternarias.

En la tabla de abajo están las claves más importantes de las que han aparecido en el vídeo. Algunos patrones rítmicos no se considerarían musicalmente claves, a pesar de que cumplen algunas de sus características. Por ejemplo, el ritmo del Kenkeni [. x x . x x . x x . x x] no es característico ni mucho menos de África. Aparece en muchísimos géneros musicales; algunos musicólogos incluso lo llamarían referente de densidad en lugar de clave (un referente de densidad es un ritmo que marca la velocidad de las figuras más rápidas de una pieza). Normalmente, una clave suele tener un factor de tensión rítmica, bien sea en forma de síncopa, de estructura de pregunta y respuesta, de ambigüedad métrica o acentual, o similares. Se han elegido las claves más importantes, como digo, pero además con el mismo número de notas, siete, hecho que nos permitirá un análisis más ágil en términos de las rotaciones.

Figura 4: Partituras de algunas claves africanas para campanas.

El lector atento -es decir, cualquier lector de Divulgamat- habrá visto que la tabla anterior está divida en tres partes. Cada parte corresponde a aquellos ritmos que se obtienen unos de otros a partir de una rotación. Si los representamos sobre un círculo, para reforzar más la idea de ciclo y de rotación, se visualiza mejor la situación. En primer lugar, vamos a estudiar los ritmos generados por la clave bembé. En la figura 5 tenemos el círculo dividido en 12 partes y en el centro la clave bembé. Alrededor y en sentido antihorario las rotaciones del bembé que dan lugar a otros ritmos. Las rotaciones de los ritmos se han tomado en sentido horario. Así, tenemos que la bemba es una rotación del bembé de 60 grados; el tambú, de 150; el yoruba, de 210; el ashanti, de 270; y el bembé-2, de 330.

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Figura 5: Rotaciones de las claves asociadas al bembé.

La clave de bembé es un ritmo importantísimo en la música africana, tanto que recibe el nombre de patrón estándar. Se encuentra en muchísimas culturas africanas bajo distintos nombres y tocado de muy diversas maneras. En el análisis musical ha despertado mucho interés y se ha estudiado desde muchos puntos de vista. Toussaint [Tou02] ha aplicado técnicas geométricas y de matemática discreta para analizarlo. Por ejemplo, la clave del bembé es un ritmo euclídeo [DGMM+08]. Un ritmo euclídeo es un ritmo de máxima regularidad en el sentido en que la elección de las notas sobre los pulsos están distribuidos de la manera más regular posible; véase también [GPT09] para más información. Pressing [Pre83] llega a hablar -más como metáfora que como correspondencia estricta- de un isomorfismo cognitivo entre la escala diatónica y la clave estándar. Si consideramos la octava dividida en 12 semitonos, entonces la sucesión de distancias entre las notas de la escala diatónica se escribe como (2212221). Si ahora interpretamos esta sucesión en el dominio temporal, rítmico, obtenemos exactamente la clave del bembé.

El autor que ha prestado una atención especial a la clave estándar es el musicólogo Agawu [Aga06]. En su artículo Structural Analysis or Cultural Analysis? Competing Perspectives on the“Standard Pattern” of West African Rhythm analiza aspectos culturales y estructurales de este singular patrón rítmico. Por ejemplo, observa que el patrón admite varias lecturas y todas ellas son rítmicamente interesantes. Se puede pensar con estructura aditivamente, como una sucesión de negras y corcheas, de eventos de duración 2 y 1. Argumenta, no obstante, que la música africana no es, en general, aditiva. También investiga este autor la relación de este patrón con la danza así como una interpretación métrica -sobreponiendo el patrón en una malla de pulsos con ciertos acentos recurrentes-. Por último, Agawu se acerca también al análisis generativo [LJ83] de este patrón.

La clave del soli genera a su vez las del asaadua, con una rotación de 60 grados, y la tonada, con una de 180 grados, como vemos en al figura 6.

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Figura 6: Rotaciones de las claves asociadas al soli.

Para hacernos una idea de cómo suena el soli en una grabación en directo, aquí tenemos el siguiente vídeo:

Figura 7: Toque de soli.

En principio, el soli tiene menos posibilidades rotacionales que el bembé. Su sucesión de distancias es (2222121). Las tres primeras notas, las tres negras, crean una sensación de regularidad que se rompe en la segunda mitad con las corcheas quinta y séptima.

En este último vídeo presentamos claves binarias sobre 16 pulsos. No obstante, no las analizaremos en este artículo.

Figura 8: Claves binarias.


3. ¿Hasta qué punto son semejantes?

Hemos visto que las leyes de la psicología de la forma consideran objetos rotados como similares o equivalentes. ¿Es eso cierto en la música? ¿Dos ritmos que difieren en una rotación se los puede considerar como similares? No, no ocurre como en el mundo visual; el oído funciona de manera diferente. El propio Agawu[Aga06], página 29, dice:

La “permutación de elementos” (un procedimiento por el cual los mismos elementos se someten a reordenamientos) tiene tales consecuencias musicales radicales -incluyendo desafíos básicos de percepción- que parece poco probable que sea un auténtico modo de estructuración temporal. En efecto, el mismo Pressing reconoce que la permutación de los elementos produce un “trastorno estructural” más drástico que el que se produce con otras técnicas de transformación.

Agawu proporciona una lista de recursos de transformación musical que son propios de la música africana, entre los que se cuenta la estructura de llamada y respuesta, la complementación y la competición y los cambios de alineación de segmentos musicales, pero no incluye las rotaciones.

Para poner un ejemplo de esto, tomemos el bembé y el bembé-2. Este último es una rotación de una nota hacia adelante del bembé, una mera rotación de 30 grados en sentido horario (véase la figura 5). Pero perceptual y musicalmente son muy diferentes. Pinchando en las partituras de más abajo se puede escuchar cada uno y apreciar las diferencias entre ambos.


[x . x . x x . x . x . x]

BEMBÉ


[x x . x . x x . x . x .]

BEMBÉ-2

 

Bibliografía

[Aga06] K. Agawu. Structural analysis or cultural analysis? competing perspectives on the “standard pattern” of west african rhythm. Journal of the American Musicological Society, 59(1):1–46, 2006.

[DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, July 30 - August 1 2004.

[DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008.

[DMM10] A. Desolneux, L. Moisan, and J.-M. Morel. From Gestalt Theory to Image Analysis: A Probabilistic Approach. Springer, 2010. Reprint of the first 2008 edition.

[GPT09] F. Gómez, Talaskian P., and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3:1–14, 2009.

[Lem97] M. Leman. Music, Gestalt, and Computing: Studies in Cognitive and Systematic Musicology. Springer, 1997.

[LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983.

[Ort95] Fernando Ortiz. La Clave. Editorial Letras Cubanas, La Habana, Cuba, 1995.

[Pre83] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38–61, 1983.

[Tou02] Godfried T. Toussaint. A mathematical analysis of African, Brazilian, and Cuban clave rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 157–168, Towson University, Towson, Maryland, U.S.A., July 27-29 2002.

[Uri96] Ed Uribe. The Essence of Afro-Cuban Persussion and Drum Set. Warner Brothers Publications, Miami, Florida, 1996.

[WBS92] C. Wallschlaeger and C. Busic-Snyder. Basic Visual Concepts And Principles For Artists, Architects And Designers Time Exposures. McGraw-Hill Humanities/Social Sciences/Languages, 1992.

 
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