118. (Septiembre 2021) Afinación y temperamento (III)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Jueves 09 de Septiembre de 2021

1. Introducción

En los dos artículos anteriores [4, 5] hicimos un recorrido por los principales sistemas de afinación y por algunos temperamentos. En el primero, cubrimos los fundamentos físicos de la afinación y la afinación pitagórica; en el segundo, la afinación justa y los sistemas mesotónicos. En este tercer artículo, estudiaremos los temperamentos irregulares y el temperamento igual.

2. Temperamentos irregulares

Un temperamento irregular —que también recibe el nombre de temperamentos circulares o buenos temperamentos—son temperamentos que partiendo de los sistemas mesotónicos modifican algunas notas para la quinta del lobo desaparezca o al menos se atenúe. Otra manera de expresarlo es que se modifican notas para que la “espiral” de quintas se convierta en un verdadero círculo de quintas donde sea posible la modulación. De hecho, la aparición de los temperamentos irregulares están fuertemente ligados a la necesidad de modulación que de modo creciente se estableció a partir del siglo XVI.

Los temperamentos irregulares coexistieron con los sistemas mesotónicos y al menos estuvieron en uso dos siglos antes de que el temperamento igual se generalizara como sistema de afinación estándar. Hay estudios sobre el Clave bien temperado que defienden la idea de que Bach lo escribió para temperamentos irregulares, ya que musicalmente es más rico que si se toca en el sistema mesotónico. Para una buena revisión histórica breve y concisa, véanse el libro de Benson [2] (páginas 206 y siguientes) y el capítulo 7 del libro de Barbour [1].

La quinta del lobo del sistema mesotónico es 35 cents más aguda de lo que debería ser. En general, los temperamentos irregulares se pueden clasificar en función de cómo tal diferencia se distribuye por el resto de las notas. Uno de los temperamentos irregulares más usados fue el llamado Werckmeister III. Siguiendo la notación de Eitz introducida en el artículo anterior y designando por p la coma pitagórica, su diagrama está en la figura de abajo.



mi-34p
si-34p
fa#-p
do#-p
sol#-p












do0
sol-14p
re-12p
la-34p
mi-34p














mi♭0
si♭0
fa♭0
do0



Figura 1: Temperamento irregular de Werckmeister III

Si miramos a la segunda fila, observaremos que la coma pitagórica está distribuida a partes iguales entre las quintas do-sol-re-la y si-fa♯. A partir del la, la sucesión de notas sigue por quintas puras (pero partiendo desde la-34p hasta el si-34p, donde ahora salta a fa#-p. Y desde aquí sigue de nuevo por quintas puras.

Estos temperamentos permitían obtener resultados más o menos satisfactorios cuando se modulaba a tonalidades relativamente lejanas de la principal. También dieron lugar a “personalidades” en las tonalidades, con frecuencia asignadas de manera subjetiva. Por ejemplo, Daniel Schubart en su obra Ideen zu einer Aesthetik der Tonkunst asigna las personalidades que se ven en la tabla de abajo (la tabla está tomada de la entrada de Wikipedia Tonalidad [6]). En algunos casos las descripciones de estas personalidades resultan algo excesivas. No es el único autor que confeccionó este tipo de tablas de personalidades o características afectivas (piénsese en la teoría de los afectos del periodo barroco).



Tonalidad Personalidad




Do mayor Alegre, guerrero, completamente puro.

Su carácter es de inocencia y de simplicidad.


Do menor Oscuro y triste. Declaración de amor y a la vez lamento

de un amor no correspondido. Anhelos y suspiros.


Do ♯ mayor Miradas lascivas. Pena y éxtasis. No puede reír, pero puede sonreír.

No puede aullar, solo puede hacer una mueca de su llanto, bello.

Caracteres y sentimientos inusuales.


Do ♯ menor Sentimientos de ansiedad, angustia y dolor profundo en el alma, desesperación,

depresión, sentimientos sombríos, miedos, indecisiones, escalofríos.

Si los fantasmas hablaran se aproximarían a esta tonalidad.


Re mayor Feliz y muy guerrero. El triunfo, aleluyas, júbilo, victoria.


Re menor Grave y devoto. Melancolía femenina. El rencor.


Mi ♭ mayor Crueldad, dureza, amor, devoción, conversación íntima con Dios.


Mi ♭ menor Horrible, espantoso.


Mi mayor Querellante, chillón, gritos ruidosos de alegría, placer al reírse.


Mi menor Afeminado, amoroso, melancólico.


Fa mayor Furioso, arrebatado, nostalgia solemne, maravilloso, dulce.


Fa menor Oscuro, doliente, depresivo, lamento funerario, gemidos de miseria.


Fa ♯ mayor Triunfo sobre la dificultad, libertad, alivio, superación de obstáculos,

el eco de un alma que ferozmente ha lidiado y finalmente conquistó.


Fa ♯ menor Pesimista, triste, sombrío, oscuro, terco a la pasión, resentimientos, descontentos.


Sol mayor Dulcemente jovial, idílico, lírico, calmado, pasión satisfecha,

gratitud por la amistad verdadera y el amor esperanzado, emociones gentiles y pacíficas.


Sol menor Serio, magnífico, descontento, preocupado por el rompimiento de los esquemas,

mal templado, rechinamiento de dientes, disgusto.


La ♭ mayor Gravedad, muerte y putrefacción.


La ♭ menor Quejándose todo el tiempo, poco complaciente, insatisfecho, corazón sofocado,

lamentos, dificultades.


La mayor Alegre, campestre, declaración de amor inocente, satisfacción,

la esperanza de volver lo que le pertenece a uno de nuevo al regresar de una partida,

juventud, aplausos y creencia en Dios.


La menor Tierno, lloroso, piedad femenina.


Si ♭ mayor Magnífico, alegría, amor alegre, conciencia limpia, metas y deseos por un mundo mejor.


Si ♭ menor Oscuro, terrible, criatura pintoresca y curiosa, ropa de noche, tosco, maleducado,

burlesco, descortés, descontento con sí mismo, sonidos del suicidio.


Si mayor Duro, doliente, deslumbrante, fuertemente coloreado, anunciando pasiones salvajes,

enfado, odios y resentimientos.


Si menor Solitario, melancólico, ermitaño, paciencia, fe y sumisión esperando el perdón divino.


La idea de concentrar la distribución de la coma en ciertas notas y no en otras es la de hacer ciertas tonalidades más aceptables que otras. Con esta estrategia, las terceras de las tonalidades “buenas” suenan casi como las terceras justas, como es el caso de la triada de do mayor do0-mi0-sol-p∕4 del sistema de Werckmeister III (la diferencia es de 4 cents). Si embargo, las terceras construidas sobre do♯ o fa♯ suenan más agudas (ahora la diferencia es de 22 cents, que es una diferencia notable).

Para una lista completa y exhaustiva junto con el contexto histórico, consúltense los libros de Goldáraz [3] y Barbour [1].

3. Temperamento igual

Los temperamentos descritos hasta ahora tienen el problema de que la elección de las notas esencialmente favorecía una tonalidad en particular junto a sus vecinas y dejaba el resto con afinaciones deficientes. Los esfuerzos por distribuir la coma pitagórica o sintónica de algunos temperamentos entre las quintas, como en el caso de los temperamentos irregulares, llega a su punto natural con el temperamento igual, cuyo principio consiste en dividir la octava en 12 partes iguales. O dicho de otro modo, hacer que todas las quintas tengan el mismo tamaño.

Históricamente y matemáticamente, esto fue difícil. Históricamente, fueron los constructores e intérpretes de instrumentos de afinación fija (órganos, clavecines, laudes, guitarras, etc.) los que empezaron a explorar el temperamento igual. Según Barbour [1] (página 56), Giovanni Maria Lanfranco en 1533 fue el primero en abogar y sistematizar el temperamento igual. Lanfranco recomienda que “las quintas se achiquen de manera que no sean agradables del todo al oído y que las terceras se puedan soportar”. Matemáticamente, la dificultad era construir de manera geométrica (con regla y compás) el número irracional √ --122, que es la proporción con que se construye el temperamento igual.

En el temperamento igual, una octava se divide en 12 partes iguales; esto equivale a decir que la proporción entre dos notas consecutivas es 2112- : 1 o, si se miden en cents, simplemente 100 cents. La tabla siguiente resume la construcción del temperamento igual.










Notas Do Do♯ Re Re♯ Mi Fa Fa♯









Proporción 1/1 21/12 : 1 22/12 : 1 23/12 : 1 24/12 : 1 25/12 : 1 26/12 : 1









Cents 0 100 200 300 400 500 600


















Notas Sol Sol♯ La La♯ Si Do









Proporción 27/12 : 1 28/12 : 1 29/12 : 1 210/12 : 1 211/12 : 1 2









Cents 700 800 900 1000 1100 1200










Tabla 1: Temperamento igual

Las terceras del temperamento igual son 14 cents más agudas que las terceras justas. Y como dice Benson en su libro [2] (página 204), “suenan nerviosas y agitadas” (estoy de acuerdo con esta afirmación). En la siguiente tabla se ven de nuevo las proporciones de la afinación pitagórica y su comparación con el temperamento igual (medido en cents).











Notas Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol#










Proporción 1/1 3/2 9/8 27/16 81/64 243/128 729/512 2187-2048   6561-  4096










Cents 0 701.96 203.91 905.87 407.82 1109.78 611.73 113.68 815.64




















Notas Do Fa Si♭ Mi♭ La♭








~Sol#













Proporción 1/1 4/3 9/16 32/27 128/81













Cents 0 498.04 996.09 294.13 792.18














Tabla 2: Afinación pitagórica para la escala cromática

En general, la afinación justa y el sistema mesotónico producen terceras con más sensación de calma. Los temperamentos irregulares tienen la ventaja de dotar a cada tonalidad de una personalidad y un color distintos, como consecuencia de la distribución irregular de la coma. En el temperamento igual todas las tonalidades tienen esencialmente la misma personalidad.

4. Para saber más

A continuación ponemos algunos vídeos con música en el temperamento Werckmeister III. Empezamos con una sonata de Domenico Scarlatti, la sonata en la menor K. 54.

Figura 2: Sonata en la menor K. 54 en el temperamento Werckmeister III

Figura 3: Preludio en do mayor del Clave bien temperado de Bach en 7 temperamentos (incluido Werckmeister III)

 

Bibliografía

[1] J. Murray Barbour. Tuning and temperament: a historical survey. New York: Dover Publications, Inc., 1951.
[2] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006.
[3] J. Javier Goldáraz. Afinación y temperamentos históricos. Madrid: Alianza Editorial, 2004.
[4] Paco Gómez. Afinación y temperamento (I). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18644&directory=67. web page. accedido el 20 de julio de 2021.
[5] Paco Gómez. Afinación y temperamento (II). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18645&directory=67. web page. accedido en agosto de 2021.
[6] Wikipedia. Tonalidad_(música). https://es.wikipedia.org/wiki/Tonalidad\_(msica). web page. accedido el 10 de julio de 2021.

 
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