25. El nudo pentagonal
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Escrito por José Ángel Iranzo Sanz   
Sábado 01 de Diciembre de 2007
Una bonita tradición de los albergues japoneses consiste en preparar los pijamas de algodón para los huéspedes y dejar encima de estos una banda atada en forma de nudo pentagonal. Para hacer este nudo se necesita algo de práctica y maestría.

Sin embargo, para hacer dicho nudo con papel no hace falta ningún tipo de cualidad extraordinaria, basta tomar una tira de papel (de longitud al menos 6 veces el ancho) y hacer un nudo con ella como si fuera una cuerda. Después, tirando de los extremos poco a poco, sin dejar holguras en los vértices ni aplastar el papel, va formándose un pentágono regular, como probaremos más adelante.

Nudo con papel

PentágonoComo es conocido, el pentágono y el famoso número áureo Φ están muy relacionados. Recordemos que Φ = (√5+1)/2 ≈ 1'61803398. En el nudo pentagonal se puede ver esta relación en varios puntos.

A/B= Φ
YZ/XY= Φ
YW/WZ= Φ

De hecho, si queremos hacer un nudo en el que no sobre papel, podemos hacerlo partiendo del siguiente rectángulo:

Rectángulos

Ahora nos quedamos con el rectángulo de abajo, que cumple la siguiente propiedad:

a/b = Φ ≈ 1'62 Rectángulo

Este rectángulo es el que usaremos para hacer el pentágono que veremos más adelante. Pero si no queremos hacer tantos pliegues, o simplemente no queremos tener cicatrices en el papel, podemos usar una buena aproximación al  rectángulo anterior. Basta tomar un folio y partirlo por la mitad:

Folio y rectángulo

En este caso, a'/b' = 2/3·√6 ≈ 1'63

Y ahora, a plegar.

Pliegues

Pero... ¿por qué un pentágono regular? Veámoslo:

Para entender por qué el pentágono es regular debemos pensar primero en qué pasa al doblar una tira de papel. Sucede lo mismo que cuando una bola de billar golpea el borde de la mesa.

 Mesa de billarTira de papel doblado

Detalle tira de papel dobladaEn ambos casos el ángulo de incidencia y de reflexión es el mismo. Por tanto, para el siguiente dibujo, podemos decir que α = β

Observamos también que, por ser los lados de la tira paralelos, γ = δ. Restando ambas igualdades tenemos α - γ = β - δ, o lo que es lo mismo: el triangulo ABC es isósceles. Y, por tanto, AC=BC.

Nudo pentagonalPensemos ahora en nuestro nudo pentagonal.Teniendo en cuenta lo que acabamos de ver tenemos que:

(1)EAB = ABC = BCD
     ∠CDE = DEA

(2) BD = BE
     BE = CE

Si nos fijamos en los cuadriláteros ABZE, ABCY y BCDX se observa que los tres son paralelogramos al estar determinados por la superposición de dos tramos de tira de papel.

Nudos pentagonales

Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos iguales y, en este caso, al ser ambas tiras de papel de la misma anchura h, los lados contiguos también son iguales, ya que si S es el área de ABZE  se tiene que:

S = h . EZ              y              S = h . AE

Es decir EZ = AE. Análogamente para los otros paralelogramos obtenemos que todos ellos son rombos.  Como además comparten entre ellos alguno de sus lados, observamos que

EA = AB = BC = CD   (3)

Si consideramos los trapecios ABDE y ABCE podemos ver que son iguales: Nudos pentagonales

  1. AB = BC por (3)
  2. EA = AB por (3)
  3. BD = CE por (2)
  4. EAB = ABC por (1)

Y por tanto ambos trapecios son iguales, luego:

AE = ED y DEA =EAB.

Sumando este resultado a los resultados (1) y (3) llegamos a que el pentágono tiene los cinco lados y los cinco ángulos iguales. Es decir, el pentágono es regular.

Ahora que ya sabemos hacer el pentágono, vamos a jugar.

Podemos seguir entrelazando las tiras que salen del pentágono con el propio pentágono, de forma que cada vez salgan por uno de los lados. No es difícil conseguir las cinco posibilidades:

Imágenes 5 posibilidades

De hecho, un solo nudo se puede hacer de dos formas distintas. El resultado son dos nudos simétricos (figuras a y b). Esto es importante a la hora de combinarlos, ya que si juntamos dos nudos de distinto tipo estos se unirán perfectamente lado con lado (figura c). Pero si juntamos nudos del mismo tipo (figura d), entre pentágono y pentágono habrá un hueco con forma de triángulo isósceles, y cuyo ángulo desigual es de 36º (este triángulo que separa los dos pentágonos es el llamado triángulo sublime).

Figuras a, b, c y d

Usando las diferentes técnicas de hacer nudos pentagonales y combinándolas podemos hacer figuras geométricas muy diversas. Desde  estrellas, pentágonos y bandas hasta figuras en tres dimensiones e incluso flores.

Figuras geométricas

Knot

Figura en 3 dimensiones

Figura en 3 dimensiones

La figura  j) es además el logotipo de la web www.cut-the-knot.com (web muy recomendable sobre matemáticas). Pero no sólo eso, sino que además, si se pegan los extremos sobrantes, la cinta se convierte en una banda con una sola cara (lo mismo que pasa con las bandas de Möbius).

Seguiremos hablando de los nudos y de lo que se puede hacer en papiroflexia con ellos en un próximo artículo. Pero hasta entonces podéis pensar en qué hay más allá de los nudos pentagonales. ¿Habrá nudos hexagonales? ¿Habrá nudos heptagonales?... ¿Habrá nudos con forma de cualquier polígono de N lados?

Coged una tira de papel y a doblar.


Fuentes consultadas:

 
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