24. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2007
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Escrito por José Ignacio Royo Prieto   
Lunes 01 de Octubre de 2007
¡¡¡Por fin tenemos a un ganador del concurso del verano!!! Martí Bayer es el que ha propuesto el método más “redondo”. Hay que reconocer que el tema de obtener una tesela de El Cairo mediante papiroflexia ha motivado este verano a algunos de nuestros lectores.

Parte de los ratos libres del verano han sido dedicados a darle vueltas a la tesela y a idear posibles soluciones. Ya se ve que a Martí (que este año se está dedicando a recorrer el mundo), mientras hacía un curso de submarinismo en El Caribe de Honduras y veía a los caballitos de mar paseando sobre los arrecifes de coral, le vino la inspiración matemática e ideó su tesela ganadora. Te damos la enhorabuena.

Por cierto, tenemos una curiosidad. ¿Alguien sabe si existen en realidad este tipo de teselas en pavimentos de El Cairo o han existido en alguna época?

COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS RECIBIDAS

Los métodos para obtener una tesela de El Cairo equilátera con papiroflexia que se han presentado a concurso constituyen una colección de ideas variada y rica. Tal es así que hemos pensado que merecía la pena no sólo poder disfrutar de la ganadora, sino también de algunas de las demás, por la diversidad de enfoques que ofrecen y por la calidad de los mismos, de modo que os las podéis descargar al final de este artículo, junto con otras soluciones que no entraban a concurso, y que corresponden a los responsables de esta sección. A continuación trataremos de presentar algunas de las ideas geométricas que se utilizan en las distintas soluciones.

La mayoría de las soluciones utiliza, de una manera u otra el notable hecho de que dos de los ángulos internos de la tesela equilátera de El Cairo sean rectos. Pero es necesario uno o varios ingredientes más que nos permitan determinar la posición del resto de elementos del pentágono.

En una primera aproximación, el teselado de El Cairo nos permite construir, de manera natural, varias cuadrículas que nos revelan propiedades importantes (i.e., aplicables a la papiroflexia). ¡Quizá en ella encuentres inspiración para tu propio método!

Tesela

Por ejemplo, según esta cuadrícula, podemos dibujar en una tesela equilátera de El Cairo un cuadrado que se ubica como en la siguiente figura (esta idea se usa, en cierto modo, en [8]). Equivalentemente, podemos decir que la recta que une el punto medio de la base y un vértice contiguo a la misma forma 45 grados con ella, idea que usa el autor de la solución [7].
Figura pentágono
Otra idea, utilizada en las soluciones [3], [6], [9] y [10], es descomponer la tesela de El Cairo según la siguiente figura:
Figura pentágono
Los triángulos de los extremos son isósceles y rectángulos, fácilmente realizables en papiroflexia. Otras soluciones se han apoyado en el cálculo de determinados ángulos relacionados con la tesela, como es el señalado con la letra δ en la siguiente figura:
Figura
Con un poco de trigonometría llegamos a δ = arcsin [(√7 - 1) / 4], tal y como se utiliza en [1], con una exposición detallada de los cálculos realizados. En la solución [8] también se usa este ángulo, pero con una expresión distinta, más concretamente, se utiliza 2δ = arcsin (3/4). De hecho, la proporción 3:4 aparece de forma natural en un análisis de las proporciones entre los elementos de la tesela. En [5] la autora hace uso de esta proporción. En [4], sin embargo, se aprovecha el hecho de que la tesela equilátera de El Cairo de lado 1 tenga altura √7/2 , tal y como se recoge en el siguiente gráfico:
Gráfico
Por último, en [2] se utiliza una descomposición en triángulos donde aparecen, de nuevo, los números √7 y √2 en relación con los enteros.

Referencias:

[1] Martí Bayer archivo PDF
[2] Martí Bayer 2 archivo PDF
[3] Paz Carbajo 1 archivo PDF
[4] Paz Carbajo 2 archivo PDF
[5] Paz Carbajo 3 archivo PDF
[6] José Ángel Iranzo archivo PDF
[7] Elerh Leiva archivo PDF
[8] Belén Garrido archivo PDF
[9] José Ignacio Royo 1 archivo PDF
[10] José Ignacio Royo 2 archivo PDF

 
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