3. arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π |
Escrito por Alfredo Pérez Jiménez | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sábado 01 de Enero de 2005 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Demostrar que se verifica la igualdad: arctg 1 + arct 2 + arct 3 = π Utilizaremos para ello: * 1 papel cuadrado Para resolver el problema, comenzaremos por realizar los pliegues que se indican en las siguientes figuras:
Y, a partir de aquí, utilizaremos el triángulo FGD que se ha formado, hallando las tangentes de sus ángulos . = AB/DB = lado/lado = 1 = CD/FD = lado/(lado/2) = 2 =FH/GH (seguir leyendo)
En la figura (6), se puede observar que los triángulos FHG y COG son semejantes, ya que ambos son rectángulos y tienen el ángulo igual por ser opuestos por el vértice. De aquí, se puede escribir: = FH/GH = CO/OG Y como CO es igual a DO, se puede también expresar: =DO/OG
Por otro lado, en la figura (7) observar que G es el baricentro del triángulo CDB, es decir, el punto en el que se cortan sus medianas: CF, DO y la dibujada a trazos. Una de las propiedades de este punto, centro de gravedad del triángulo, es que divide a cada una de las medianas en 2 segmentos que están en proporción 2:1, es decir, en la que nos interesa:. DG = 2 x GO y de aquí: DO = DG +GO =3 x GO La demostración de esta propiedad, se puede ver en cualquier tratado de Geometría o, preferentemente para los Papiroflectas, en el fenomenal libro: "MATEMÁTICAS Y PAPIROFLEXIA" de Jesús de la Peña Hernández editado por la Asociación Española de Papiroflexia, ISBN 84 - 607 - 2169 - 8 Sustituyendo este valor en la expresión que teníamos esperando, podemos escribir: = DO/OG= 3 Aplicando las funciones inversas, podemos escribir el primer término de la igualdad que se pretende demostrar, de la siguiente forma: arctg 1 +arctg 2 +arctg 3 = Por otro lado, en todo triángulo, se verifica que la suma de sus tres ángulos es igual a un ángulo llano, es decir, de 180º ó π radianes. Ver las siguientes figuras para comprobarlo "papiroflécticamente".
que es el segundo término de la igualdad O sea que, finalmente, podemos escribir: arctg + arctg 2 + arctg 3 = π C.q.d Vamos a continuación a resolver el problema prescindiendo de recursos a la Geometría, sustituyéndolos por un poco más de Papiroflexia. Tomamos un papel cuadrado y efectuamos ordenadamente los pliegues que se indican en las siguientes figuras:
Observemos ahora en esta última figura los 3 triángulos que se distinguen por distintas tonalidades de gris y centremos la atención en los ángulos , cada uno de ellos perteneciente a uno de los triángulos.
Los 3 triángulos son rectángulos y, observando la cuadrícula, resultan evidentes los valores de las tangentes de los ángulos : En el otro triángulo, es decir el que tiene el ángulo , para evaluar las dimensiones de los catetos, basta con fijarse en que el cateto menor es igual a la diagonal del rectángulo formado por dos teselas de la cuadrícula, mientras que el cateto mayor, mide 3 veces esa misma diagonal. Por lo que la tangente del ángulo , valdrá 3. Dado que los tres ángulos en conjunto forman un ángulo llano, parece ocioso insistir en que la proposición ha quedado suficientemente demostrada. |