Para complementar el tema de los puzles de aparición y desaparición de piezas, iniciado en la entrega de febrero de 2006 (matemagia 25) y mayo de 2008 (matemagia 50) y retomado el mes pasado (matemagia 148), vamos a mostrar otros juegos, esta vez más geométricos, donde tienen lugar aparentes paradojas relacionadas con el «principio de la disposición oculta» de Martin Gardner, citado el mes pasado.

Decimos aparentes paradojas porque no lo son en realidad: por definición, una paradoja es una conclusión contradictoria que se llega mediante razonamientos correctos. Lo que mostraremos son más bien falacias, pues serán razonamientos aparentemente correctos que conducen a conclusiones falsas. Además, son más apropiadas para este rincón pues la magia necesita ciertas dosis de engaño.

Podemos encontrar una lista inmensa de falacias geométricas, utilizadas a veces para fomentar el razonamiento riguroso que se exige en matemáticas. Varios ejemplos están relacionados con el conocido juego del tangram. Veamos uno de ellos: como se observa en la imagen adjunta, con las mismas siete piezas del tangram se pueden construir tres figuras, pero dos de ellas tienen aparentemente distinta área que la primera. ¿Cómo es posible?

Son también divertidas, aunque más difíciles de entender, las demostraciones geométricas del tipo π = 4 o π = 2. Veamos la primera de ellas a partir de las siguientes imágenes:

Las tres figuras muestran una circunferencia de diámetro igual a 1 y, por tanto, perímetro igual a π. En la primera figura se dibuja un cuadrado circunscrito de perímetro igual a 4. En la figura central se han eliminado las cuatro esquinas del cuadrado para formar una poligonal cuyo perímetro es también igual a 4. En la figura de la derecha se han eliminado otra vez las ocho esquinas formando una nueva poligonal circunscrita a la circunferencia de perímetro igual a 4. Repitiendo el proceso hasta el infinito, la poligonal tiende a confundirse con la circunferencia. Como el perímetro no cambia en cada paso del proceso, al final se llega a que π = 4.

Para probar que π = 2, basta observar las siguientes figuras:

La longitud de la semicircunferencia roja, de diámetro igual a dos, es igual a π. La suma de las longitudes de las dos semicircunferencias azules de la primera figura (que tienen diámetro igual a uno) es también igual a π, así como la suma de las longitudes de las cuatro semicircunferencias de la segunda figura, de las ocho semicircunferencias de la tercera figura y así sucesivamente. Al repetir el proceso, las semicircunferencias pequeñas tienden a confundirse con el diámetro horizontal, de longitud igual a dos. Como la suma de sus longitudes de las semicircunferencias en cada paso del proceso es constante, deducimos que π = 2.

Los ejemplos anteriores y otros similares son muy interesantes y no es sencillo justificar dónde está el error, pero en esta ocasión nos limitaremos a presentar una pequeña muestra de las llamadas paradojas por disección, en las cuales una figura geométrica cambia de tamaño simplemente al cortarla en piezas y reordenarlas. En el libro de Greg Frederickson titulado Dissections: plane and fancy (1997), el autor propone la siguiente definición:

Una región plana recibe el nombre de "bamboozlement" (es engañosa) cuando, al dividirla en piezas y reagruparlas de forma adecuada, se obtienen otras regiones de área aparentemente distinta.

Uno de los ejemplos más antiguos corresponde a la llamada paradoja de Hooper, pues aparece en la cuarta edición del libro Rational Recreations de William Hooper, publicado en 1794. Sin embargo, la primera aparición del puzle se encuentra unos años antes en el libro Nouvelles récréations physiques et mathématiques de Edmé Gilles Guyot, del que parece Hooper "se inspiró". La paradoja afirma que 30 = 32 y la demostración consiste simplemente en observar atentamente estas dos imágenes:

¿Está claro, verdad? La figura de la izquierda es un rectángulo de dimensiones 10 x 3, de modo que tiene área igual a 30. Basta intercambiar las posiciones de las piezas C y D para llegar a la figura de la derecha formada por un rectángulo de dimensiones 4 x 5 y otro de dimensiones 6 x 2. El área total es igual a 20 + 12 = 32. Hemos ganado dos unidades cuadradas.

La explicación del secreto así como otros ejemplos, con sus justificaciones teóricas, aparecen en el artículo Geometría recortable, publicado en la revista SIGMA, en mayo de 2006, así que no vamos a inundar esta página con juegos similares. Pero sí proponemos un par de engaños geométricos más.

En el librito de Jean Jacquelin titulado Pastiches, paradoxes, sophismes, absurdités et autres bizareries, aparece esta otra paradoja, donde se demuestra que 58 = 59 = 60. Observa estas imágenes:

Las tres figuras están formadas con las mismas seis piezas. Ahora bien, el área del triángulo de la izquierda es igual a 60 (base igual a 10, altura igual a 12), pero intercambiando algunas piezas se logra formar un triángulo con las mismas dimensiones pero dejando un hueco de área igual a 2, lo que "demuestra" que el área conjunta de las seis piezas es igual a 58. Un nuevo intercambio de piezas da lugar a la figura de la derecha, que tiene área igual a 59 (un rectángulo de dimensiones 7 x 9 con un hueco de área igual a 4). ¿Puedes encontrar la explicación a dicha paradoja?

Terminamos con un ejemplo más -más bien un regalo-, encontrado en la página Futility Closet.

1. Consigue una pieza de oro, o del metal precioso que prefieras, digamos que tiene base igual a 10 cm y altura igual a 11 cm.

2. Corta la pieza diagonalmente y desplaza 1 cm hacia arriba uno de los triángulos, como se indica en la imagen.

3. Recorta los dos pequeños triángulos que sobresalen en las esquinas. Al unirlos tendrás un pequeño cuadrado de área igual a uno.

4. Las dos piezas restantes formarán de nuevo un rectángulo con las mismas dimensiones del original, con base igual a 11 cm y altura igual a 10 cm.

¡Has conseguido un beneficio que podrás repetir cada vez que lo necesites!

Por último, quiero recomendar el artículo de John Sharp titulado Fraudulent dissection puzzles - a tour of the mathematics of bamboozlements, publicado en la revista Mathematics in school, volumen 31 (2002), donde realiza un estudio matemático de una buena colección de estos puzles.

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