191. (Marzo 2021) Más magia poliédrica
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Lunes 01 de Marzo de 2021

Más magia poliédricaComo lo prometido es deuda, vamos a continuar desarrollando las propiedades mágicas de los sólidos platónicos. Pero, antes de dedicarnos exclusivamente a la magia, comentaré algunas curiosidades matemáticas, no menos mágicas que las que aquí nos ocupan.

Esta vez hablaremos de dualidad, una propiedad que permitirá agrupar los cinco poliedros de dos en dos (como hay cinco, uno de ellos se emparejará consigo mismo, adivina cuál). Para comprender este concepto, nos fijaremos nuevamente en la tabla donde se clasifican los cinco poliedros regulares según su número de caras (C), vértices (V) y aristas (A):


Caras Vértices Aristas
Tetraedro 4 4 6
Hexaedro 6 8 12
Octaedro 8 6 12
Dodecaedro 12 20 30
Icosaedro 20 12 30

Se puede observar que el hexaedro y el octaedro, así como el dodecaedro y el icosaedro, tienen el mismo número de aristas pero han intercambiado el número de caras de uno con el de vértices del otro. Por eso se dice que son duales. Gráficamente, esta característica hace que, dado cualquier poliedro regular, se puede construir su poliedro dual —también llamado poliedro conjugado— uniendo los centros de cada dos caras contiguas, lo que hace que el número de caras del primer poliedro coincida con el número de vértices del segundo, y recíprocamente. Esta imagen realizada con GeoGebra en el IES Mar de Alborán ilustra la idea:

El tetraedro, ya que es dual de sí mismo, será protagonista del primer juego que vamos a proponer. Este juego aparece, ¡cómo no!, en la ingente colección de Martin Gardner, concretamente en el capítulo 19 del libro «6th book of mathematical diversions», publicado por primera vez en 1971. Haré unas pequeñas correcciones en la traducción para que la explicación sea más completa y precisa.

Una extraña y poco conocida propiedad del tetraedro regular —y que no comparte con ningún otro sólido platónico— está relacionada con un truco de magia que puede presentarse como demostración de la habilidad para percibir vibraciones de color con los dedos.

  1. Construye un pequeño modelo de tetraedro regular. Puedes hacerlo a partir del esquema de la figura, según una idea de Charles Trigg (en el artículo titulado «Geometry of Paper Folding II: tetrahedral models» y publicado en 1954) que no requiere pegamento: recorta la figura, dobla por las líneas de división de los triángulos y forma un tetraedro con los triángulos blancos. Encaja los triángulos sombreados entre las separaciones para conseguir una estructura estable.

  2. Coloca el tetraedro así construido sobre el triángulo negro situado en la parte superior del tablero de la figura (por supuesto, debes tener la precaución de hacer coincidir las dimensiones de los triángulos del tablero y del tetraedro).

  3. Mientras estás de espaldas, alguien hace RODAR aleatoriamente el tetraedro apoyándolo cada vez en uno de los triángulos de la figura. La forma de hacerlo es girar la figura tomando como apoyo un lado del triángulo y dejando caer el vértice superior del tetraedro sobre el vértice opuesto del triángulo. Se puede detener cuando quiera, observar el color en el que se apoya el poliedro en ese momento, dejar transcurrir 10 segundos y DESLIZAR (sin levantarlo del papel) el tetraedro de nuevo hasta colocarlo nuevamente sobre el triángulo negro. Al volverte de cara, puedes sentir el color en el que se había posado el tetraedro y nombrarlo.

Para adivinar el color, hace falta que, previamente, hayas dejado una pequeña marca, que pase desapercibida, en la esquina de una cara del vértice superior del tetraedro, y, al colocarlo sobre el triángulo negro, hacer que la marca quede en la cara que da hacia el tablero. La posición final de la marca permitirá deducir el último color en que se había posado el tetraedro, como se ilustra en el gráfico siguiente:

¿Cuál es esa extraña y poco conocida propiedad? La respuesta se ilustra en la siguiente imagen, en la que se representa en gris la cara del tetraedro que contiene la marca y las distintas posiciones que ocupa durante el recorrido por el tablero a partir de las indicaciones descritas en el juego.

Se observa rápidamente que, cuando el tetraedro descansa en alguno de los triángulos amarillos, la cara que está marcada es la que forma la base y está apoyada en dicho triángulo; el resto de la figura consiste en hexágonos formados por seis triángulos y el tetraedro va basculando para ocupar alternativamente los tres colores, siempre en el mismo orden.

Si ahora nos fijamos en el recorrido de la marca que hemos realizado, llegamos a esta otra figura:

Ya comprendemos que, en los triángulos amarillos, la marca no se ve porque está en la cara inferior. Si recorremos cada hexágono en el sentido de las agujas del reloj, la marca va pasando sucesivamente del vértice superior (triángulo azul) a la cara derecha del vértice inferior (triángulo verde) y a la cara izquierda del vértice inferior (triángulo rojo).

De forma análoga a la adaptación que mostramos en la entrega anterior, sería posible realizar el juego con el Pyraminx, versión tetraédrica del cubo de Rubik. Dejo a que desarrolles tu ingenio para adaptar el juego con un tetraedro de colores.

 

 

Para el siguiente juego nos pasamos al octaedro pero no dejamos de seguir a Martin Gardner, esta vez en el libro titulado «The second book of mathematical puzzles and diversions» (publicado la primera vez por Simon and Schuster en 1961).

En el primer capítulo del libro, dedicado a los cinco sólidos platónicos, Martin Gardner propone una variante del clásico juego de las tarjetas binarias, que ya hemos tratado aquí en numerosas ocasiones (desde febrero de 2005 hasta abril de 2019), esta vez utilizando un dado octaédrico.

Para recordar el juego, es necesario que construyas un dado octaédrico. Seguro que encontrarás muchos tutoriales que indican la manera de hacerlo pero yo voy a proponer un método en el que no se necesita pegamento para unir las caras, de modo que se podrá armar y desarmar en cualquier momento. En realidad, el método fue propuesto también por Charles Trigg en el artículo titulado «Collapsible models of the regular octahedron», publicado en el número 65 de la revista "The Mathematics Teacher", en octubre de 1972. Como se trata de un dado, las caras deben estar numeradas así que recorta la figura adjunta y, después de doblar cuidadosamente por todas las aristas, introduce las pestañas sombreadas para dar solidez a la figura.

Una vez construido, observarás que el dado conserva la propiedad fundamental del dado usual cúbico pues, a pesar de tener ocho caras en lugar de seis, la suma de los valores de dos caras opuestas es igual a 7 (por eso ha sido necesario colocar el cero en una de las caras y no el ocho, como sería lo más natural). Por cierto, Gardner plantea el problema de disponer los números del 1 al 8 en las caras del octaedro de modo que la suma de los valores de las cuatro caras que convergen en un mismo vértice sea constante. ¿Te animas a resolverlo? De propina, trata de probar que el octaedro es el único entre los demás poliedros regulares que tiene esta propiedad.

Volvamos con el juego una vez construido el dado octaédrico de la figura anterior.

  1. Pide a tu asistente que piense un número del 1 al 8.

  2. Muéstrale las cuatro caras que se ven en la imagen y pregúntale si ve el número que ha pensado.

  3. Cambia la disposición del dado para mostrarle estas otras cuatro caras y vuelve a preguntarle si ve el número pensado.

  4. Repite por última vez la pregunta mostrando estas otras cuatro caras del dado.

Según las respuestas recibidas, podrás anunciar inmediatamente el número pensado.

La solución es la misma que la de la versión original: si la primera respuesta es "sí", memoriza el número 1; si la segunda respuesta es "sí", memoriza el número 2; si la tercera respuesta es "sí", memoriza el número 4. Suma los valores memorizados y obtendrás el número pensado.

La explicación se basa, como de costumbre, en el sistema binario: los cuatro primeros números mostrados (1, 3, 5 y 7) son los que tienen un 1 como última cifra en su representación binaria; los cuatro números mostrados la segunda vez (2, 3, 6 y 7) tienen un 1 como penúltima cifra en su representación binaria; y los cuatro últimos (4, 5, 6, y 7) tienen un uno como primera cifra. La suma de los valores indicados permite recuperar el número en su representación decimal.

Comentarios finales:

  • En el portal Divermates, ya citado otras veces en este rincón, se puede encontrar una versión más elaborada de este último juego. En primer lugar, allí se muestra un método de construcción del octaedro que también puede plegarse de modo que sea más fácil de guardar y transportar sin dañarlo aunque se necesita algo de pegamento en su primera elaboración. Por otra parte, se sustituyen los números por símbolos del oráculo chino I Ching —también muy relacionado con la aritmética binaria— lo que permite ocultar magníficamente el secreto y dar una presentación diferente y original.

    Si quieres realizar el juego con los números pero utilizando el modelo de octaedro que se propone en Divermates, puedes utilizar esta figura:

  • Curiosamente, tambíén es posible construir un dado en forma de tetraedro. El problema es que, al lanzar el dado, siempre queda un vértice en la parte superior, no una cara. ¿Cuál es la solución? Que sean los vértices y no las caras quienes estén numerados. Puedes fabricarte un modelo de dado recortando esta imagen (observa que, ahora, en cada cara hay una de las cuatro posibles combinaciones de los cuatro números 1, 2, 3, 4, tomados de tres en tres):

  • Para terminar, quiero recordar la analogía entre las figuras geométricas aquí consideradas con cierta clase de números figurados, más concretamente con los números poliédricos: desde la cultura clásica griega se han estudiado las familias de números que pueden representarse como puntos equidistantes en distintas figuras geométricas. Así pues, los números tetraédricos son aquellos que pueden representarse en un tetraedro regular. Los primeros elementos de esta familia son 1, 4, 10, 20, 35, ... como se puede ver en la siguiente imagen, y aparecen de forma natural en el famoso triángulo de Pascal:

    Del mismo modo se pueden definir los números octaédricos, que serán los que pueden disponerse en un octaedro regular, como el de la figura:

    Parece que fue Descartes quien publicó el primer estudio sobre las propiedades de estos números en "De solidorum elementis". ¿Podrías encontrar la secuencia de números octaédricos? Piensa que un octaedro está formado por dos pirámides cuadradas superpuestas. Incluso hay una curiosa relación entre los números octaédricos y los números tetraédricos.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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