130. (Septiembre 2015) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2015: Mix mezclado |
Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) |
Miércoles 02 de Septiembre de 2015 |
A la vuelta del verano y como de costumbre, vamos a explicar el juego que describimos en la entrega anterior, relativo a las propiedades de algunos tipos de mezclas de cartas. Recordemos que el juego consiste en realizar dos mezclas distintas de forma consecutiva a dos grupos de cartas para conseguir que todas las cartas vuelvan a su orden inicial. Una de ellas es la mezcla Klondike, la cual, como cualquier mezcla, consiste en una permutación del conjunto de cartas, es decir, se trata de una aplicación del conjunto de cartas en sí mismo de modo que sólo altera el orden. El resultado de la permutación se describe en las fórmulas siguientes, según que el número de cartas sea par o impar.
K(1, 2, ..., 2n-1, 2n) = (n, n+1, n-1, n+2, n-2, ..., 2, 2n-1, 1, 2n);
K(1, 2, ..., 2n-1) = (n, n-1, n+1, n-2, n+2, ..., 2, 2n-2, 1, 2n-1).
[Con esta forma de escribir, simplemente queremos indicar que, si las cartas están inicialmente en el orden 1, 2, ..., 2n-1, 2n, después de la mezcla Klondike quedan en el orden n, n+1, n-1, n+2, n-2, ..., 2, 2n-1, 1, 2n y de forma similar cuando el número de cartas es impar.]
Las siguientes fórmulas son las correspondientes a la mezcla Monge, donde distinguimos también los casos en que el número de cartas es par o impar:
M(1, 2, ..., 2n-1, 2n) = (2n, 2n-2, 2n-4, ..., 2, 1, 3, ..., 2n-3, 2n-1);
M(1, 2, ..., 2n-1) = (2n-2, 2n-4, ..., 2, 1, 3, ..., 2n-3, 2n-1).
Realizar de forma consecutiva una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge consiste en lo que, en Matemáticas, se llama la composición de las dos aplicaciones. Así que el orden final en que han quedado las cartas después de la primera mezcla se convierte en el orden inicial antes de realizar la segunda mezcla. El resultado de la composición obedece a las fórmulas siguientes, otra vez según que el número de cartas sea par o impar:
M(K(1, 2, ..., 2n-1, 2n)) = (2n, 2n-1, 2n-2, ..., 2, 1);
M(K(1, 2, ..., 2n-1)) = (1, 2, 3, ..., 2n-2, 2n-1).
¡Ya hemos encontrado la propiedad que buscábamos! Con un número par de cartas, la secuencia mezcla Klondike-mezcla Monge invierte el orden inicial de las cartas; con un número impar de cartas, la misma secuencia de mezclas vuelve todas las cartas a su posición inicial.
Esta es la propiedad que citábamos en el número 125 de nuestro rincón (marzo de 2015) y la que da origen al juego, de título Teamwork, como aparece en el libro "Ear Marked" de Werner Miller, no sólo gran conocedor de las propiedades de estas mezclas sino experto en crear juegos de magia utilizando estas propiedades como base.
Recordemos ahora la descripción que hacíamos del juego en la entrega anterior.
Adivina lo que ha pasado: ¡las cartas vuelven a estar ordenadas!
Los detalles que permiten aplicar las propiedades que hemos descubierto son los siguientes:
Siempre esperamos vuestra participación en estos concursos, principalmente para sentir que hay alguien al otro lado de la pantalla del ordenador pero no parece que el verano sea época propicia para ello. Sin embargo, agradecemos a nuestro fiel concursante Roberto Camponovo su dedicación al problema y su respuesta correcta y bien documentada.
Observaciones finales.
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