198. (Noviembre 2021) Primos estrellados
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Martes 02 de Noviembre de 2021

La magia de Charles Peirce

Seguro que ya sabes lo que pasa cuando se dibujan 5 puntos equidistantes sobre una circunferencia y se une, empezando por uno de ellos, cada uno de los puntos con el siguiente, hasta volver al punto de partida. Cierto, se obtiene un pentágono regular. También sabrás que este procedimiento es completamente general: si se dibuja cualquier otra cantidad de puntos —digamos n— equidistantes sobre una circunferencia, al unir puntos consecutivos hasta volver al punto de partida se obtiene un polígono regular de n lados. En la siguiente figura se muestran los casos del pentágono y el heptágono regulares.

Creo que no es difícil tampoco adivinar lo que ocurre cuando se unen los vértices del pentágono anterior no de forma consecutiva sino saltando un punto cada vez. Haz la prueba, numera los cinco puntos (por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj), traza un segmento uniendo el 1 con el 3 (saltando el 2), luego el 3 con el 5 (saltando el 4), luego el 5 con el 2 (saltando el 1), éste con el 4 y, por último, el 4 con el 1. Efectivamente, conseguirás la famosa estrella de cinco puntas o pentagrama, que fue símbolo de la escuela pitagórica y que oculta numerosas sorpresas matemáticas. Ahora bien, a diferencia del proceso de construcción de los polígonos regulares, si el número de puntos no es cinco, no se puede asegurar que la figura obtenida sea una estrella. Por ejemplo, con seis puntos, empieza trazando un segmento uniendo el 1 con el 3, luego el 3 con el 5 y el 5 con el 1; no hay forma de pasar por los puntos numerados con el 2, 4 ni 6. Ahora bien, si se empieza uniendo el punto 2 con el 4, el 4 con el 6 y el 6 con el 2, se consigue un segundo triángulo que, junto con el anterior, forman también una estrella, símbolo que la religíón judía conoce como sello de Salomón o estrella de David. La estrella pentagonal es un ejemplo de polígono estrellado (figura que se obtiene al unir de forma alterna, ya sea de dos en dos, de tres en tres, etc., los vértices de un polígono regular) y la estrella hexagonal es un ejemplo de falso polígono estrellado (figura que se obtiene superponiendo varios polígonos girados entre sí). En la figura se muestran las estrellas poligonales de cinco, seis, siete y ocho vértices, entre las cuales hay dos que son falsos polígonos estrellados.

La pregunta que te surge ahora es: ¿cuántos lados debe tener un polígono para que se pueda dibujar una estrella poligonal y cuántas estrellas poligonales se pueden construir sobre un mismo polígono? La clave para dar con la respuesta es que, al unir los vértices, no se vuelva al punto de partida hasta que se hayan recorrido todos. Matemáticamente, esto significa que el número de lados y el salto entre vértice y vértice sean números primos entre sí. Por esta razón, sólo hay una estrella pentagonal pues 5 y 2 son primos entre sí (claro, también lo son 5 y 3 pero la figura resultante al saltar de dos en dos que de tres en tres es la misma) y no hay ninguna estrella hexagonal (vale, 6 y 5 son primos entre sí pero no sale ninguna estrella saltando de cinco en cinco pues es lo mismo que saltar de uno en uno, pero en sentido contrario).

Como no quiero profundizar en estas interesantes y entretenidas cuestiones, citaré un par de referencias por si quieres aprender un poco más: el apartado "Polígonos estrellados" del blog Matemáticas en tu mundo de José María Sorando, ilustrado con gran variedad de originales fotografías, y el trabajo de Inmaculada Fernández Benito titulado "Polígonos estrellados, estrellas y formas estrelladas", presentado en la sexta reunión nacional de Estalmat (marzo de 2009).

Te estarás preguntando qué relación tiene esta extensa introducción con el juego de magia que estás esperando. Para prolongar un poco más el misterio, hagamos primero el juego y, si nos queda tiempo (a mí) y paciencia (a ti), daremos las pertinentes justificaciones. Prepara siete cartas, del as al siete de cualquier palo y ordénalas de menor a mayor formando un paquete (el as es el que quedará a la vista, si las cartas están cara arriba). Quedará algo así como esta figura:

  1. Cierra la extensión de cartas y, manteniendo el paquete con las cartas cara abajo, reparte dos montones sobre la mesa, dejando alternativamente una carta en el montón de la izquierda y una carta en el montón de la derecha.

  2. Recoge los dos montones colocando uno de ellos sobre el otro. Ahora puedes cortar y completar el corte para no saber cuál es la posición de las cartas.

  3. Muy bien, gira cara arriba la carta superior y déjala nuevamente como carta superior. ¿Es el siete? Lo sabía.

  4. ¡Ah!, que no es el siete (lástima, habría sido la predicción perfecta). Pasa entonces de arriba abajo del paquete tantas cartas como indique dicho número (el as corresponde al uno, claro). Por ejemplo, si es un tres, pasa tres cartas de arriba abajo del paquete (el tres seguirá estando cara arriba pero las demás quedarán cara abajo).

  5. Gira ahora cara arriba la nueva carta superior y repite el proceso indicado en el paso anterior con este nuevo número. En este momento habrá dos cartas cara arriba y cinco cartas cara abajo.

  6. Vuelve a repetir el mismo proceso anterior hasta encontrar que la nueva carta superior ya está cara arriba. Podría apostar a que, en este momento, sólo queda una carta cara abajo. Además, sé incluso de qué carta se trata: ahora sí es el siete.

Como podrás apreciar, el juego tiene un aire similar a los de tipo combinatorio que citamos en el número 193 (mayo de 2021) de este rincón, y seguro que sería muy del gusto del genio mágico John Conway. Para comprender el fundamento de este juego, debemos detenernos en el efecto que producen los dos pasos clave del proceso: el reparto inicial de los dos montones y la secuencia numérica de las cartas que se van girando. Con el primer reparto se han separado las cartas pares de las impares. El hecho de cortar el paquete puede alterar la posición de las cartas pero no el orden cíclico (si pensamos que las cartas están colocadas en los vértices de un heptágono regular, veremos las cartas pares de menor a mayor seguidas de las cartas impares, también de menor a mayor). En este momento, independientemente del valor de la primera carta, sólo hay una posible secuencia de cartas que se van girando cara arriba: 1 - 3 - 2 - 6 - 4 - 5. Hay que entender de nuevo que esta secuencia es cíclica, es decir, si la carta superior es, por ejemplo, el 5, la secuencia de cartas giradas es 5 - 1 - 3 - 2 - 6 - 4. Así pues, se recorren todas las cartas excepto el siete de modo que la predicción es infalible.

Esto conduce inexorablemente a plantearse la siguiente pregunta: ¿el juego se puede realizar con cualquier cantidad de cartas? La respuesta inmediata es ¡NO! Haz la prueba con seis cartas. Recuerda el proceso: ordénalas de menor a mayor, reparte dos montones, reúnelos, corta y gira la carta superior: si es un seis, se acaba el juego. Si no, pasa de arriba abajo tantas cartas como indique su valor, repite el proceso. Verás que aparece una cara cara arriba antes de girar todas. El juego no funciona.

¿Y con cinco cartas? Ahora sí, la secuencia de cartas giradas es 1 - 3 - 4 - 2 (o cualquier reordenación cíclica de ésta). ¡Vaya!, resulta que con cinco y siete vértices se podía construir un polígono estrellado pero con seis no. ¿Tendrá algo que ver? Sigamos investigando, pero antes quiero citar el artículo donde se detallan las ideas fundamentales que he rescatado aquí: se trata del titulado "Les secrets du pentacle", escrito por Ludovic Simonet en el número 46-47 (año 2003) de la revista Hyper Cube, cuya portada se muestra en la imagen. En dicho artículo, el autor atribuye al mago George Sands (1920-2006), el mismo que inventó-descubrió-ideó-creó el principio del número primo que protagonizó el número 76 (octubre de 2010) de este rincón, el origen del método de adivinación descrito. Misteriosamente, los números primos también van a aparecer aquí.

Este es el enfoque desarrollado por Ludovic Simonet (y quizá también por George Sands (ver comentarios finales)):

  1. Dibuja un número impar arbitrario de puntos equidistantes en una circunferencia, digamos 2n + 1;

  2. Escribe el número 1 junto a uno cualquiera de los puntos;

  3. Saltando n puntos en el sentido de las agujas del reloj, escribe el número 2 en el punto al que has llegado;

  4. Repite el paso anterior y escribe el número 3 en el nuevo punto al que has llegado;

  5. Sigue recorriendo los puntos marcados como se ha indicado y escribiendo números de forma consecutiva;

  6. Por último, traza un segmento uniendo el punto 1 con el 2, luego el 2 con el 3, el 3 con el 4 y así hasta volver al punto de partida.

¡Acabas de construir un polígono estrellado de 2n + 1 puntas! Has recorrido todos los puntos sin repetir ninguno de ellos debido a que los números 2n + 1 y n son primos entre sí, sea cual sea el valor de n (¿sabrías demostrar esta propiedad?). Además, si recorres los vértices de la estrella en el sentido de las agujas del reloj, aparecen los números impares, en orden creciente, y, a continuación, los números pares, también en orden creciente (precisamente, como se debían colocar para realizar el juego anterior). Esto significa que podíamos plantear el juego utilizando una estrella con los vértices numerados de esta forma en lugar de cartas, tachando los números a los que se llega después del recorrido por la estrella. El único punto que no quedará tachado sería siempre el número 2n + 1. En la figura puedes ver la disposición de los números y la forma de las estrellas con siete y nueve puntas.

¡Última sorpresa! Sería un poco aburrido que el juego se pudiera realizar con cualquier estrella que tenga un número impar de vértices. Ya hemos visto que funciona con 5 y 7 vértices pero no sale con 9, 11, 13 ni 15. Sí funciona con 17 (número que utiliza Ludovic Simonet en su artículo), con 19, 29, 31 y 43. ¿Cuál es el siguiente? ¿Sólo vale con algunos números primos?

Como yo no sé las respuestas, planteo estas cuestiones a mi amigo Juan Carlos Ruiz de Arcaute —mago, matemático e informático, entre otras habilidades— y, como resultado de sus indagaciones, me devuelve la lista de los primeros valores, resumida en esta tabla:

Pues sí, son todos primos, que podríamos bautizar como "primos estrellados" si no fuera porque ya estaban bautizados previamente (con otro nombre): se trata de la sucesión catalogada como A019334 en la "Enciclopedia de Sucesiones de Números Enteros", fundada en 1964 por el inagotable matemático Neil Sloane. Resulta que se trata de la sucesión de números primos con raíz primitiva 3, lo cual conduce a nuevas e inquietantes preguntas, como por ejemplo: ¿qué tienen que ver estos números con el proceso de conteo que se lleva a cabo en el juego descrito?

Comentarios finales

Un precursor del juego que aquí hemos mostrado es el titulado "Prime choice", ideado por George Sands y publicado por Karl Fulves en el número 8 de la revista The Chronicles (1978). En primer lugar nos hace aprender la frase mnemotécnica "A furry kitten fights seven to try at joinning six queens" (algo así como "Un gatito peludo pelea contra siete para tratar de unirse a seis reinas") como regla para recordar el orden As-4-K-10-5-7-2-3-8-J-9-6-Q. Por ejemplo, "furry" recuerda a "four", "fight" a "five", etc.

Ahora basta tener preparadas trece cartas con esa ordenación, dar a elegir una carta del resto de la baraja, sustituirla por la K en la preparación anterior y dejar las trece cartas en las manos de tu asistente. Esta persona corta el paquete, completa el corte y gira cara arriba la carta superior. Ya sabes el resto: si es la carta elegida, perfecto; si no, pasa de arriba abajo tantas cartas como indica el valor de la carta girada (el as cuenta como 1, la J como 11 y la Q como 12), repite el proceso hasta que sólo quede una carta cara arriba. Será la elegida.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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