Mayo 2006: ¿Por qué las Matemáticas?
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Lunes 01 de Mayo de 2006

Portada

Una exposición internacional realizada con la cooperación de la UNESCO

por Centre•Sciences, CCSTI de la region Centro, Orléans, France.

Con la Universidad Tokai (Tokyo-Japan) y la Universidad de Manila (Filipinas).

 

(Adaptación de los textos al castellano por A. Bagazgoitia, R. Ibáñez, M. Macho, A. M. Mancho, A. Pérez)

Introducción | Índice de la exposición

La exposición ¿Por qué las Matemáticas? con sus imágenes, textos, experimentos, juegos, videos,... (junto a las exposiciones "Arte fractal: belleza y matemáticas" y "Demoscene: Matemáticas en movimiento") podrá verse en el Centro Cultural Conde Duque (Madrid), del 17 de Agosto al 29 de Octubre de 2006. Se organiza con motivo del Congreso Internacional de Matemáticos Madrid 2006. En DivulgaMAT seguiremos informando sobre esta exposición.
icon Catálogo de la exposición "¿Por qué las Matemáticas?"


Introducción

PÁGINA WEB DE LA EXPOSICIÓN: http://www.mathex.org

¿POR QUÉ UNA EXPOSICIÓN DE MATEMÁTICAS?

Esta exposición pretende mostrar que las matemáticas son:

  • Asombrosas, interesantes y útiles.
  • Accesibles a todos.
  • Juegan un gran papel en la vida diaria.
  • Y tienen mucha importancia en nuestra cultura, desarrollo y progreso.

imágen de la exposición

ORIGEN DEL PROYECTO

Para continuar las acciones emprendidas en el año 2000 por la UMI - Unión Matemática Internacional con el apoyo de la UNESCO, Madame Minela Alarcón, encargada de las ciencias de base de la UNESCO, ha propuesto un proyecto de exposición internacional itinerante sobre las matemáticas.

dibujoLas matemáticas forman parte de nuestra vida cotidiana: la utilización de un teléfono, de una tarjeta de crédito, de un medio de transporte, así como la previsión del tiempo y muchas otras actividades esconden matemáticas que han perdido su visibilidad y su legibilidad, incluso si pertenecen al patrimonio cultural de la humanidad, como testimonian los programas escolares y universitarios. Partiendo de estas reflexiones se han hecho esfuerzos, especialmente por las sociedades siguientes, SMF, SMAI, SME, por mejorar la imagen de las matemáticas entre el gran público: los ¨posters” sobre las “Matemáticas en la naturaleza” y “Las Matemáticas en la vida cotidiana” destacan entre estas acciones.

Esta serie de posters y los folletos asociados, así como las acciones desarrolladas en Japón en el ámbito de la popularización de las matemáticas está en el origen de este proyecto.

A partir del material existente, un equipo formado por animadores del Año Mundial de las Matemáticas y por un grupo de matemáticos japoneses bajo la dirección del profesor Jin Akiyama comenzó a definir los objetivos de la exposición. Los trabajos de este grupo, al que se unió el Centre Sciences de Orleáns llevaron a la idea de una gran exposición internacional sobre las matemáticas, exposición que naturalmente se inscribe dentro del marco de misiones culturales y científicas de la UNESCO.

PÚBLICO AL QUE VA DIRIGIDA

dibujo de cerebroLa exposición está particularmente dirigida a un público joven y a su entorno inmediato, padres y profesores, pero por su propia concepción debería interesar al gran público que solicita información sobre las ciencias en general y sobre las matemáticas en particular.

FORMATO PROPUESTO

cuerdaLa exposición está concebida para ser presentada de forma homogénea en una sala de entre 200 y 400 m2 (preferiblemente más de 300 m2). Consta de paneles, experiencias y objetos manipulables creados por el Centre Sciences, le Palais de la Découverte y el laboratorio del profesor Jin Akiyama, animaciones interactivas sobre pantalla y folletos. La exposición es fácilmente transportable y a adaptable a situaciones específicas.

CONTENIDO DE LA EXPOSICIÓN

imágen de la exposiciónPara que sea accesible a un público joven, la exposición se limitará, en su primera versión, a una docena de temas tratados bajo forma de experiencias interactivas, objetos, imágenes, vídeos, simulaciones numéricas y demostraciones comentadas. Los textos que acompañan la exposición se redactarán en dos lenguas, español e inglés (cabría la posibilidad de tener catálogos también en portugués y español).

Talleres, conferencias, debates, catálogos, referencias bibliográficas e históricas completarán la exposición.

LOS TEMAS

imágen de hoj de helechoFormas de la naturaleza
¿Cómo pavimentar?
¿Cómo llenar el espacio?
Puntos, líneas y colores
Números y códigos secretos
¿Qué se puede calcular hoy?
Las casualidades de la vida
Orden y caos
¿Cómo optimizar?
De Pitágoras a Wiles...
Arte y matemáticas
Asombroso, ¿no?

LOS COLABORADORES

El comité de patrocinadores agrupa a :

  • La UNESCO
  • La Unión Matemática Internacional (IMU)
  • La Commisión Internacional para la enseñanza de las Matemáticas (ICMI)
  • La Socidad Matemática Europea (EMS)
  • El Ministerio japonés de Educación (Monbusho)
  • LaUniversidad Tokai de Tokyo, Japon
  • El Ateneo de Manila, Filipinas
  • La Academia de Ciencias, Francia
  • El Centro Nacional de la Recherche Scientifique (CNRS), Francia
  • El Instituto de Altos Estudios Científicos (IHES), Francia
  • Las Universidades René Descartes (Paris V) y Pierre & Marie Curie (Paris VI)
  • Las Universidades de Orléans y Tours, Francia
  • Las Sociedades siguientes : Société Mathématique de France et Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles.

logos de los patrocinadores

EL GRUPO DE TRABAJO

mapa mundiLa dirección científica está a cargo de :
Minella Alarcon, responsable de las ciencias de base en la Unesco y
Mireille Chaleyat-Maurel, vicepresidente del Comité RPAMath de l'EMS
con
Michèle Artigue, vicepresidente del ICMl,
Mari-Jo Ruiz, Ateneo de la Universidad de Manila,
Jin Akiyama, Instituto de Investigación y desarrollo de la educación, Universidad Tokai, Tokyo,
Jean Brette, Palais de la Découverte, Paris,
Michel Darche, Centre.Sciences de Orléans, CCSTI de la región Centro.
Gérard Tronel, Año Mundial de las Matemáticas.

Centre.Sciences, CCSTI de la región Centro, se encarga de la implementación y coordinación de las diferentes acciones.

REFERENCIAS

Centre.Sciences, CCSTI de la región Centro

Ha concebido y realizado numerosas exposiciones interactivas, entre ellas “Horizontes matemáticos” (premio D’Alembert de matemáticas 1984) y “Maths 2000”, dos series de posters, matemáticas en la naturaleza y Matemáticas en la vida cotidiana presentados en cuarenta países y un folleto realizado con el apoyo de la Sociedad matemática Europea y la Comisión Europea.

El laboratorio de investigación sobre la Educación de la Universidad Tokai (Japón)
naranjas
Dirigido por el profesor Jin Akiyama, ha realizado una colección importante de objetos matemáticos y manipulaciones presentadas en dos exposiciones en Manila y Seúl. En estas obras se basan los equipamientos de los museos japoneses de matemáticas, especialmente el museo de Shizuoka

La Sociedad Matemática Europea

Ha realizado, para el Año mundial de las matemáticas, una serie de posters difundidos en 400 ejemplares en más de una veintena de países. La participación activa y el apoyo del Comité –RPMAMath- han permitido al grupo de animación del Año mundial de las matemáticas realizar y difundir en 10000 ejemplares un folleto sobre “Las matemáticas de la vida cotidiana”.
Este comité ha organizado un concurso de posters sobre las matemáticas en el año 2000; con los premiados se ha hecho una exposición que se ha ofrecido en las grandes ciudades de Europa.

El grupo de animación del Año Mundial de las Matemáticas

Entre las acciones realizadas destacan los pósteres expuestos en el metro de París, el diseño y difusión de pósteres y el folleto sobre “Matemáticas de la vida cotidiana”. Por el conjunto de sus actividades desarrolladas en el año 2000 el grupo obtuvo el premio D’Alembert 2002.

imágenes de la exposición


Índice de la exposición

1. Leer la naturaleza 1.1. Formas en la naturaleza
1.2. ¿Es el mundo fractal?
1.3. ¡Todos en órbita!
2. Teselaciones y simetrías 2.1. Técnicas de embaldosado
2.2. ¿Es simétrica la naturaleza?
2.3. ¿Dónde estoy?
3. Llenar el espacio 3.1. Apilar naranjas
3.2. La esfera: del átomo a los cristales
3.3. El apilamiento: un problema complejo
4. Unir mediante una línea 4.1. Puntos y líneas
4.2. ¡Cuatro colores bastan!
4.3. ¿Dígame?
5. ¿Por qué calcular? 5.1. ¡Mi ordenador me ha engañado!
5.2. El comercio electrónico ¿es seguro?
5.3. Restauración en Corfú
6. Construir 6.1. Curvas para una conducción suave
6.2. La genialidad de los puentes
6.3. El motor rotatorio: ¡revolucionario!
7. Calculando 7.1. ¿Estamos todos en la media?
7.2. ¿Cómo pedir un préstamo?
7.3. ¿Ganar el Euromillón?
8. Optimización 8.1. La naturaleza es ahorradora
8.2. La Tierra bajo vigilancia
8.3. Las formas más eficientes
9. Demostrando 9.1. Pruebas y demostraciones
9.2. De Pitágoras a Wiles
9.3. Verdadero... y sin embargo indemostrable

1. Leer la naturaleza

1.1. Formas en la naturaleza

¿Por qué una burbuja de jabón que flota en el aire parece una esfera perfecta?

¿Por qué la naturaleza crea estructuras regulares y movimientos tan predecibles como los gravitatorios?

Para responder, los matemáticos utilizan modelos sencillos: círculos y esferas, cuadrados y cubos, hélices, cónicas...

Desde lo infinitamente grande a lo infinitamente pequeño, del telescopio al microscopio, la naturaleza revela formas cada vez más complejas: espirales, fractales...

Las matemáticas, los números, las ecuaciones diferenciales, nos permiten entender mejor fenómenos tan complejos como la vida en la Tierra o la estructura del Universo.

imágen naturaleza

1.2. ¿Es el mundo fractal?

¿Cómo se puede representar la forma de un río serpenteante o de una costa escarpada?

¿Y la forma de una nube, una llama o una soldadura?

¿Es posible determinar las dimensiones de las galaxias en el Universo?

¿Se pueden representar las intrincadas ramificaciones de la actividad en Internet?

Observa una hoja de helecho; está construida por repetición del mismo motivo a escalas cada vez más pequeñas.

Este tipo de estructura, que aparece a menudo en la naturaleza, llevó a Benoît Mandelbrot desarrollar la Geometría Fractal. Un fractal es una forma autosemejante, cuyas partes reproducen una versión más pequeña del todo.

• Benoît Mandelbrot (nacido en 1924 en Varsovia, Polonia)

imágen fractales

1.3. ¡Todos en órbita!

¿Qué trayectorias siguen los planetas, los satélites naturales o artificiales de nuestro universo?

Kepler demostró que estas órbitas son cónicas: elipses, parábolas, hipérbolas.

Los cometas que reaparecen cada cierto tiempo tienen también órbitas elípticas. Un satélite se puede librar de la atracción del sistema solar abandonando su órbita elíptica y siguiendo una trayectoria hiperbólica.

Con el fin de seguir y dirigir los movimientos de muchos satélites artificiales que rodean la Tierra, se utilizan rosarios de antenas parabólicas.

imágen planetas


2. Teselaciones y simetrías

2.1. Técnicas de embaldosado

¿Se puede recubrir un suelo con baldosas de cualquier forma sin dejar ningún hueco ni superponiéndolas?

Se puede hacer con muchas formas geométricas, pero no con todas, por ejemplo un pentágono regular. Los modelos de embaldosados que se repiten por translación son bien conocidos y sus simetrías internas permiten distinguir 17 tipos diferentes.

La investigación de estos tipos de teselaciones y sus simetrías se basan en la Teoría de Grupos concebida por Evariste Galois. Si queremos embaldosar con más libertad, de forma no periódica, la investigación se halla todavía lejos de estar terminada.

Entonces, ¿es posible embaldosar utilizando sólo una forma? ¡Es un misterio!

Las teselaciones encuentran aplicaciones matemáticas, en cristalografía, teoría de códigos, física de partículas...

  • Sir Roger Penrose (nacido en 1931 en Colchester)
  • Evariste Galois (1811-1832)

imágen teselación

2.2. ¿Es simétrica la naturaleza?

¿Por qué la doble hélice del ADN siempre gira en la misma dirección?

¿Por qué un rostro humano y su reflejo en el espejo no son superponibles?

Desde lo infinitamente pequeño hasta lo infinitamente grande, las simetrías aparecen en muchos modelos matemáticos. Sin embargo, la naturaleza raras veces presenta simetrías perfectas. Algunas se nos escapan y otras son idóneas para asumirlas como perfectas.

Son mucho más frecuentes las formas vivas que giran hacia la derecha. Esta tendencia a la asimetría podría explicarse por el azar o por el propio carácter asimétrico de las fuerzas físicas: la pregunta sigue sin respuesta.

imágen ADN y cristal de nieve

2.3. ¿Dónde estoy?

¿Cuántos satélites necesitamos alrededor de la Tierra para saber donde estamos en todo momento?

Tres son suficientes: miden su distancia al objeto que siguen (un cuarto satélite proporciona una corrección que mejora la precisión).

Si el objeto a localizar está equipado con un receptor portátil, comunica con los satélites mediante ondas electromagnéticas. Se encuentra en la intersección de 3 esferas centradas en cada uno de los satélites y cuyo radio es la distancia al objeto.

El sistema GPS (Global Positioning System), el sistema ruso y pronto el sistema Europeo Galileo nos permiten saber dónde nos encontramos en todo momento.

imágen tierra y satélites


3. Llenar el espacio

3.1. Apilar naranjas

¿Cómo apilar naranjas ocupando el mínimo volumen posible?

En los mostradores, las naranjas ocupan el 74% del espacio. Se trata del "empaquetado cúbico de cara centrada" bien conocido por los cristalógrafos. Kepler pensaba ya hace cuatro siglos, que esta disposición era la mejor.

No se pudo probar hasta 1998, mediante el estudio de más de 5.000 casos particulares con la ayuda de ordenadores.

Este problema de la vida cotidiana cuenta con aplicaciones que van desde el estudio de estructuras cristalinas a la teoría de códigos informáticos. Pero, si deseamos llenar una caja de una forma cualquiera, el problema continúa sin tener una solución general.

  • Johannes Kepler (1571-1630)

imágen empaquetamientos

3.2. La esfera: del átomo a los cristales

La bóveda celeste, la Tierra, los átomos y las partículas elementales... ¿Por qué se utiliza a menudo la esfera (entera o en parte) para representar formas naturales?

A escala microscópica, algunos fenómenos naturales pueden representarse mediante movimientos de esferas indeformables, que se mueven libremente o chocan sin pérdida de energía.

Si los átomos se representan mediante esferas, los cristales se consideran como pilas de átomos ordenadas, y casi siempre periódicas. Estos fenómenos son como elementos de un juego de billar infinito en tres dimensiones: estos modelos permiten el estudio de gases, líquidos y algunos sólidos.

pirita y fluorita

3.3. El apilamiento: un problema complejo

¿Qué ocupa menos volumen, un kilo de café en grano o un kilo de café molido?

Este pequeño problema pasa a ser importante cuando lo que se quiere es transportar toneladas de café...

El problema se convierte en muy complejo cuando los artículos son de diferentes tamaños y formas y deben transportarse en contenedores muy definidos. A la inversa, ¿de qué manera se pueden encontrar las mejores dimensiones para que los objetos ocupen un volumen determinado?

Estos problemas, que dependen también del peso de los objetos, del coste del transporte, del gasto de almacenamiento, etc., aún no han sido resueltos.

imágen esferas


4. Unir mediante una línea

4.1. Puntos y líneas

Königsberg, 1736. ¿Es posible atravesar la ciudad cruzando cada uno de sus siete puentes una vez y sólo una vez?

Para solucionar este problema, Euler extrae la información esencial: la ciudad está dividida en cuatro zonas representadas por cuatro puntos, conectados mediante siete líneas que simbolizan los siete puentes.

El problema se transforma entonces en el siguiente: en este esquema, ¿existe un camino que pase sólo una vez por cada línea? Es el inicio de la teoría de los grafos. La respuesta de Euler fue: depende de cuántos puntos existan en los que concurren un número impar de líneas.

Sólo existe solución si dicho número es igual a cero o dos.

  • Leonhard Euler (1707-1783)

imágen

4.2. ¡Cuatro colores bastan!

¿Cuántos colores necesitamos para colorear un mapa, de manera que dos países adyacentes tengan colores distintos?

La teoría de grafos nos permite representar este problema y reducir el número de casos por estudiar. Gracias a los ordenadores, se ha podido analizar un gran número de situaciones.

La teoría de grafos se utiliza para representar y estudiar situaciones muy concretas como redes de telecomunicaciones, circuitos electrónicos, redes de distribución -agua, gas, electricidad, correos...- y muchos otros problemas de logística, transporte y producción.

grafos

4.3. ¿Dígame?

En una red de comunicaciones locales ¿cómo se realizan tus llamadas telefónicas?

Viajan de repetidor en repetidor hasta la central más cercana a tu interlocutor que será avisado por un tono.

En una ciudad, estas centrales de la red telefónica están ubicadas de la mejor manera posible teniendo en cuenta la distribución irregular de las calles.

Cada central tiene asignada una zona de proximidad de la llamada en forma de polígono conectado con los demás vecinos.

Estas zonas forman una teselación de la ciudad, denominada mosaico de Voronoï. Si se conectan las centrales de zonas vecinas, se obtiene un grafo que representa los cables por los que viaja la llamada.

Los grafos, la teoría de la probabilidad y la geometría se unen para permitir la comunicación en condiciones óptimas.

mosaico de Voronoï


5. ¿Por qué calcular?

5.1. ¡Mi ordenador me ha engañado!

¿Qué números utilizamos en la vida cotidiana?

Para contar, hemos utilizado números enteros, después decimales, números reales e incluso complejos. ¿Qué pasa hoy en día? ¿Qué sucede si utilizamos una calculadora o un ordenador potente?

En el mercado, es preferible saber hacer cálculos mentales rápidos. El propio ordenador sólo utiliza números decimales con un número limitado de cifras.

Las leyes matemáticas ya no se respetan.

Tanto el contable como el ingeniero aeronáutico, deben controlar los errores de aproximación, desde lo infinitamente pequeño hasta lo infinitamente grande. En este ámbito, las herramientas informáticas no son del todo fiables.

imágen

5.2. El comercio electrónico ¿es seguro?

¿Se puede comprar en Internet de manera totalmente segura?

Con el desarrollo de la web, la criptografía –la ciencia de la codificación- se ha transformado en una herramienta fundamental para la protección de los bancos y de las compras electrónicas.

El secreto de nuestras tarjetas de identificación bancaria se basa en números de más de 100 cifras, producto de 2 números primos* indispensables para la decodificación.

Pero, hoy en día, el avance de la informática permite descubrir, cada vez más rápido, los divisores de números cada vez mayores...

Los matemáticos, los físicos y los informáticos buscan nuevos métodos de codificación seguros, utilizando, en particular, las extrañas leyes de la física cuántica.

* Un entero es "primo" si sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. Los primeros ejemplos son: 2, 3 ,5 ,7 ,11, 13, 17, 19... y hay una infinidad.

imágen tarjetas de crédito

5.3. Restauración en Corfú

¿Cómo recuperar imágenes digitales que se hayan dañado por problemas con la cámara de fotos, la transmisión o la recepción?

¿Cómo enviar o recibir imágenes de buena calidad por Internet y a alta velocidad?

Para ello, los matemáticos crean algoritmos de restauración de imágenes que se pueden ilustrar fácilmente mediante métodos cartográficos: la intensidad luminosa de cada píxel de la imagen se traduce por una “altura”.

La imagen se traduce mediante un mapa de relieve donde el ruido produce un relieve desigual; éste último se regulariza conservando las principales “líneas de nivel”, y así se puede recuperar una imagen sin interferencias.

imágen métodos cartográficos


6. Construir

6.1. Curvas para una conducción suave

En los accesos de las autopistas, ¿cómo se puede construir una vía que resulte más suave y segura para una conducción más eficaz?

Al circular en un automóvil, cuando se viaja a velocidad constante y el volante se gira de manera uniforme, el vehículo sigue una curva que se denomina clotoide (o espiral de Cornu).

Este trazado reduce las fuerzas centrífugas y permite unir suavemente una línea recta a una curva.

Mediante la utilización de la clotoide se consigue una conducción más sencilla y eficaz. Esta curva también se utiliza en las líneas ferroviarias, las líneas de metro, las pistas de patinaje, etc.

curvas autopista

6.2. La genialidad de los puentes

¿Cómo construir puentes más largos y cada vez más audaces?

Los primeros puentes utilizaban madera y piedra.

Los puentes de hierro, acero y hormigón aparecieron más tarde.

Surgieron nuevos problemas: el comportamiento dinámico de los puentes colgantes, la complejidad de gestionar la construcción de carreteras.

En la actualidad, los ordenadores y su potencia de cálculo permiten resolver estos problemas, paso a paso, consiguiendo construir puentes que superan todos los récords.

El puente Storebelt East Bridge en Dinamarca (con una longitud de 1.624 m), el viaducto de Millau en Francia (343 m de altura y una longitud de 2.460 m),...

imágen puentes

6.3. El motor rotatorio: ¡revolucionario!

Los motores de pistón funcionan con un movimiento ascendente y descendente. En el caso de los motores rotatorios, la energía se produce mediante rotación.

¿Cómo se producen la compresión y combustión en estos tipos de motores?

El volumen de gas en cada cámara varía con los movimientos del pistón. La carcasa tiene forma de una “epitrocoide”, una curva trazada por un punto dentro de un disco que rueda en el exterior de un círculo fijo.

Un rotor triangular gira alrededor de un eje, uno de cuyos lados toca la carcasa en todo momento.

El espacio entre la carcasa y el rotor se divide en tres cámaras de combustión.

imágen motor rotatorio


7. Calculando

7.1. ¿Estamos todos en la media?

¿Por qué es tan conocida la forma de esta curva? ¿Por qué resulta fundamental para la estadística?

Si clasificamos los habitantes de una ciudad o un país, las hojas de un árbol..., de acuerdo con una característica (tamaño, peso, CI, nivel de competencia...), cuanto más nos aproximemos a la media para cada criterio considerado, más individuos se encontrarán.

Cuanto más nos alejemos de la media, menos individuos habrá. En los extremos, prácticamente no encontraremos ningún individuo. La representación gráfica de este hecho es la llamada curva de Gauss. El carácter universal de esta curva es consecuencia de un resultado de Laplace, que dice que la distribución gaussiana es la acumulación de muchos pequeños factores independientes.

  • Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
  • Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

desviación estándar

7.2. ¿Cómo pedir un préstamo?

Deseamos solicitar un préstamo de 10.000 €uros a nuestro banco. ¿Resulta más ventajoso solicitar un préstamo a tipo fijo o a tipo variable?

Sin el álgebra, ¿cómo podemos saberlo? Las matemáticas nos ayudan a comprender e interpretar los contratos financieros. Ignorarlas sería quedarse indefenso frente a las prácticas comerciales.

La situación es idéntica, pero más complicada, en el caso de las inversiones. Depositemos 10.000 €uros en el banco: a cambio éste se compromete a devolvernos dicha suma dentro de unos años con intereses – eventualmente - que dependerán de la evolución del índice monetario y del mercado bursátil.

¿Quién sale ganando?

imágen ecuación

7.3. ¿Ganar el Euromillón?

Receta: Coja un avión con destino a Alemania*

1. Consiga una guía telefónica de ese país
2. Suba al avión
3. Cuando cruce la frontera, abra la guía telefónica
4. Escoja un nombre al azar, anote el número de teléfono y guárdeselo en el bolsillo.
5. Póngase un paracaídas
6. Abra la puerta del avión y... ¡salte!
7. Tras tomar tierra, comience a andar en línea recta en una dirección al azar
8. Pregunte a la primera persona con la que se encuentre cómo se llama y cuál es su número de teléfono
9. Compárelos con el nombre y el número de teléfono anotados en su bolsillo
10. ¡Vaya suerte ha tenido! ¡Son iguales!

Acaba usted de ganar el Euromillón

  • Alemania tiene unos 82 millones de habitantes.
  • La probabilidad de ganar el premio gordo del Euromillón es de una entre 76.275.360.

imágen juego casino


8. Optimización

8.1. La naturaleza es ahorradora

Una pompa de jabón es esférica; los cuerpos estelares son prácticamente esféricos. ¿Por qué?

A área constante, un círculo posee el perímetro más pequeño.
A volumen constante, la esfera posee la superficie más pequeña.
La naturaleza escoge el camino más fácil.

Una masa líquida en equilibrio relativo, una gota de aceite en suspensión o en rotación en un líquido, los planetas en formación, adoptan formas esféricas, ya sean únicas o múltiples. Estas formas corresponden a la mínima energía potencial, que es proporcional al área de los cuerpos.

pompas de jabón

8.2. La Tierra bajo vigilancia

¿Cómo puede encontrarse una buena representación de la Tierra? Eso depende de lo que uno quiera hacer con ella.

Después de haber elaborado proyecciones cartográficas adaptadas, por ejemplo, a la navegación, hoy tratamos de utilizar las imágenes tomadas por los satélites o por aviones para optimizar las labores de reconocimiento o la gestión de recursos.

Y es que cada uno de los píxeles de una imagen está diciéndonos cómo es el terreno: rocoso, oceánico, fluvial, forestal, de cultivo... Combinando los datos suministrados por los instrumentos de medición (sensores espaciales y espectrales de alta resolución), es posible obtener algoritmos de aprendizaje.

Los modelos así construidos son luego validados por observaciones sobre el terreno.

imágenes por satélite

8.3. Las formas más eficientes

¿Por qué se usa cada vez más la estructura de panal de abejas?

¿Acaso porque las abejas han encontrado la solución óptima?

Los materiales diseñados a partir de la estructura de panal poseen propiedades llenas de ventajas, como ser livianas, fuertes y rígidas. Tales formas se utilizan en la construcción del Airbus A380, de los trenes de alta velocidad, de las paredes de los satélites, etc.

Con cartón o polivinilo, el modelo de panal de abeja se emplea habitualmente en la construcción de puertas y paletas de transporte.

Con todo, la celda de un panal no es la forma que más eficientemente ocupa un volumen dado.

Se han encontrado mejores sistemas, pero la forma más eficaz sigue aún sin conocerse.

imágen avión


9. Demostrando

9.1. Pruebas y demostraciones

¿Existe la duda en matemáticas? ¿Es posible darse por satisfecho con una serie de hipótesis cuando éstas se verifican en un 99%?

Las demostraciones constituyen la base de la actividad de los matemáticos y, de hecho, es lo que verdaderamente distingue a la suya de otras actividades.

Las primeras demostraciones eran sencillas, estaban escritas en unas pocas líneas y podía comprenderlas todo aquél que tuviera estudios medios.

Hoy en día, existen demostraciones que ocupan cientos de páginas, para las que hay que hacer uso de ordenadores y de las que sólo pueden emitir un dictamen un reducido grupo de especialistas.

La complejidad del mundo plantea cada vez más preguntas a los matemáticos, que para responderlas deben enunciar conjeturas y demostrar a continuación lo adecuado de las mismas.

imágen de la Tierra de noche

9.2. De Pitágoras a Wiles

¿Cómo demostrar hipótesis que parecen verdaderas? ¿Existen números enteros tales que x2 + y2 = z2? ¿O tales que xn + yn = zn, cuando n es un entero mayor que 2?

Los griegos fueron los primeros que trataron de resolver estos problemas. Así, Pitágoras dio su nombre al teorema sobre “el cuadrado de la hipotenusa...” del que Euclides formuló la demostración más antigua que se conoce.

Más tarde, Fermat afirmó que este resultado no se podía generalizar. ¡Y Wiles demostró esta conjetura en 1994! Para ello, se sirvió de los últimos trabajos de investigación realizados en áreas muy diversas de las matemáticas.

En general, los matemáticos se esfuerzan en llamar nuestra atención sobre los grandes problemas aún por resolver.

  • Pitágoras (siglo VI a. C.)
  • Euclides (siglo III a. C.)
  • Pierre de Fermat (1601-1665)
  • Andrew Wiles (Cambridge, 1953)

teorema de Pitágoras

9.3. Verdadero... y sin embargo indemostrable

¿Podemos siempre probar una cosa de la que sabemos su veracidad?

En 1931, en un genuino golpe de teatro, Kurt Gödel dio una respuesta negativa a esta pregunta con su famoso teorema de la “incompletitud”.

Gödel demostró que las nociones de verdad y de demostrabilidad no son coincidentes, al descubrir una fórmula sobre números enteros que es verdadera, pero de la que sin embargo no es posible ofrecer una demostración en términos de aritmética elemental.

Para mayor sorpresa de todos, Gödel mostró también, en el mismo espíritu, que en el ámbito de la aritmética no es posible ni refutar ni probar que jamás vaya a llegarse a una contradicción.

La aritmética elemental es además indecidible. Esto implica, por ejemplo, que resulta imposible crear un programa informático capaz de comprobar si una determinada fórmula sobre números enteros es o no verdadera.

  • Kurt Gödel (1906-1978)

imágen Gödel


Más información sobre la exposición en el Conde Duque

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Teléfono: 91 588 5834
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Horario de Exposiciones.

Martes a sábado de 10 a 21 h.
Domingos y festivos de 11 a 14,30 h.
Lunes: CERRADO

HORARIO DE VERANO (24 de Julio - 20 de Septiembre)
Martes a sábado de 10 a 14 y 18 a 21 h.
Domingos y festivos de 10,30 a 14 h.
Lunes: CERRADO

Domicilio: Conde Duque, 9. Madrid 28015
Teléfono: 91 588 5834 Fax: 91 588 5800

AUTOBUSES: Circular, 1, 2, 21, 44, 74 y 149
METRO: San Bernardo, Argüelles, Plaza de España

Videos que se van a exhibir durante la exposición.

A. La serie de TVE (La aventura del saber) “Más por menos” (guión y presentación Antonio Pérez Sanz):

  1. El número Áureo
  2. Movimientos en el plano
  3. La Geometría se hace Arte
  4. El mundo de las espirales
  5. Cónicas: del baloncesto a los cometas
  6. Fibonacci. La magia de los números
  7. Las Leyes del Azar
  8. Números naturales. Números primos
  9. Fractales... la geometría del caos
  10. Matemática electoral
  11. Un número llamado e
  12. El lenguaje de las gráficas
  13. Matemáticas y realidad

(Más Información: www.rtve.es y platea.pntic.mec.es/aperez4/)

B. La serie de TVE (la aventura del saber) “Universo Matemático” (guión y presentación Antonio Pérez Sanz):

  1. Pitágoras: mucho más que un teorema
  2. Historias de Pi
  3. Números y cifras: un viaje en el tiempo
  4. Fermat: el margen más famoso de la historia
  5. Gauss: el príncipe de las matemáticas
  6. Euler: el genio más prolíficos
  7. Newton y Leibniz: sobre hombros de gigantes
  8. Las matemáticas en la revolución francesa
  9. Mujeres matemáticas
  10. Orden y Caos. La búsqueda de un sueño.

(Más Información: www.rtve.es y platea.pntic.mec.es/aperez4/)

C. Videos de la UNED:

  1. Arabescos y Geometría”, de Antonio F. Costa González.
  2. La duplicación del cubo en la Grecia Clásica”, de Emilio Bujalance García, Ramón Tarrés Reguant, Juan Tarrés Freixenet

(Más Información: teleuned.uned.es)

D. Videos de Michele Emmer:

  1. La banda de Moebius” (con el artista Max Bill)
  2. El mundo fantástico de M. C. Escher
  3. Espirales” (con el matemático André Deledicq)
  4. Hélices” (con el matemático White)

(Más Información: www.mat.uniroma1.it/people/emmer/ y quien desee adquirir los DVD's de Michele Emmer entre aquí)

 
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