ABC, 12 de Abril de 2021
CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas
Pedro Alegría

Los 'Cuatro de Trinity' comprobaron que sí existen cuadrados que se pueden dividir en cuadrados más pequeños, todos ellos de distinto tamaño

Arthur Stone, Leonard Brooks, Cedric Smith y William Tutte, los matemáticos y el químico detrás del pseudónimo de Blanche Descartes

Éranse una vez cuatro estudiantes del Trinity College en Cambridge (Reino Unido), centro que se considera a sí mismo como “una institución académica líder mundial, con una destacada historia y tradición en educación, enseñanza e investigación”. Aunque la historia empieza un poco antes de conocerse allí: fue a finales de 1934 o principios de 1935, cuando el profesor William Dean visitó la escuela de nuestro primer protagonista, Arthur Stone, y en su charla afirmó que el problema de demostrar que un cuadrado no podía ser diseccionado en un número finito de cuadrados distintos (conocido como conjetura de Lusin) estaba aún sin resolver. Se conocían entonces los llamados rectángulos perfectamente cuadrados o «rectángulos perfectos», que son aquellos que se pueden dividir en cuadrados distintos, como el —casi cuadrado— de dimensiones 33 x 32 que se puede descomponer en nueve cuadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 y 18, descubierto por el matemático polaco Zbigniew Moron en 1925. Él mismo probó que es imposible construir un rectángulo perfecto con menos de nueve cuadrados. Más adelante, el propio Stone consiguió una disección del rectángulo de dimensiones 177 x 176 en once cuadrados diferentes.

A la derecha, el cuadrado de Moron. A la izquierda, el de Stone

Ya en 1902, el matemático autodidacta y famoso creador de rompecabezas Henry Dudeney había publicado en la revista «The London Magazine» un puzle titulado “Lady Isabel’s Casket”, en el que proponía dividir un cuadrado de dimensiones 20 x 20 en varios cuadrados de distinto tamaño y un rectángulo estrechito de dimensiones 10 x 0,25. Recientemente se ha descubierto que la solución dada por Dudeney no es única.

Única solución del problema de Dudeney

Después de ingresar al Trinity College en 1935, y con las palabras de Dean resonando en su cabeza, Arthur Stone compartió el problema con sus recién estrenados colegas, los estudiantes de Matemáticas Leonard Brooks y Cedric Smith y el chico de Químicas, William Tutte, más tarde autoproclamados 'Important Members' de la asociación de estudiantes ' The Trinity Mathematical Society'. Durante el periodo 1936-1938 trabajaron en la conjetura, a la que Tutte bautizó irónicamente como la cuadratura del cuadrado, y lograron resolver el problema. ¿Cómo? Resultó cierto lo que parecía imposible: sí existen cuadrados que se pueden dividir en cuadrados más pequeños, todos ellos de distinto tamaño. No hay mejor demostración que encontrar una solución, y los cuatro amigos encontraron un cuadrado que se podía descomponer en 69 cuadrados diferentes.

Poco duró su alegría, pues pronto se enteraron de que el matemático alemán Ronald Sprague se les había adelantado al lograr descomponer un cuadrado de lado 4205 en otros 55 cuadrados diferentes, con ayuda de los rectángulos de Moron.

Cuadrado de Sprague

Ahora bien, a nuestros protagonistas se debe el estudio sistemático del problema, al reinterpretarlo en términos de circuitos eléctricos con resistencias variables (que llamaron diagramas de Smith), con lo que pudieron simplificar la búsqueda y lograr otras soluciones más pequeñas. De hecho, en 1940, los llamados 'Cuatro de Trinity' encontraron una solución considerablemente mejor: un cuadrado de lado 608 descompuesto en 26 cuadrados diferentes, gracias a esta preciosidad de fórmula:

Cuadrado de Brooks, Smith, Stone y Tutte (formado por otros 26 cuadrados)

En ese trabajo, estudiaron también el problema de 'triangularizar triángulos', es decir, descomponer un triángulo cualquiera en triángulos distintos pero todos equiláteros, utilizando la misma teoría de circuitos eléctricos asociados. No dan ninguna solución general pero indican que no existe ninguna descomposición de un triángulo equilátero en triángulos equiláteros distintos. Incluso se atreven con el problema tridimensional, de descomposición de un cubo en cubos distintos, pero lo finiquitan demostrando que no existe tal 'cubo perfecto'.

Como se puede suponer, una vez desechada la conjetura de Lusin y con la incursión de la Informática, la búsqueda de mejores soluciones no se haría esperar. Ahora se sabe que el número más pequeño de cuadrados distintos que, a su vez, forman un cuadrado es 21 y ese conjunto es único. A partir de ese valor, aumenta el número de soluciones: 8, 12, 26, 160, … para descomposiciones en 22, 23, 24, 25, … cuadrados diferentes, respectivamente. En la monumental 'Enciclopedia de Sucesiones de Números Enteros' se incluye la sucesión A006983 que muestra las soluciones conocidas hasta el momento. Queda lejos una fórmula general que recoja todos los casos.

Como homenaje a nuestros cuatro protagonistas, el logo oficial de la 'Trinity Mathematical Society' consiste en la solución más pequeña del problema de la cuadratura del cuadrado, descubierto por el informático holandés Adrianus Duijvestijn con ayuda de un ordenador en 1978. Se trata de un cuadrado de lado 112 descompuesto en 21 cuadrados diferentes. Además, es simple en el sentido de que no es posible formar un rectángulo con un conjunto más pequeño de estos cuadrados. El artista R.R.G. Rivington fabricó una mesa cuadrada cuyo diseño estaba inspirado en la descomposición que nuestros cuatro protagonistas lograron de un cuadrado de lado 608 en 26 cuadrados distintos.

A la izquierda, logo de la “Trinity Mathematical Society” y a la derecha Cuadratura de Duijvestijn

Mesa del Trinity College, realizada por R.R.G. Rivington en 1982

Antes de que la vida condujera a los cuatro de Trinity por diferentes caminos plagados de éxitos profesionales, continuaron estudiando problemas matemáticos en común —lograron, por ejemplo, dividir un cuadrado en rectángulos de la misma área pero diferentes dimensiones y en triángulos rectángulos de diferente área— y publicaron algunos de sus resultados con el sobrenombre de Blanche Descartes pero … esta es otra historia.

Pedro Alegría es profesor de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea y miembro de la comisión de divulgación de la RSME.

El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)