Fermat (La construcción de Fermat de la tangente a la Elipse)
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Escrito por Pedro Miguel González Urbaneja   

La construcción de Fermat  de la tangente a la Elipse

Este método [de máximos y mínimos y tangentes] nunca falla, y puede ser aplicado a un gran número de cuestiones muy hermosas.
Pierre de Fermat. OEUVRES DE FERMAT  (TH.OF.III.123).

Las memorias de Fermat  sobre máximos y mínimos y tangentes, establecen los derechos indiscutibles de este gran geómetra francés en la invención del Cálculo Diferencial.
E.Brassinne. Précis des Oeuvres mathématiques de P.Fermat. Toulouse, 1853, pág.4.

Fermat
1. Fermat por R. Lefevre. Museo de Arte y Cerámica de Narbonne.
2. Edición de Samuel de Fermat de VARIA OPERA MATHEMATICA de D. PETRI DE FERMAT. Toulouse, 1679.

Catorce años después de la muerte de su padre, habiendo reunido algunos originales y copias de los escritos latinos y de cartas inéditas, Samuel Fermat hizo imprimir en 1979 Varia Opera Matemática, que a pesar de lagunas e incorrecciones –Samuel no era matemático–, constituyó hasta finales del siglo XIX (se reimprimió en 1861) una de las pocas publicaciones donde se podían estudiar las investigaciones de Fermat.

Fermat es uno de los principales artífices de la inflexión radical que presenta la Matemática del siglo XVII respecto a la clásica griega. En los trabajos matemáticos de Fermat el afán demostrativo euclídeo da paso a la heurística de la creatividad y el descubrimiento. Si importantes son los descubrimientos matemáticos de Fermat, no es inferior su relevancia histórica en el plano metodológico. Lo que  importa para Fermat es la obtención de métodos que permitan resolver de forma directa y operativa los problemas y escribirlos formalmente siguiendo la línea de la propia investigación geométrica, es decir, métodos que al describir el proceso inventivo enseñen a descubrir y rompan la clásica dualidad helénica invención-demostración – «ars inveniendi» versus «ars disserendi»– que tiene lugar en dos estadios de tiempo y espacio diferentes. Con ello, Fermat es capaz de fundir, en un solo acto matemático, el descubrimiento y la demostración.

Los diversos trabajos de Fermat sobre máximos y mínimos y tangentes están saturados de múltiples intuiciones y valiosos argumentos e ideas directrices para reconocer la razón que asistía a los grandes matemáticos franceses: Legendre, Laplace y Cauchy –pero también a Newton, como se ha sabido mucho después por estudios recientes y hallazgos en la correspondencia del sabio inglés–  cuando aclamaban a Fermat como el primigenio artífice del Cálculo Diferencial.

La tangente a la Elipse  (TH.OF.III.129–130)

Fermat deriva de sus métodos de máximos y mínimos un procedimiento para construir las tangentes a las curvas algebraicas 1.

Fermat estudia la tangente a la elipse en la segunda parte de la memoria Ad eamdem methodum ad disquirendam maximan et miniman, (TH.OF.III.126–130) como una nueva aplicación de su método de “adigualdad”. Esta memoria, escrita en la primavera de 1638, fue compuesta probablemente para explicar el Methodus a Mydorgue, Desargues y otros matemáticos del círculo de Mersenne, cuando Descartes les pidió que actuaran como árbitros en su controversia con Fermat. En una forma conceptual y estilística calcada del Methodus, puramente algorítmica y despro­vista de todo fundamento demostrativo, Fermat ilustra su método, aplicándolo a una serie de ejemplos, entre los que destaca la resolución del famoso problema de Pappus (Proposición VII.61, de La Colección Matemática), probable fuente de inspiración para Fermat de sus métodos de extremos y tangentes.

Como en el caso de la parábola, en el trazado de la tangente a la elipse, Fermat manifiesta que aplica su método de máximos y mínimos  (TH.OF.III.129):

«[...]. Para aplicar también este método a las tangentes, puedo proceder como sigue. Sea, por ejemplo la elipse [...]».

 GráficaFermat considera la elipse ZDN de eje ZN y centro R, y se plantea trazar la tangente en un punto D de la misma. Sea ésta DM, que interseca al eje en el punto M. Tracemos la ordenada DO desde el punto D y pongamos, en notaciones algebraicas, OZ=b, ON=g. Hemos de determinar el segmento subtangente, OM=a.

Fermat toma, a continuación, un punto V cualquiera comprendido entre O y N:

«[...]. Puesto que DM es tangente a la elipse, si por un punto V, tomado ad libitum entre O y N, [...]»,

y traza la ordenada IEV, paralela a DO, que corta a la tangente DM en el punto I, y a la elipse en el punto E.

Aplicando para la elipse, la propiedad de generación de las cónicas, en forma de proporción (Las Cónicas de Apolonio I.13), Fermat obtiene:

Ecuación.

De la semejanza de triángulos rectángulos DOM, IVM (Euclides, VI.4), resulta:  DO/IV = OM/VM.

Siendo DM tangente a la elipse, todos sus puntos excepto D, son exteriores a la elipse, por tanto IV>EV, lo que combinado con las igualdades anteriores permite escribir:

Ecuación.

Llamando OV=e, los segmentos ZV, VN y VM serán:  ZV=b+e,  VN=g–e,  VM=a–e  ,
y la última desigualdad se expresará:

Ecuación.

Por consiguiente, se tiene:  b·g·(a–e)2 > a2·(b+e)·(g–e) .

Ahora Fermat introduce la «adigualdad» (TH.OF.III.130):

«[...] Es preciso por tanto, según mi método, comparar poradigualdad”, estos productos, eliminar lo que es común y dividir lo que queda por e».

Es decir, Fermat escribe: b·g·(a–e)2  aproximadamente igual  a2·(b+e)·(g–e) ,
que desarrollado es: bga2 + bge2 –2bgae aproximadamente igual  bga2 –bea2 + gea2 –a2e2.
Al eliminar términos comunes resulta: bge – 2bga aproximadamente igual  –ba2 + ga2 – a2e .
Suprimiendo términos donde todavía aparece la e se obtiene:  –2bga aproximadamente igual  –ba2 + ga2.
Fermat alcanza, por fin, la solución. Aludiendo a la última adigualdad, escribe:
« [...] miembros que es preciso igualar, según el método. Trasponiendo como conviene; se tendrá: 
ba–ga = 2bg».
Es decir, según el resultado de Fermat, el segmento de subtangente a, sería igual a:  a = 2bg/(b–g) .
A continuación Fermat, para confirmar la validez de su solución, la compara con la solución de Apolonio (Las Cónicas, II.49):

«[...]. Se ve que esta solución es la misma que la de Apolonio, pues según mi construcción, para encontrar la tangente, es preciso hacer:

Ecuación,

mientras que según la de Apolonio, es preciso hacer:

Ecuación

y está claro que estas dos construcciones conducen a lo mismo».

Efectivamente, los resultados de Fermat y de Apolonio son equivalentes, como se puede comprobar fácilmente. En efecto:

Ecuación

de donde se deduce:

Ecuación

Fermat termina diciendo  (TH.OF.III.130):

«Podría añadir otros numerosos ejemplos, tanto del primer caso de mi método como del segundo, pero los descritos son suficientes y prueban de sobra que el método es general y no falla jamás.
No añado la demostración de la regla, ni las numerosas aplicaciones que podrían confirmar su alto valor, como la invención de los centros de gravedad y de las asíntotas, de lo cual he enviado un ejemplo al sabio M. de Roberval».

 GráficaApliquemos el resultado de Fermat, en términos actuales, a la obtención de la ecuación de la tangente a la elipse de semiejes α, β:
Ecuación
en el punto D de coordenadas D=(x0,y0).
Se tendrá: b = α + x0 ,  g = β – x0 ,
y si m es la pendiente de la recta tangente en el punto D, se obtiene:

Ecuación

de donde resulta para la ecuación de la tangente en D:

Ecuación

Al hacer operaciones resulta:

Ecuación

Ecuación habitual de la tangente a la elipse.

Aquí debemos reiterar las observaciones que ya indicamos en el caso de la tangente a la parábola, en cuanto a que, de forma muy ocurrente, Fermat busca y encuentra simplemente la longitud de la subtangente, pero todavía no atiende al ángulo determinado por el eje y la tangente, es decir la pendiente de la recta tangente. Fermat tampoco deja claro qué cantidad extrema se somete al método de máximos y mínimos en el trazado de una tangente. Y sobre todo, aunque la regla funciona a la perfección, queda en el aire su valor demostrativo. El propio Fermat señala su despreocupación respecto de este asunto, cuando escribe al final de la construcción  (TH.OF.III.129):«No añado la demostración de la regla».

Con su original forma de investigar y trabajar en Matemáticas, Fermat dejaba perplejos a sus contemporáneos y ha confundido a muchos historiadores sobre el presunto carácter de sus descubrimientos como antecedentes del Cálculo Diferencial moderno. Fermat casi nunca llega en una demostración hasta el fondo apodíctico; se conforma con indicar, de forma muy concisa, el principio y la marcha general del proceso; como mucho da unas indicaciones que dejan a la sagacidad de sus lectores el cuidado por los detalles y los casos particulares, así como la discusión de los problemas que ha introducido y que ha resuelto. La razón de esto estriba en que lo que le mueve y apasiona a Fermat es el propio planteamiento y resolución de los problemas matemáticos, dejando para mejor ocasión –si es que se presenta la oportunidad– su total justificación.

No es extraño que esta actuación de Fermat colmara en más de una ocasión la paciencia y frustrara las expectativas de sus corresponsales matemáticos; y sobre todo que propiciara polémicas como la mantenida con gran acritud con Descartes a través del padre Mersenne como intermediario. A lo largo de esta fructífera controversia Fermat realiza denodados esfuerzos para aclarar la cuestión de justificar definitivamente la aplicación de su método de tangentes y sobre todo el asunto crucial de por qué afirma una y otra vez, de forma vehemente, que el método de tangentes deriva de su método de máximos y mínimos. En el clímax de su controversia con Descartes, Fermat va refinando el algoritmo de su método original, y consigue justificarlo mediante la aplicación del método a la construcción de la recta normal mediante la búsqueda de un mínimo, al encontrar el punto del diámetro que unido al punto de tangencia nos proporciona la mínima distancia a la tangente. Con ello Fermat consigue, por fin, explicar el vínculo jerárquico entre el método de extremos y el de tangentes y  demuestra claramente que éste deriva exclusivamente de aquél.

El éxito indudable y manifiesto en la aplicación de los métodos de tangentes de Fermat a curvas cada vez más complejas, y en particular al Folium de Descartes, propuesta por el filósofo y matemático francés, confirma a su artífice que está en el buen camino. Pero ya que el método sólo se aplica todavía a las curvas algebraicas –en las que se conoce la ecuación implícita–, Fermat introduce un principio que ya tiene un significado infinitesimal, y que consiste en asimilar el arco de curva al segmento de tangente, mediante el que consigue construir la tangente de una gran cantidad de curvas complejas, unas algebraicas como la cisoide y la concoide, y otras  trascendentes –llamadas mecánicas en la época de Fermat y Descartes– como la cuadratriz y la curva más famosa del momento, la cicloide.

En sucesivas memorias en las que Fermat realiza la construcción de las tangentes de las curvas mencionadas, se nota que una nueva metodología geométrica-algebraica interviene en el planteamiento, resolución y justificación de los problemas planteados. Unas novísimas herramientas se han introducido en el panorama matemático, las de La Geometría de Descartes y las de la propia Geometría Analítica de Fermat de La Introducción a los Lugares Planos y Sólidos. Con ellas, Fermat resuelve de forma brillante las dificultades e insuficiencias de los métodos anteriores e inicia en su pensamiento matemático el tránsito hacia "lo aproximadamente igual" en la senda de lo infinitesimal. De aquí a la creación del Cálculo Diferencial de primer orden tan sólo  falta el enunciado explícito de un algoritmo de cálculo. Este algoritmo será creado, entre otros, por Huygens y Barrow, y sobre todo por Newton y Leibniz. Pero todos ellos son tributarios de los métodos de Fermat de máximos y mínimos y de tangentes, que actuaron como antecedente necesario.

Nota:
1 En el artículo "La tangente a la Parábola en el Methodus de Fermat" habíamos desarrollado la aplicación del  método de máximos y mínimos de Fermat a un procedimiento para construir las tangentes. En concreto allí se estudiaba la tangente a la Parábola en la primera memoria de Fermat sobre máximos y mínimos, el Methodus. En particular, también se describía, al principio, el propio método de máximos y mínimos de Fermat, del que el geómetra francés asegura que deriva su método de tangentes. Aquí vamos a ver la aplicación del mismo método de máximos y mínimos de Fermat al trazado de la tangente a la Elipse.

 
Bibliografía

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    Referencias on line

  28. ALARCÓN, S.A y otros.: El Método de tangentes de Fermat.

 
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