94. EL CUADRADO EXTERIOR
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Dibujamos un paralelogramo cualquiera y sobre cada lado del paralelogramo construimos un cuadrado (hacia el exterior del paralelogramo y de manera que el lado del cuadrado sea el lado respectivo del paralelogramo). Demostrar que los centros de los cuatro cuadrados son los vértices de otro cuadrado.

Supongamos que el paralelogramo tiene vértices A, B, C y D



Si denominamos P, Q y R los centros de los cuadrados con bases DA, AB y BC, respectivamente. Por simetría de la figura bastará probar que PQ = QR. y que estos dos segmentos forman un ángulo recto.

Si denominamos a al ángulo DAB. Tenemos que a y el ángulo ABC suman 180 grados. Además si nos damos cuenta en el vértice B confluyen cuatro ángulos, dos de ellos son rectos( de 90 grados), de lo que se deduce que el águlo exterior a B (formado por los lados de los cuadrados) es igual a a.

Por otro lado, como AD = BC, entonces AP = BR. También tenemos que AQ = QB y que PAQ = 45 grados + a+ 45 grados = BQR. Por tanto los triángulos APQ y BRQ son congruentes, luego PQ = QR. Y como además AQP = BQR, por lo que PQR = AQB = 90 grados , Así acabamos la demostración..

 
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