68. LAS VACAS DE NEWTON
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Sabemos que hay un conjunto de vacas en un prado donde la hierba es uniforme en todas las direcciones y además crece a velocidad constante.

Si A vacas comen en B días la hierba de C áreas y la hierba que ha crecido en estas C áreas durante esos B días.

Mientras que D vacas comen en E días la hierba de F áreas y la hierba que ha crecido en esas F áreas duranter esos E días.

¿ En cuántos días comerán G vacas la hierba de H áreas y la hierba que ha crecido durante esos días en esas H áreas?.



Llamando X al número de días buscado, P a la cantidad inicial de hierba por área y Q a la cantidad de hierba que crece por día en cada área.

La cantidad de hierba que come una vaca por día puede expresarse de tres maneras distintas:

(P.C+Q.C.B)/(A.B) = (P.F+Q.F.E)/(D.E) = (P.H+Q.X.H)/(G.X)

De dónde dividiendo por P, se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas , una de ellas es ( Q/P) , y la otra X que permiten calcular X.

 

En el famoso libro: Algebra recreativa de Y. Perelman, podemos encontrar un problema semejante:

La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días, y 30, en 60 días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días?".

Para resolver el problema, Perelman razonaba del siguiente modo :Introduzcamos también aquí una segunda incógnita, que representará el crecimiento diario de la hierba, expresado en partes de las reservas de la misma en el prado. En una jornada hay un crecimiento de y ; en 24 días será 24 y . Si tomamos todo el pasto como 1, entonces, en 24 días las vacas se comerán


1 + 24 y

En una jornada las 70 vacas comerán


(1 + 24 y ) / 24

y una vaca (de las 70) comerá


(1 + 24 y ) / (24 * 70)

Siguiendo el mismo razonamiento: si 30 vacas acaban con toda la hierba del prado en 60 días, una vaca comerá en un día


1 + 60 y / (30 * 60)

Pero la cantidad de hierba comida por una vaca en un solo día es igual para los dos rebaños. Por eso


(1 + 24 y ) / (24 * 70) = (1 + 60 y ) / (30 * 60)

de donde


y = 1 / 480

Cuando se halla y (medida de crecimiento) es ya fácil determinar qué parte de la reserva inicial se come una vaca al día


(1 + 24 y ) / (24 * 70) = (1 + 24 / 480) / (24 * 70) = 1 / 1600

Por último establecemos la ecuación para la solución definitiva del problema: si el número de vacas es x , entonces,


{1 + (96 / 480)} / 96 x = 1600

de donde x = 20
20 vacas se comerían toda la hierba en 96 días.

 
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