62. LA COMPETICIÓN
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62. LA COMPETICIÓN |
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Tres deportistas disputan entre sí una serie de pruebas atléticas, hasta que alguno de los participantes obtenga 3 triunfos. Se dará entonces por finalizada la competición y se lo declarará ganador. ¿Cuál es el número más probable de pruebas a realizarse? Evidentemente deberán realizarse por lo menos 3 pruebas y a lo sumo 7.Habrá que calcular entonces la probabilidad de que la prueba se decida en x pruebas para cada valor de x entre 3 y 7. Para posteriormente ver cuál es valor mayor. El caso x =3 es el más sencillo de todos. La única posibilidad es que alguno de los participantes gane sucesivamente las tres. Puesto que la probabilidad de ganar cada prueba es 1/3 y el atleta que puede ganar es cualquiera de los tres, resulta que la probabilidad de que la competencia se decida en el tercer evento es 3.(1/3)(1/3)(1/3)= 1/9. En los restantes casos el estudio es algo más difícil. Resolveremos con detalle el caso x =5. Se presentan dos subcasos, a saber: 1) Un participante (A) gana tres pruebas y otro (B) gana las dos restantes. El número de situaciones posibles para la elección de ambos atletas es entonces 6, ya que hay 3 formas de elegir A y dos de elegir B. Debemos ahora analizar las posibles secuencias en que se obtienen los triunfos. Es claro que la última prueba debe ganarla A. En cuanto a las cuatro primeras, dos gana A y otras dos B, en cualquier orden. Deberemos considerar entonces las permutaciones con repetición de los 4 símbolos AABB, cuyo número total es 6. Tenemos entonces 6x6 = 36 posibles formas. 2)Un participante (A) gana tres pruebas y los dos restantes (B y C) una cada una. Aquí la elección de los atletas se puede hacer de 3 maneras, pues sólo hay que elegir A. En cuanto a las posibles secuencias, nuevamente la última prueba debe ganarla A, y para las cuatro primeras debemos considerar todas las ordenaciones de los símbolos AABC, cuyo número total es 12. Tenemos entonces 3x12 = 36 posibles formas. Luego hay 36+36 = 72 formas de que la prueba se decida en 5 pruebas, ya que los casos 1 y 2 son mutuamente excluyentes. En consecuencia (teniendo en cuenta que cada prueba es independiente de la anterior), la probabilidad de este suceso es 72.(1/3). (1/3).( 1/3).( 1/3).(1/3)=8/27 . Argumentando en forma similar, resulta que los respectivos valores de la probabilidad para los sucesivos valores de x son 1/9, 2/9, 8/27, 20/81 y 10/81, siendo 8/27 el mayor de ellos . En definitiva, el número de pruebas más probable a realizarse es 5. Este problema se propuso en el V Certamen el Número de Oro.( 1997). Argentina |