59. ENCONTRAR PRIMOS

Determinar todos los naturales, p primos, tales que:

Para resolver este problema son necesarios unos mínimos conocimientos relaccionados con la teoría de números, en particular se aplica el pequeño teorema de Fermat.

Pierre de Fermat descubrió su pequeño teorema alrededor de 1636. Aparece en una de sus cartas a su confidente Frénicle de Bessy fechada el 18 de octubre de 1640 con el siguiente texto: p divide a cuando p sea primo y a sea coprimo con p.

Unos dos mil años antes de que naciera Fermat, matemáticos chinos ya conocían un resultado particular del pequeño teorema de Fermat, decía: p es primo si y sólo si mod p.

Es verdad que, si p es primo, entonces mod p (éste es un caso especial del pequeño teorema de Fermat), pero el recíproco mod p, entonces p es primo) no lo es, por lo que la hipótesis es falsa. Este resultado se conoce como la hipótesis china.

El pequeño teorema de Fermat se puede generalizar mediante el teorema de Euler: para cualquier módulo n y cualquier entero a coprimo con n, se tiene:

donde φ(n) es la función fi de Euler, que cuenta el número de enteros entre 1 y n coprimos con n. Evidentemente es una generalización del primer resultado de Fermat, ya que si n = p es un número primo, entonces φ(p) = p - 1

De acuerdo estos resultados y volviendo al problema podemos expresar, de acuerdo al pequeño teorema de Fermat, que:

y de acuerdo a la hipótesis del problema ,por tanto Así pues p divide a 3 , por tanto únicamente pueden ser p=1 o p=3. Si nos atenemos a la hipótesis del problema la única solución posible es p=3

Volver