ACERCÁNDONOS AL PROBLEMA DE APOLONIO

a) Dibujar una circunferencia tangente a tres rectas dadas
b) Dibujar una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una recta dada.
c) Investigar el problema de Apolonio.

Este es uno de los grandes problemas de la historia de las matemáticas. Propuesto por el célebre matemático griego Apolonio y resuelto por el geómetra Jakob Steiner (1796-1863). Pero vamos por pasos:( el desarrollo está basado en el desarrollo realizado por el profesor Francisco Javier García Capitán)

1)Trazar una circunferencia que sea tangente a tres rectas dadas.

Supongamos en primer lugar que las tres rectas dadas se cortan dos a dos formando un triángulo. Entonces hay cuatro circunferencias como solución al problema: tres de las cuales son exteriores y una es interior. Para obtenerlas, basta hallar las bisectrices interiores e interiores de los ángulos del triángulo, el centro de cada circunferencia corresponde con las intersecciones de estas rectas.

En el caso de que dos de las rectas dadas sean paralelas y la tercera sea secante a ambas, se obtienen dos soluciones. El procedimiento es muy simple: trazamos la paralela media a las dos rectas paralelas dadas y hallamos la intersección de esta paralela con las bisectrices de los ángulos formados con la recta secante(como muestra el dibujo),

2) Dados dos puntos y una recta, hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.

a) Si los dos puntos dados A y B están en una recta paralela a la recta dada, el punto de tangencia con la recta se obtendrá al cortar con la mediatriz del segmento AB. Ahora sólo se trata de hallar la circunferencia que pasa por tres puntos:

b) Otra posibilidad es que, siendo los puntos exteriores a la recta dada, estén ambos en el mismo lado y no estén en una paralela a dicha recta:

Unimos los puntos A y B dados y prolongamos hasta cortar a la recta dada en M. Trazamos la circunferencia con diámetro AB, y seguidamente una tangente a ésta desde M. Siendo T el punto de tangencia, con centro M y radio MT trazamos una semicircunferencia que corta a la recta dada en dos puntos P y Q. Por estos puntos pasan las circunferencias buscadas, habiendo entonces en este caso dos soluciones.

Por último, consideremos el caso en el que uno de los dos puntos, digamos B, está en la recta dada.

Para obtener el centro de la única circunferencia posible, hallamos la intersección de la mediatriz del segmento AB con la perpendicular a la recta dada trazada por B.

Volver