Veamos dos soluciones, la primera debida P. Crespo y la segunda tal como la redactó Matin Gardner  en la revista Scientific Amarecican

Primera Solución

  Si representaremos por (a, b) la pareja de números y por S y P su suma y su producto, respectivamente. Tras la primera llamada de S, el matemático P se dio cuenta de que la suma S no podía resultar de una pareja de números primos.
Para empezar, esto elimina todos los números  pares, ya que, dado que la conjetura de Goldbach (todo número par mayor que 2 puede obtenerse como suma de dos números primos) está comprobada hasta números muy altos, está claro que se cumple para los pares hasta el valor 40. Pero, teniendo en cuenta que 2 es primo, se puede afirmar también que la suma S no puede provenir de sumar 2 con un número primo, lo que significa que se pueden descartar los valores de s tales que (S – 2) sea primo. La consecuencia es que los únicos valores posibles de la suma s son los de la lista

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37

Aunque no es imprescindible, conviene descomponer cada uno de los valores anteriores en sus parejas (a, b) posibles, obteniendo el correspondiente producto P. Ahorraremos el esfuerzo al lector. En primer lugar, dejemos claro que el problema no podrá resolverse si se da una de las circunstancias siguientes:

1)     Se crea una ambigüedad para P, es decir que P se encuentra con que su producto p puede dar lugar a más de una pareja (a, b) cuya suma s pertenezca a la lista anterior.

2)     Se crea una ambigüedad para S, es decir que, una vez que P ha informado a S que conoce su suma, S se da cuenta de que dicha suma s puede provenir de más de una pareja con distinto producto, sin que ello haya representado mayor dificultad para P.

Dicho esto (cosa que explícitamente no aclara Gardner), ya podemos proceder.

A)    ¿Puede ser la suma s igual a 11? No, puesto que los productos 18 = 2 × 9, 24 = 3 × 8 y 28 = 4 × 7 definen unívocamente a la pareja para P, creando una ambigüedad para S. Nótese que en los tres casos la suma s es 11.

B)    ¿Puede ser la suma s igual a 23? No, porque S no podría decidir entre las parejas (4, 19) y (7, 16) cuyos productos son distintos. Aunque no es necesario, digamos que un producto como 42, que responde a la pareja (2, 21) de suma 23, también puede provenir de (3, 14) de suma 17, lo que ya hubiera creado a P un problema de ambigüedad.

De modo análogo podemos descartar las sumas

C)   27, que puede resultar de las parejas (7, 20), (8, 19), (9, 18), (10, 17), etc., con productos distintos.

D)   29, posible resultado de (10, 19), (11, 18), etc.

E)    35, porque puede provenir de (15, 20), (16, 19), (17, 18), etc.

F)    37, pues podría resultar de (17, 20), (18, 19), etc.

Queda examinar el caso s = 17. Hay siete parejas posibles:

a)     (2,15). Su producto 30, sin embargo, responde también a la pareja (5, 6) de suma 11, lo que representaría una ambigüedad para P.

b)     (3, 14). El producto 42 también puede provenir de la pareja (2, 21) de suma 23, con el consiguiente bloqueo de P.

c)     (5, 12) (dejamos deliberadamente para el final la consideración de la pareja (4, 13) porque corresponde a la solución). En este caso, el producto 60 puede resultar de (3, 20), de suma 23, una de las de la lista de sumas válidas, lo que representaría una ambigüedad para P.

d)     (6, 11). El producto 66 puede interpretarse como resultado de (2, 33) de suma 35, y P no hubiera podido asegurar nada.

e)     (7, 10). El producto 70 pudiera resultar también de (2, 35) de suma 37, con análogo problema para P.

f)      (8, 9), cuyo producto 72 puede venir de (3, 24) de suma 27, otra ambigüedad para P.

g)     Finalmente nos queda la pareja (4, 13). En este caso, el producto 52 únicamente puede provenir de la pareja (2, 26) de suma 28, que no figura entre las válidas. Esto permite a P conocer la pareja y por ende la suma s, y el conocimiento de este detalle, a su vez, es lo que hace que S pueda obtener también la solución.

Segunda solución ( esquema)

La solución del problema es la siguiente: los números son 4 y 13. Aquí exponemos un esquema de la solución. Cuando el matemático S dice que “ no veía como P iba a determinar su suma”. P se dio cuenta que tal suma no podía ser de dos números primos. Hay una famosa conjetura de teoría de números, conocida como la conjetura de Goldbach, que afirma que todo número par es suma de dos números primos. De acuerdo a dicha conjetura (aún no probada) podemos eliminar todas las sumas pares del intervalo de 4 a 40. Además como el número 2 es un número primo también podemos eliminar todas las sumas impares que sean número primo más 2. Por tanto nos quedan únicamente siete sumas válidas: 11, 17, 23, 27, 29, 35 y 37.

Ansalizando cada una de las posibilidades llegaremos a la solución. La suma no puede ser igual a 11, ya que si P fuese 24, P sabría que los números son 3 y 8 ( únicos con suma 11 y producto 24). Si el producto fuese 28 también sabría que los números son 4 y 7. Pero entonces S no podría decir, como acaba diciendo, que conoce el producto de P, pues no tiene forma de decidir entre los productos 24 y 28. En consecuencia , la posible suma 11 es rechazada. Igualmente se razona con las otras posibilidades, veamos algunos casos: ¿ podrá ser la suma igual a 23?.No, ya que S, es incapaz de decidir entre 16+7 y 4+19( ambos suman 23) no sabría si el producto es 112 o 76.La posibilidad de suma 17 es algo más complicada . Hay siete opciones : 2+15 ( P=30), en este caso su producto podría ser interpretado como resultado de 5x6 ( S=11), en este caso P no podría decidir cuál de las sumas es correcta, si 17 o si 11.Otra posibilidad es 5+12( P= 60), pero como 3x20 también da 60 , daría otra posible suma de 23..... Así llegamos a los única opción 4+13 , el producto es igual a 52, que tiene solamente otro par de factores, 2x26 que suman 28, valor no válido para la suma. Por tanto la suma de dichos números ha de ser igual a 17 y el producto 52. Luego los números son 4 y 13.