Apoyándote en los dibujos correspondientes (Al igual que el ejercicio anterior( 143) )

 ¿ Sabrías obtener las siguientes sumas infinitas?

a) S = 1/3+1/9+1/27+....+1/3ⁿ

b)  S= 1+2+3+4+....+n

c) S=1/4+1/16+1/64 +....+ 1/4ⁿ

a) Si nos damos cuenta en el dibujo, el pequeño triángulo rectángulo  que está situado en el vértice inferior  derecho ( en verde) es equivalente al triángulo rectángulo  situado en el vértice superior izquierda( en gris). Lo demás está suficientemente claro, por tanto tenemos que la suma pedida es igual a:

                                           1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... = 1/2

b)   Si en el dibujo completamos los huecos por puntos, siguiendo la misma pauta inicial, nos encontramos con un rectángulo de n(n+1) puntos en total, luego el valor pedido es la mitad de este valor, esto es : 

                                          1 + 2 + 3 + ... + n = n .(n+1)/ 2

c)   Si observamos, en el primer paso al dibujar  1/4 ( en verde)  también dibujamos dos cuadrados del mismo tamaño pero en gris, situados a su derecha y en la parte superior respectivamente.  Al  dibujar  1/ 16 ( en verde)  también dibujamos dos cuadrados del mismo tamaño pero en gris,......... por tanto  podemos poner que :

                                        1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3