89. EL CAMINO DE LA HORMIGA
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89. EL CAMINO DE LA HORMIGA |
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Una hormiga camina por el borde de un plato de 8 lados
iguales como el de la figura.
 Cada lado del plato mide 14 cm. La hormiga sale del vértice A y camina en el sentido que indica la flecha, siempre por el borde del plato. Hace la primera parada, antes de llegar a B, a 6 cm del vértice A y después, cada 6 cm hace una parada. En total hace 2000 paradas. a) ¿Cuántas veces para en el vértice A?. b) ¿En qué otros vértices hace la misma cantidad de paradas que en A?. a) Para dar una vuelta completa y pasar por A ha debido recorrer 112 cms. Los puntos de parada son múltiplos de 6. Así pues, la primera vez que para en A se producirá en el mínimo común múltiplo de 6 y 112, esto es en 336. Es decir, la primera parada en A se produce a la 3ª vuelta y después de 56 paradas. Por tanto el nº de veces que parará en A: Ent(2000/56) = 35 paradas b) Para llegar a B ha debido recorrer 14 + 112n , siendo n el nº de vueltas dadas. El menor valor de n que da un múltiplo de 6 es n= 1. Lo que nos dice que la hormiga se detiene en B en la 2ª vuelta y después de haber realizado 21 paradas. A partir de aquí el problema se reduce al apartado a): la hormiga volverá a parar en B al cabo de otras 3 vueltas y después de 56 paradas. Por tanto, el nº de veces que para en B será: 1 + Ent((2000-21)/56) = 36 paradas. Para llegar a C ha debido recorrer 28 + 112n , siendo el nº de vueltas dadas. El menor valor de n que da un múltiplo de 6 es n=2. Lo que nos dice que la hormiga se detiene en C en la 3ª vuelta y después de haber realizado 42 paradas A partir de aquí el problema se reduce al apartado a): la hormiga volverá a parar en C al cabo de otras 3 vueltas y después de 56 paradas. Por tanto, el nº de veces que para en C será: 1 + Ent((2000-42)/56) = 35 paradas. Con un razonamiento análogo se llega a que en los punto A, C y F realiza 35 paradas |