81. EL MÚLTIPLO DE TRES
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Probar que dados cinco números cualesquiera, siempre es posible elegir tres de ellos cuya suma es múltiplo de tres

En primer lugar, podemos clasificar a los números naturales en tres grupos: múltiplos de 3, (múltiplos de 3)+1, y (múltiplos de 3) +2. Lo que quiere decir que al dividir entre tres, lo que obtenemos de resto es 0, 1 y 2 respectivamente.

A partir a ahora trabajaremos con los restos simplemente, y denotaremos a los números como pertenecientes a la clase 0, a la clase 1 o a la clase 2.

También es importante recordar la aritmética particular que existe con las clases de resto. Por ejemplo, si sumamos dos clases 2, obtenemos una clase 4, que es la clase 1 . Por tanto la suma de clases da como resultado un número perteneciente o al grupo 1, al grupo 2 o al grupo 3. Ahora pasamos a estudiar los casos posibles:

A) Si entre los cinco elementos hay tres o más iguales, la propiedad se demuestra de una manera obvia.

A1) Si los tres son clase 0, su suma también lo es, y por tanto son múltiplo de 3, como lo demuestran las situaciones siguientes:

A2) Si los tres son clase 1, su suma es clase 3, es decir, clase 0, por tanto, múltiplo de 3.

A3) Si los tres son clase 2, su suma es clase 6, es decir, clase 0, por tanto, múltiplo de 3.

B) Además es claro que como mínimo habrá dos elementos iguales en el conjunto de 5, pues aunque haya tres distintos, alguno de los otros dos pertenecerá a uno de los tres conjuntos, por tanto, hay dos elementos de la misma clase juntos (Basado en el principio del palomar):

B1) Si los elementos son clase 0: Entre los otros 3 suponemos que no hay ningun 0 (pues llegaríamos al caso de que 3 son iguales), por tanto, o los 3 son clase 1 ó 2 todos (también los 3 iguales). Los otros tres pueden ser entonces combinaciones como 1,1,2 que al sumar 1 y 2 con un 0 de los iniciales obtenemos múltiplo de 3, o 1, 2, 2, donde ocurre lo mismo, por tanto de cualquier forma, llegaríamos a que es múltiplo de 3.

B2)Si los elementos son clase 1: Suponemos que no hay ningun 1 ni que los otros son todos 0 ó todos 2. Por tanto quedan las combinaciones 0, 0, 2 (donde sumando 0, 2 y un 1 incial llegamos a que son 0, o sea, múltiplo de 3) o 0, 2, 2 (donde sumando 0, 2 y 1 incial llegamos a la misma conclusión). Por tanto, ninguna combinación deja de ser múltiplo de 3.

B3) En caso de que fueran 2 de clase 2: Los otros no serían ni uno de ellos un 2, ni todos 0, ni todos 1. Las combinaciones restantes son: 0,0,1 (donde 0,1,2 sumarían 0, múltiplo de 3) y 0,1,1 (donde también 0,1,2 suman 0, y también son, por tanto, múltiplos de 3) Como hemos podido comprobar, ninguno de todos los casos posibles nos lleva a una contradicción, por tanto, todas las posibles combinaciones de 5 números, permiten, sumando 3 de ellos conseguir un número que sea múltiplo de 3

 
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