3. (Enero 2015) Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro
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Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

Queremos empezar el año con un pequeño rompecabezas con el que podréis construir un calendario para 2015, que además podrá ir variando a lo largo del año para mostraros los meses o algunas citas de grandes matemáticos de la historia. El calendario tiene forma de rombododecaedro, un poliedro con unas características muy interesantes y curiosas.

El rombododecaedro, un poliedro muy particular.

El Rombododecaedro (o dodecaedro rómbico) es un poliedro de 12 caras, todas con forma de rombo, que tiene 24 aristas y 14 vértices.
Entre las propiedades de este poliedro, una de nuestras preferidas es que es uno de los sólidos que rellenan el espacio, es decir, que se pueden colocar muchos rombododecaedros unos junto a otros de forma que no queden huecos. Pero sin duda su relación con los panales de abejas nos parece lo más sorprendente de este poliedro.

Las figuras que rellenan el espacio han traído de cabeza a los matemáticos durante siglos. El más famoso viene de la mano de un problema de apilamiento, el  llamado “problema de apilamiento de esferas” o Conjetura de Kepler (sí, el de las órbitas elípticas de los planetas), que ya en el 1611 intuía que no había una forma mejor de apilar esferas que aquella en la que los piratas amontonaban las balas de cañón. Kepler no encontró una demostración matemática, ¡y no se encontró hasta 1998!, gracias a que Hilbert la colocó en el número 18 de sus conocidos 23 problemas, pero esto le sirvió de puerta para profundizar en los sólidos que rellenan el espacio.

Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

Ilustración 1: Conjetura de Kepler

Los panales de abejas han inspirado esta búsqueda de poliedros que rellenan el espacio a lo largo de la Historia. El dato más antiguo del que se tiene constancia son las investigaciones de Pappus de Alejandría (340 d.C.), en la Colección Matemática escribió que las abejas saben exactamente que el hexágono contiene más miel que el triángulo o el cuadrado con la misma cantidad de materia gastada para su construcción.

Pero, ¿qué tiene que ver el panal de abejas con el rombododecaedro? Los panales tienen forma de prisma hexagonal y las abejas los cierran con tres rombos iguales, en una disposición que recuerda a la del rombododecaedro.
Los panales de abejas se unen por detrás, de forma que cada panal está unido en su parte posterior con la parte trasera de otro panal, y de tal forma que cada celda está en contacto con la parte de atrás de otras tres celdas. Esto llamó la atención de Kepler, quien dedicó parte de su estudio a esta zona de unión de los panales. ¿Sería esta también una inteligente forma de optimizar recursos? Durante siglos se creyó que esta forma era la mejor para los panales de abejas. Sin embargo, en 1964, László Fejes Tóth demostró matemáticamente que si la parte trasera del panal terminase en una determinada composición de dos hexágonos y dos cuadrados mejoraba la ya comentada disposición de tres rombos iguales. Está clara entonces la enorme inspiración que han supuesto los panales de abejas para el estudio de los poliedros que rellenan el espacio (como el rombododecaedro).

Pero no nos quedemos aquí, hay otras muchas características del rombododecaedro que destacar.

El rombododecaedro es  el poliedro dual del cuboctaedro (ver ilustración 2), es decir, que si marcamos en uno de ellos los puntos medios de las caras, al unirlos obtendremos el otro poliedro (ver ilustración 3).

Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

Ilustración 2: Cuboctaedro y rombododecaedro

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Ilustración 3: Cuboctaedro como dual del rombododecaedro

Además, el rombododecaedro es un sólido de Catalán, ya que se llama así a los poliedros duales de los sólidos arquimedianos, grupo al que pertenece el cuboctaedro porque en sus vértices se juntan siempre las mismas caras de la misma forma y sus caras son polígonos regulares de dos tipos, triángulos y cuadrados.

Para aprender más:

En el artículo de Raúl Ibáñez El rombododecaedro estrellado: arte, abejas y puzles (primera parte) podéis profundizar en las curiosidades y características del rombododecaedro.
En el libro “Princesas, abejas y Matemáticas”, que el CSIC editó y cuyo autor es David Martín de Diego, encontraréis sorpresas sobre las abejas y su relación con las matemáticas.

Construcción del Calendario de 2015 - Rombododecaedro

Para construir este calendario necesitamos pegamento, tijeras y la hoja que puedes descargar aquí: Calendario rombododecaedro 2015 - Divermates. Aunque parezca muy complicado no tardaremos más de 10 minutos en construirlo.

Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

  1. Primero recortaremos el conjunto completo de la hoja. Los rombos blancos de la parte derecha deben quedar con el conjunto.

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  2. Como hay que hacer varios dobleces, vamos a aprovechar para hacerlos antes de cortar y así ahorramos trabajo. Hay que doblar por todas las líneas rectas paralelas al borde derecho de la página, y todas en el mismo sentido, en "montaña" como se diría en origami. Es bastante sencillo hacerlo porque el corte en zig zag de los bordes nos sirve perfectamente como referencia.

    Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

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  3. Una vez doblado, tenemos que separar cada una de las cuatro piezas haciendo un corte en zig-zag siguiendo las líneas que cruzan la figura de izquierda a derecha.

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  4. Aplicamos pegamento en los rombos blancos. Es importante que haya pegamento por toda la superficie de este rombo, si no nos quedarán puntas despegadas que nos dificultarán posteriormente el montaje.

    Cuando hayamos terminado tendremos cuatro "anillos" formados por seis rombos. Si los miramos justo desde arriba parecen hexágonos.

    Si quieres puedes intentar ahora montar el rombododecaedro por ti mismo, o puedes continuar leyendo y te explicamos cómo entrelazar estas cuatro piezas para conseguirlo.

Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

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INSTRUCCIONES PARA MONTAR EL ROMBODODECAEDRO

  1. Lo primero será elegir cualquier par de piezas y colocarlas en la mesa de forma simétrica, como se muestra en la imagen:

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  2. Introducimos una dentro de la otra, haciendo coincidir los rombos centrales:

    Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

  3. Si presionamos en las partes de los anillos que quedan separadas, las que se ven en la parte inferior y superior de la foto anterior, podemos hacer que la figura se cierre un poco, y nos queden a la vista tres rombos que se tocan en sus ángulos obtusos y que vistos desde arriba forman un hexágono, alrededor del cuál se puede deslizar el tercer anillo, que introducimos hasta que coincida con los rombos de las piezas anteriores. En este momento ya nos quedará formado el poliedro.

    Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

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  4. Sólo nos queda insertar el cuarto anillo. Éste sirve fundamentalmente para dar un poco más de solidez al conjunto. Si te fijas en la pieza que tienes ahora entre las manos verás que hay 6 caras que están formadas por una única capa de papel, mientras que hay otras 6 que son caras "dobles". Ahora debes buscar la orientación que hace que los seis rombos del cuarto anillo cubran las seis caras de una sola capa de papel que tenías en el conjunto.Y te queda el rombododecaedro terminado por completo:

    Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

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    Y te queda el rombododecaedro terminado por completo:

    Calendario de 2015: Un Rompecabezas con forma de Rombododecaedro

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Pero... ¿no se quedan todos los meses a la vista? Efectivamente ése es el desafío, construir el poliedro de forma que te queden los meses que quieras hacia el exterior. De hecho tienes muchas opciones: puedes poner los 12 meses fuera, o sólo las citas de matemáticos, o 2 meses consecutivos y 10 citas, o 6 y 6, o 4 y 8... Puedes configurar el calendario como quieras e ir variándolo a lo largo de todo el año 2015.

De esta forma queremos desearos que el 2015 esté lleno de nuevos retos que superar, nuevos proyectos con los que disfrutar aprendiendo.

¡Feliz año 2015!

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