24. (Octubre de 2013) Homenaje al maestro
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Escrito por Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)   
Jueves 03 de Octubre de 2013

Homenaje al maestro

Desde hace diez años la Fundación de Ayuda contra la Drogadicción viene celebrando a principios de cada curso escolar, el día 30 de septiembre, el Homenaje al Maestro, que pretende reconocer la importancia de los maestros y maestras en la educación, formación y desarrollo de nuestros jóvenes, y que, por lo tanto, son de vital importancia para prevenir problemas como la drogadicción. Los objetivos de este homenaje (según aparece en la página web de la F.A.D., www.fad.es) son:

  • Destacar la importante labor educadora que cumplen el maestro y la maestra, quienes, junto a la familia, son los primeros formadores en valores.
  • Promover una movilización social educativa desde y por la sociedad civil. Lograr un homenaje a TODOS.
  • Resaltar la importancia extraordinaria que una buena educación y formación tiene a la hora de prevenir situaciones de riesgo social (drogodependencia, violencia, sexismo, racismo, etc.)
  • Crear conciencia y sensibilidad a la sociedad sobre la relevancia del papel de maestros y maestras como educadores y enseñantes y prestigiar su figura y su función.
  • Reforzar la coordinación y el apoyo mutuo entre la familia y la escuela.
  • Reclamar el apoyo y compromiso de la sociedad con los maestros y maestras con las funciones que desarrollan.
  • Agradecer a todos los maestros y maestras la labor realizada y la que la sociead les pide que sigan realizando.
  • Promover la recuperación de la ilusión y la alegría de los maestros y maestras por la función que desarrollan.

Homenaje al maestroHomenaje al maestro

La campaña de este año 2013, que ha sido diseñada por la agencia Bungalow 25, tiene por slogan… “Hay cosas que olvidas con el tiempo. Pero, afortunadamente, nunca olvidarás quién te las enseñó”. En el cartel de la campaña, que podemos ver en la siguiente imagen,

Homenaje al maestro

en la que aparece una raíz cuadrada, escrita con tiza sobre una pizarra, como símbolo de algo que hemos podido aprender en la escuela (el algoritmo de cálculo de la raíz cuadrada), pero que seguramente hemos olvidado.

Efectivamente, desde hace tiempo, el método de cálculo de las raíces cuadradas es percibido por la sociedad como un elemento de la educación, y en particular, en la educación matemática, que simboliza un aprendizaje que se olvida rápidamente, ya que no suele utilizarse en la vida cotidiana, sobre todo a raíz de la presencia masiva de calculadoras. Y más aún hoy en día, cuando ordenadores, teléfonos móviles, tabletas y demás artilugios electrónicos nos permiten calcular las raíces cuadradas de forma inmediata, sin más que apretar una simple tecla.

En conclusión, ¡adiós al algoritmo de cálculo de las raíces cuadradas!. A decir verdad, tampoco me parece tan importante conocer ese algoritmo, siempre que se conozca bien el significado y algunas sencillas propiedades de las raíces cuadradas. Otra cosa es el abuso en el uso de la calculadora en las clases de matemática, aunque esa es una cuestión que requeriría una discusión más larga y meditada, que dejaré para otra ocasión.

Ya que estamos hablando del algoritmo del cálculo de la raíz cuadrada, no estaría mal que lo recordáramos aquí, aunque solo sea a modo de anécdota. Para lo cual vamos a calcular la raíz cuadrada del número 68.357.

Homenaje al maestroa) Se separa, de derecha a izquierda, el número en grupos de 2: 6/83/57.

b) Se calcula la raíz cuadrada entera de 6 -que es 2-, se coloca en el lado derecho y se le  resta a 6 el cuadrado de 2, quedando 2.

c) Se bajan los dos siguientes números -83 en este caso-, quedando el número 283.

d) En la derecha se baja el doble del número que hay encima –el doble de 2 es 4- y se calcula el número n tal que 4n × n  “quepa” en 283. Como tanteo nos sirve dividir 28 entre 4, que da 7, pero 47 × 7 = 329, y no cabe. Por lo tanto, será el 6, ya que 46 × 6 = 276. Se apunta entonces el 6 al lado del 2 (en la parte derecha).

e) A continuación, se resta 276 a 283, quedando 7, se bajan los dos siguientes números, que formarán el 757, y se actua de forma análoga al punto d. Es decir, en la derecha se baja el doble de 26 –que es 52- y se busca un número m tal que 52m × m “quepa” en 757. Luego m = 1. Y se apunta 1 al lado de 26, siendo la raíz cuadrada buscada 261.

f) Para calcular el resto se le quita 521 × 1 = 521 al número 757, y queda 236.

En conclusión, la raíz cuadrada de 68.357 es 261, y el resto es 236. Lo que es lo mismo que decir que 2612 + 236 = 68.357.

Pero si además queremos añadir decimales a nuestro cálculo, deberemos seguir el mismo procedimiento, pero bajando dos ceros cada vez. Una cuestión interesante sería justificar el motivo por el cual funciona este algoritmo, y lo vamos a hacer por medio de un ejemplo.

Supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada del número 4.672. Como este número puede escribirse como 46 × 102 + 72, la parte entera de su raíz será de la forma (10a + b). Por lo tanto,

(10a + b)2 = a2 × 102 + b2 + 2 × 10 × ab = a2 × 102 + b [b + 2 × (10a)].

Y es esta igualdad la que nos va a permitir (como en el algoritmo) calcular las dos cifras de la parte entera de .

En primer lugar hay que calcular a para que a2 × 102 aproxime a 4.672, de hecho para que aproxime a 4.600, o lo que es lo mismo, que a2 aproxime a 46. Claramente a debe ser igual a 6 (puesto que 62 = 36, pero 72 = 49), que es nuestra primera cifra.

La segunda cifra es el número b tal que b [2 × (10a) + b] = b [120 + b] sea la mejor aproximación de 4.672 – 3.600 = 1.072. Y resulta que b debe de valer 8. Por lo tanto, la raíz cuadrada entera es 68, y el resto 1.072 – 8 [120 + 8] = 48.

Claramente, este ejemplo nos está dando las claves para entender los diferentes pasos del algoritmo.

Como ya hemos comentado al principio, hoy en día ya casi nadie se acuerda de este algoritmo, pero ¿qué haría yo si tuviese que calcular una raíz cuadrada y no dispusiera de una calculadora, tableta, ordenador o similar?. La respuesta es muy sencilla, tendría que ir aproximando el resultado poco a poco.

Por ejemplo, consideremos un número cualquiera de cinco cifras, 48.396. Una primera aproximación muy sencilla sería 200, ya que 2002 = 40.000. Pero aún nos quedarían esos 8.396 que sobran. Ojo! Aquí uno puede verse tentado a aproximar la raíz cuadrada de 8.396, pero sería incorrecto ya que la raíz cuadrada de la suma no es igual a la suma de las raíces cuadradas . O lo que es lo mismo, la suma de los cuadrados no es igual al cuadrado de la suma, x2 + y2 (x + y)2, sino que se verifica el binomio de Newton, (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy. Es decir, si vamos a añadir un número x al 200 para aproximar la raíz cuadrada de 48.396, hay que tener en cuenta que

(200 + x)2 = 40.000 + 400x + x2.

Luego, como vemos, si calculáramos un número x cuyo cuadrado fuese, más o menos, 8.396 nos pasaríamos ya que también aparece 400x. De hecho, vamos a actuar al revés, vamos a dividir 8.000 entre 400, que nos queda 20, y este será nuestro candidato x a sumarle a 200. Veámoslo,

2202 = 40.000 + 8.000 + 400 = 48.400,

y nos hemos quedado muy cerca del 48.396. Si queremos una aproximación entera por debajo, esta sería 219, cuyo cuadrado es 47.961, y el resto es 435.

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En general, para aproximar la raíz cuadrada de un número N, si lo aproximamos inicialmente con un número r (es decir, r2 está próximo a N), y queremos calcular el x tal que (r + x) esté próximo a N, hay que dividir N - r2 entre 2r, ya que (r + x)2 = r2 + x2 + 2rx. Y r + x será una buena aproximación siempre que x sea pequeño.

Para terminar el artículo de este mes, me gustaría mostrar el método de aproximación de la raíz cuadrada descrito en el manuscrito Bakhshali. Este manuscrito fue encontrado en 1881 en Bakhshali (antes India, ahora Pakistán), aunque los expertos no se ponen de acuerdo sobre la fecha de su origen. La mayoría habla de periodos comprendidos entre los años 0 y 400 d.c. (siendo la opinión más frecuente que podría ser de los siglos III o IV), pero hay quienes lo sitúan en el siglo VII, o incluso el siglo XII.

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Uno de los motivos por los cuales es importante conocer la fecha de creación de este manuscrito está en el hecho de que podría implicar que el concepto matemático del cero era conocido antes del trabajo de Brahmagupta en el siglo VII.

La aproximación que aparece en el manuscrito Bakhshali es la siguiente. Dado un número N, sea x el número natural cuyo cuadrado x2 esté más cercano a N, entonces

Veamos un ejemplo. Aproximemos la raíz cuadrada del número 13,7.

Como explica Vicente Meavilla en su libro Eso no ESTABA en mi LIBRO de MATEMÁTICAS (Almuzara, 2012), el símbolo de la raíz cuadrada, , fue introducido en 1525 por el matemático alemán Christoff Rudolff (1499-1545) en su obra Die Coss, primer libro de álgebra escrito en alemán, pero allí no se hacía uso de los índices para indicar el orden de la raíz. La colocación de los índices en su lugar, fue sugerida por el matemático francés Albert Girard (1595-1632), y dicha sugerencia fue recogida por el también matemático francés Michel Rolle (1652-1719) en su libro Traité d’Algèbre (1690).

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La empresa de calzado VANS utiliza el símbolo de la raíz en su logo.

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