Semejanza y la Sección áurea (Conceptos avanzados)
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Conceptos de Matemáticas

Objetivo:
Los alumnos aprenderán que las relaciones algebraicas de la sección áurea pueden deducirse directamente de la propiedad geométrica semejanza.

Requisitos previos
Conocimiento de ecuaciones cuadráticas. Estudio previo de la Sección áurea (“Encontrando a Phi”, y  “El hilo de oro – Una historia de Phi”)

Tiempo necesario
Una o dos clases de 45-60 minutos.

Materiales
Un Kit Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos

Procedimiento
figuraPrepara la clase dibujando en la pizarra las dos figuras del gráfico. Indica sólo el ángulo 108º del triángulo. Comienza la clase comentando a los alumnos que van a deducir algebraicamente la Sección áurea utilizando el concepto de semejanza. Señálales las figuras de la pizarra. ¿Qué figuras son? ¿Cómo se dividen? ¿Hay alguna relación entre cada figura y su división? Trabajando en parejas, los alumnos deben construir las dos figuras con el Sistema Zome, utilizando las varillas azules. También deben dibujar el triángulo en su cuaderno y señalar sus lados y sus ángulos. Dado que la longitud del segmento largo del lado dividido es x y el segmento corto es 1, pueden deducir la longitud del resto de lados. Deja unos minutos a los alumnos para que lo hagan antes de, entre todos, seguir el siguiente razonamiento.
figuraPrimero, por la información dada, la longitud total del segmento dividido es X+1. Por lo tanto, la longitud del otro segmento largo es X+1 porque hay dos lados semejantes en un triángulo isósceles. Segundo, la línea interior tiene la misma longitud que el segmento más largo del lado dividido ya que el triángulo de arriba también es isósceles, por lo que la longitud es X. Finalmente, la base de la figura total debe ser igual que la línea interior ya que el triángulo de abajo es también isósceles, así que su longitud es X.
Asegúrate de que todos los alumnos entienden el razonamiento y han señalado correctamente las longitudes, tal como se ha demostrado.
A continuación, haz que los alumnos construyan de nuevo los triángulos, ahora los dos separados para que lo vean más claro.
Y ahora repetid el proceso completo utilizando el rectángulo dividido. Comprueba con la clase que podemos relacionar los lados de ambas figuras de la siguiente manera:

ecuación

Multiplicando en cruz, tenemos:

ecuación

Deja 10 minutos a los alumnos para que intenten deducir  la Sección áurea a través de la ecuación cuadrática:

ecuación cuadrática

Por último, ve paso a paso con la clase.
Como ampliación, comentad la importancia de la Sección áurea en las matemáticas y el arte.

Evaluación
Pregunta a los alumnos por el proceso deductivo y revisa sus anotaciones en los cuadernos. Alcanzan los objetivos mínimos si señalan correctamente las longitudes de los lados de los triángulos y rectángulos, y siguen la deducción de la sección áurea. Superan ampliamente esos mínimos si son capaces ellos mismos de deducirla.

Estándares del NCTM
Desarrollo del número y sus relaciones (NCTM 5).
Estudio de la geometría de dos y tres dimensiones (Estándar NCTM 7)

Posibilidades de ampliación
Trabajo con trigonometría y simplificación algebraica con la Sección áurea (páginas 21-24 del Manual del Sistema Zome)

 
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