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Las funciones, un paseo por su historia
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Las funciones, un paseo por su historia
Categoría: Historia de las matemáticas
Autor:
Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro
Editorial:
Nivola. Colección Ciencia abierta
Año de publicación: 
2007
Nº de hojas:
176
ISBN:
978-84-96566-57-6

El libro se puede considerar como un recorrido a través del desarrollo histórico del concepto de función. Para explicarnos este proceso los autores dividen ese periodo histórico en dos partes, que diferencian hasta y a partir de la aparición del Cálculo. Concretamente esta fecha la fijan en 1620. De manera que la primera parte la inicia con las culturas prehelénicas y la cierra con la aparición del Cálculo. La segunda la fijan desde su aparición hasta nuestros días con los fractales y distribuciones. Cada una de las dos partes se divide en cinco capítulos, los cinco primeros son de periodos de tiempo muy amplios y, los cinco segundos, son periodos de más o menos regulares de un siglo. Ambas partes, como los autores señalan en la introducción, se pueden leer independientemente.

Antes de comentar los contenidos específicos del libro, cabe señalar que los autores se formaron como matemáticos en la escuela de Kolmogórov en Moscú y fue quien presidió el tribunal ante el que presentaron sus tesis doctorales, lo cual, indudablemente, es una buena referencia de su trabajo. El libro se lo dedican a Euler utilizando, como presentación, la definición que dio de función.

Para introducirnos en el tema. señalan que, en los inicios de las Matemáticas (Mesopotamia, Papiro del Rhind, tablillas de barro, otras culturas, etc), la idea de función, lógicamente, no existe pero si aparecen datos relacionados mediante tablas que, por otra parte, tienen la dificultad añadida de la difícil comprensión de los sistemas de numeración usados, unos posicionales y otros no. Sin embargo, así lo señalan, entender estas tablas es entender las relaciones funcionales que puedan existir entre los números que aparecen. Más tarde, con la aparición de la cultura helénica, aparecen cambios de contenidos que traen consigo un mayor estudio de la Geometría. Muestran, en el aspecto práctico, la importancia que les daban al uso del compás y regla para resolver problemas, que marcaba la validez de la resolución de un problema. El tomar la dirección de la Geometría parece indicar un alejamiento de la aparición de las funciones, sin embargo, esto no va a ser así.

En efecto, la aparición de las magnitudes inconmensurables y lo que hoy llamamos problemas clásicos (cuadratura del círculo, trisección del ángulo y duplicación del cubo) junto con los esfuerzos para resolverlos, trajo consigo la creación de diferentes curvas. Algo que, según señalan los autores, se hizo de forma subrepticia. Muestran cómo aparece y se crea la trisectriz, y su futuro uso para cuadrar el círculo (cuadratiz). En este punto explican los autores cómo, aunque no se habla de función, si se habla de relación entre magnitudes geométricas variables. Completan el capítulo con las cónicas a partir del corte de un cono por un plano con distintas inclinaciones. Personajes como Apolonio, Arquímedes o Pappus son, así mismo, presentados.

El siguiente paso es mostrarnos la matemática árabe, unida generalmente a la Astronomía, aunque previamente nos hacen una pequeña referencia a la matemática india, pues se encuentra en la base del aprendizaje de los árabes, a través de sus conquistas hacia el este (Persia, India). Lógicamente la gran figura de la matemática árabe que señalan es Al-Khwarizmi (siglos XIII-IX), procedente de las riberas del Mar Caspio. Como sabemos, Al-Khwarizmi dominó distintos ámbitos de las Matemáticas pero, los autores, se centran en sus estudios de ángulos y las tablas de valores de relaciones trigonométricas. Un hecho importante, que se destaca, es que desde la mitad del siglo XV el imperio y cultura árabe se debilitan, pero Europa, con su Renacimiento y herencia matemática árabe, está en condiciones de tomar el relevo del desarrollo de las Matemáticas.

Se señala como idea importante la creación, en los siglos anteriores, de la primeras universidades que recuperaron la figura de Aristóteles y su obra. En particular la Física con el estudio de la naturaleza del infinito y la divisibilidad de las cantidades continuas. Se estudia el movimiento y el cambio y se establece, de palabra, no algebraicamente como ahora lo conocemos, la relación entre el espacio y el tiempo en el movimiento uniforme. Trabajo realizado en el Merton College de Oxford.

De ese trabajo aparecen continuadores que van formulando nuevas ideas que ayudarán a la creación de la idea de función: Oresme, Galileo (estudio de la Cinemática), Torricelli, Napier, etc, son figuras de las que nos presentan sus aportaciones. Esta última parte del primer periodo que fijan los autores, se cierra con la segunda mitad del siglo XVI y primera del XVII y, en este momento, es cuando emergen los grandes matemáticos franceses: Viète, Descartes y Fermat. Su aportación, desde la creación de la Geometría Analítica, es fundamental para todo lo que va venir luego.

A partir de este momentos se entra en la segunda parte del libro. Como se ha dicho al principio, esta segunda parte se inicia con la aparición del Cálculo, lo cual significa hablar de Newton y Leibniz. La herramienta que crean los dos es, sin duda, la mayor aportación matemática de la historia. Los autores se centran, afortunadamente, en las aportaciones de cada uno y no en sus peleas. Otras dos figuras, alumnos de Newton, que aparecen en este capítulo son Taylor y MacLaurin y sus estudios de los desarrollos en serie. El gran salto ya está dado y, a partir de este momento, el progreso se hará más rápido.

Efectivamente, en el siglo siguiente, va a aparecer la figura del matemático más prolífico de la historia: Euler, al que le había precedido una familia de matemáticos suizos realmente sorprendente: los Bernoulli (Johann y Jacob, especialmente). Se señala en el libro cómo aparecen funciones nuevas (las trascendentes) que ayudan a resolver problemas relacionados con la Física (cicloide, catenaria, lemniscata, etc). Pero es Euler quien lleva más allá la idea de función, dándole la posibilidad de estudiarlas como entes matemáticos propios pues hasta ese momento eran consideradas como herramientas de resolver problemas, generalmente relacionados con la Física. Clasifica las funciones según criterios (algebraicas y trascendentes, explícitas e implícitas, etc) e introduce el término de expresión analítica.

El final del siglo XVIII fue importante por el desarrollo de la Física, especialmente la Mecánica y Fluidos, que trajo "nuevas necesidades matemáticas". En este apartado aparecen las figuras de Daniel Bernoulli, D’Alambert, Lagrange y Fourier. Cada uno de ellos es perfectamente retratado en su aportación al desarrollo de nuevas funciones y desarrollos en series trigonométricas.

El siglo siguiente es la búsqueda de la fundamentación del análisis matemático y el concepto de continuidad es el primero a precisar. Se señala que, aunque su obra no es conocida hasta 1930, es Bolzano quien da la primera definición, sin embargo, son otros grandes matemáticos los que van a aparecer en este proceso de formalización: Cauchy, Abel, Dirichlet, Riemann, Darboux, Weierstrass. Se fijan las relaciones entre derivabilidad y continuidad. A modo de ejemplo se cita la famosa función de Weierstrass:

función de Weierstrass

Función que es continua y no tiene derivada en ningún punto. La aparición de funciones extrañas (trabajos de Koch), que incluso se les llama funciones monstruosas, y son muchas veces rechazadas por grandes matemáticos (Hermite, Poincaré). Pero algunos de estos "monstruos" son el anticipo de una geometría de gran proyección en nuestros días. Hablamos de la Geometría Fractal.

El último capítulo, que finaliza en 1970, trata de explicar, en palabras de los autores, lo que en el siglo XX con la idea de representación analítica y las nuevas definiciones de función entre conjuntos arbitrarios, no necesariamente numéricos. Los matemáticos que contribuyen a este proceso son figuras de la talla de Borel, Baire, Lebesgue, Luzin, Dedekind o Peano, en la primera parte del siglo y, Kolmogórov, Sobolev y Schwartz en la segunda.

Podemos resumir que estamos ante un buen libro que cumple perfectamente su fin, que no es otro que introducirnos en el proceso histórico de la aparición, desarrollo y formalización del concepto de función, haciendo especial hincapié en lo que significó la aparición del Cálculo para el desarrollo de las funciones y, por otra parte, los matemáticos que la desarrollaron, con especial énfasis, en la figura de Euler.
 Materias: Función, curva, ecuación, cálculo, curvas transcendentes, funciones elementales.
 Autor de la reseña: Fernando Fouz Rodríguez (Berritzegune de Donostia)

 

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