De acuerdo al planteamiento del problema plantemos el siguiente sistema:
x + y + z = 100
x + 10y + 25z = 499

Donde las variables x, y, z indican el número de monedas de 1, 10 y 25 centavos respectivamente.

Si restamos las dos ecuaciones obtenemos 9y + 24z = 399, y dividiendo
por 3, 3y + 8z = 133.

Para resolver esta ecuación, despejamos:
y = (133 - 8z)/3= (44-2z) + (1-2z)/3= 44-2z + p
verificando p que 3p + 2z = 1, despejando,
z = (1-3p)/2 = (1-2p)/20-p = p-q

donde 1 - p = 2q, y por tanto, p = 1 - 2q. Ahora, vamos sustituyendo
y obteniendo

z = q -p = 3q -1,

y = 44 -2z + p = 47 - 8q,

x = 100 -y -z = 54+5q.

Además como x, y, z deben ser no negativos, q ha se ser menor o igual a 1 y
q ha de ser menor o igual a 5, lo que da lugar a los siguientes valores de x, y, z: