67. LOS AZULEJOS EN EL INSTITUTO

texto literario
del mes

imagen del mes

principal » Retos matemáticos » Histórico de problemas de tipo A

67. LOS AZULEJOS EN EL INSTITUTO

Índice del artículo
67. LOS AZULEJOS EN EL INSTITUTO
Página 2: Solución
Todas las páginas

Este modelo está formado por azulejos blancos y negros. Su anchura es de 7 azulejos. En el patio de un instituto hay uno como éste con una anchura de 149 azulejos. ¿Cuántos azulejos tendrá en total?. ¿Y si la anchura fuera de n azulejos?.

Este es un problema muy conocido y que suele aparecer de vez en cuando en libros relacionados con el tema que nos ocupa. .

a) En el primer apartado nos piden que calculemos el número de azulejos totales, cuando la anchura es 7. Al no ser demasiados los podemos contar uno a uno, pero nos interesa utilizar algún método más inteligente. Si nos fijamos, el número total de azulejos es igual a : S = 1+3+5+7+5+3+1.

Si nos damos cuenta la suma se compone de números impares. La suma S, también podemos ponerla de la siguiente manera:

S =2(1+3+5)+7.

Pero la suma consecutiva de números impares, comenzando desde el 1, coincide con un número cuadrado, como fácilmente se puede ver en el siguiente dibujo.

Por tanto S = 2(3.3)+7 = 25 azulejos

b) Si la anchura es de 149 azulejos se puede razonar de una manera similar, para así obtener la siguiente suma:

T = 2(1+3+5+...+147)+149 = 2(74.74)+149=11.101 azulejos

c) Para generalizar el problema, únicamente tenemos que tener un poco de cuidado. La cantidad total de azulejos, en el caso de anchura n, suponemos naturalmente que n es un número impar(n =2m+1), será:

M =2(1+3+5+....+2m-1)+2m+1 =...... haciendo cuentas y deshaciendo el cambio de variable , llegamos a que el número total de azulejos, en el caso de n azulejos de anchura, es igual a :

Volver