PRIMERA CONSECUENCIA

En todo triángulo aritmético, todas las celdas de la primera fila y primera columna son iguales a la celda generadora.
Por definición, cada celda del triángulo es igual a la suma de las celdas perpendicular y horizontal que le preceden inmediatamente.  Pero las celdas de la primera fila no tienen celdas perpendiculares que las precedan y las celdas de la primera columna no tienen celdas horizontales que las precedan. Por tanto, todas son iguales entre sí y, consecuentemente, al número generador.
Así, φ = G + 0, es decir: φ = G,
       A = φ + 0, es decir: A = φ
       σ = G + 0 , π = σ + 0 ,  y de modo similar para el resto.

SEGUNDA CONSECUENCIA

En cualquier triángulo aritmético, cada celda es igual a la suma de todas las celdas de la fila precedente, desde su propia columna hasta la primera, ambas inclusive.
Tómese cualquier celda, por ejemplo la ω. Digo que es igual a R + θ + ψ + φ , que son las celdas de la fila inmediata superior desde la columna de ω hasta la primera columna.
Esto resulta evidente si consideramos una celda como suma de sus celdas componentes.

dado que A y φ son iguales en virtud de la consecuencia anterior.
Por tanto: ω = R + θ + ψ + φ.

TERCERA CONSECUENCIA

En todo triángulo aritmético, cada celda es igual a la suma de todas las celdas de la columna precedente, desde su propia fila hasta la primera, ambas inclusive.
Tómese una celda cualquiera, por ejemplo la C. Digo que es igual a B + ψ + σ, que son las celdas de la columna precedente desde la fila de C hasta la primera fila.
Esto también se ve, como antes, por simple interpretación de las celdas.

dado que π = σ, en virtud de la primera consecuencia.
Por tanto: C = B + ψ + σ.

CUARTA CONSECUENCIA

En cualquier triángulo aritmético, cada celda excede en una unidad a la suma de todas las celdas limitadas por su fila y columna, ambas exclusive.
Tómese una celda cualquiera, por ejemplo ξ.
Digo que ξ - G = R + θ + ψ + φ + λ + π + σ + G, que son todas las celdas entre la fila ξωCBA y la columna ξSμ, ambas exclusive.
Esto se hace comprensible por interpretación de las celdas.

Por tanto: ξ = λ + R + π + θ + σ + ψ + G + φ + G.

Advertencia

En el enunciado he dicho que cada celda “excede en una unidad” dado que el generador es la unidad. Si fuese otro número, entonces el enunciado diría:  cada celda “excede en el número generador” .

Referencias bibliográficas

•  BOYER, C. B. (1986). Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial, S. A.

Referencias on line

•  Cambridge University Library.
  Pascal’s Treatise on the Arithmetic Triangle.
  http://www.lib.cam.ac.uk/RareBooks/PascalTraite/
•  David Pengelley.
  Pascal’s Treatise on Arithmetical Triangle: Mathematical Induction, Combinations, the Binomial Theorem and Fermat’s Theorem. A Historical Project in Three Parts.
  http://www.math.nmsu.edu/hist_projects/pascalII.pdf
•  The MacTutor History of Mathematics archive
  http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pascal.html