La tangente a la Parábola  (TH.OF.III.122–123)

Fermat utiliza, en la segunda parte del Methodus, el método de «adigualdad» para trazar la tangente a una parábola en un punto. Es la primera descripción que hace Fermat de su método de tangentes y manifiesta que el procedimiento es una aplicación de su método para los máximos y mínimos, con estas palabras (TH.OF.III.122):

«Nosotros reconducimos al método precedente la invención de las tangentes en puntos dados de curvas cualesquiera. [...]».
Fermat considera la parábola BDN con vértice D y diámetro DC, y se plantea trazar la tangente en un punto B de la misma. Sea ésta BE, que interseca al eje en el punto E.

Fermat continúa:
«[...]. Si se toma sobre la recta BE un punto cualquiera O, desde el que se traza la ordenada OI, al mismo tiempo que la ordenada BC desde el punto B, se tendrá: CD/DI> BC²/OI², puesto que el punto O es exterior a la parábola. [...]».

Hay en este párrafo dos elementos significativos. En primer lugar señalar que el punto O que Fermat toma sobre la tangente, puede ser cualquiera. Esta observación contradice las anacrónicas interpretaciones de las construcciones de Fermat en términos de límites. Por otra parte, Fermat aplica implícitamente, en este párrafo, la propiedad de generación de las cónicas de Apolonio, en forma de proporción.

Siguiendo a Fermat, escojamos en el segmento de tangente BE un punto O cualquiera y tracemos la ordenada OI, así como la BC.

De la propiedad de la parábola tendremos, según Apolonio (Las Cónicas, I.11):
BC²/PI² = CD/DI,

Además, OI>PI, por tanto se verifica:
CD/DI > BC²/OI².

Ahora, de la semejanza de los triángulos rectángulos  BCE, OIE (Euclides, VI.4), se tiene:
BC/OI = CE/IE (3).

De las dos últimas relaciones deducimos finalmente:
CD/DI > CE²/IE².

Pongamos CD=d, CI=e. Hemos de determinar el segmento subtangente, CE=a.

A partir de la última desigualdad, se tiene:
[d / (d–e)] > [a² / (a–e)²],

de donde resulta:
d·(a–e)² > a²·(d–e) ,

y de aquí:
da² + de² – 2dae > da² –a²e.

Ahora Fermat sustituye esta desigualdad  por la«adigualdad»:
da² + de² – 2dae da² –a²e  ,

y manifesta:
«”Adigualemos” según el método precedente; se tendrá eliminando términos comunes:
de² – 2dae –a²e».

Fermat continúa trasponiendo términos y dividiendo por e:
de + a² 2da,

ignora el término que todavía contiene la e, y obtiene: 
a² = 2da,

de donde resulta finalmente:
a = 2d.

Fermat comenta el resultado:
«Hemos probado de esta forma que CE es doble de CD, lo que es conforme a la verdad».

Y termina diciendo (TH.OF.III.123):
«Este método nunca falla, y puede ser aplicado a un gran número de cuestiones muy hermosas; mediante él, he encontrado los centros de gravedad de figuras limitadas por líneas rectas y curvas, así como los de los sólidos y otras numerosas cosas que podremos tratar en otra parte si dispongo del tiempo para ello..
 
Si aplicamos el resultado de Fermat, en términos actuales, a la obtención de la ecuación de la tangente a la parábola  y²=2px, tendríamos:
Sea m la pendiente de la recta tangente en el punto B de coordenadas B=(x₀,y₀), se obtiene:
m = BC/EC = y₀/2x₀,
de donde resulta para la ecuación de la tangente a la parábola en B:

y–y₀ = y₀(x–x₀) / 2x₀ .

Al hacer operaciones resulta: yy₀ = p(x+x₀), ecuación habitual de la tangente a la parábola.

Observemos, no obstante, que en el cálculo de la tangente, Fermat busca y encuentra simplemente la longitud de la subtangente, pero todavía no llama especialmente la atención sobre el ángulo determinado por el eje y la tangente –lo que para nosotros es la pendiente de la recta tangente–. Fermat ni siquiera considera la tangente como límite geométrico de las secantes determinadas por el punto de tangencia y los puntos de la curva “próximos” a él. De modo que debemos prevenirnos de las anacrónicas interpretaciones del método de tangentes de Fermat en términos de límites y derivadas.

Las primeras memorias de Fermat sobre la construcción de las tangentes eluden el origen y los fundamentos de su  ocurrente aplicación del método de extremos al trazado de estas líneas, y desde luego no queda nada claro ni su valor demostrativo, ni siquiera qué cantidad extrema se somete al método de máximos y mínimos en el trazado de una tangente. Y ello por mucho que Fermat escriba al principio de su aplicación del método a la obtención de la tangente a la parábola (TH.OF.III.122): «Nosotros reconducimos al método precedente la invención de las tangentes en puntos dados de curvas cualesquiera. [...]»; y también, al final (TH.OF.III.123): «Este método nunca falla, y puede ser aplicado aun gran número de cuestiones muy hermosas; [...]».

Y es muy cierto  que la aplicación del método funciona a la perfección para las curvas algebraicas, de ahí la confianza ilimitada de Fermat en su método. Pero la amplia y enérgica controversia pública que suscitó en el ámbito científico del Padre Mersenne, en especial con Descartes, va a obligar a Fermat,  cada vez con más intensidad, a que explique los fundamentos y en particular a que dilucide en qué forma concreta el método de tangentes deriva del método de máximos y mínimos, es decir, qué valor extremo puede encontrarse relacionado con el trazado de una tangente. Así lo hará Fermat en sucesivas memorias en las que con la intervención de la nueva metodología de La Geometría de Descartes y su propia Geometría Analítica de La Introducción a los Lugares Planos y Sólidos, Fermat resolverá de forma eminente las dificultades e inicia en su pensamiento matemático la transición hacia "lo aproximadamente igual", en el camino hacia lo infinitesimal.