El Teorema de Pitágoras en Los Elementos de Euclides

Pitágoras y Euclides. Fragmentos del códice de Nicolo da Bologna Las Virtudes y las Artes de 1355. Biblioteca Ambrosiana de Milán.

CITAS MEMORABLES SOBRE EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

• Mientras admiro a los que han observado la verdad de este teorema, ensalzo más todavía al autor de Los Elementos, no sólo porque consiguió una demostración mucho más lúcida, sino también porque obtuvo un teorema mucho más general, mediante los irrefutables argumentos del Libro VI [Euclides, VI.31].

Proclo. Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides. (Comentario a la Proposición XLVII)

• Hasta los 40 años [Hobbes] no se interesó por la Geometría, hecho que ocurrió por accidente al hojear casualmente en una biblioteca un libro de Los Elementos de Euclides, abierto por la Proposición I.47.

De la vida de T.Hobbes en Brief Lives de J.Aubrey, 1694.

• Antes de que la Santa Geometría cayera en mis manos, un tío mío me había contado, a los 12 años, el Teorema de Pitágoras. [...] Es maravilloso que un hombre como Euclides sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento.

Sketch autobiógráfico sobre A.Einstein. Philosopher-Scientist. P.A.Schilpp, 1951.

• En la demostración de Euclides del Teorema de Pitágoras están mezcladas de tal modo la intuición y la lógica, que cada paso lógico está evidenciado intuitivamente.

F.Klein. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. p.319.

• Cientos de pruebas ha sugerido la proposición pitagórica. [...] Una de las primeras es la de Los Elementos de Euclides que ha soportado la prueba del tiempo mejor que cualquier otra.

D.Smith. History of Mathematics. Dover. New York, 1958. Vol.2, p.289.

• Gran parte de lo que precede en Los Elementos de Euclides [a la Proposición I.47] apuntaba al gran Teorema de Pitágoras, que sirve de adecuado clímax al Libro I. [...] La sutileza de la demostración de Euclides es un ejemplo de la mejor Geometría.

W.Dunham. Viaje a través de los genios. Pirámide, Madrid, 1992. p.76.

El llamado Teorema de Pitágoras en la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides

El primer Libro I de Los Elementos de Euclides termina con el teorema más importantes de la Geometría elemental: El Teorema de Pitágoras y su recíproco (las Proposiciones I.47 y I.48), donde alcanza una verdadera apoteosis geométrica la forma magistral y sumamente bella con que el maestro alejandrino realiza la proeza de demostrar el legendario teorema, con una lógica impecable, una inusitada elegancia y una modesta economía de elementos geométricos construidos de forma muy cuidadosa en las proposiciones anteriores.
Euclides enuncia el Teorema de Pitágoras en la forma siguiente (Euclides: Elementos. traduc. y notas de M.L.Puertas. Gredos. Madrid, 1996. Libro I, p.260):

Proposición I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es equivalente a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Al no poder utilizar las proporciones en forma pitagórica –por la presencia inexorable de las magnitudes inconmensurables– que suponen la aplicación de la semejanza –que no aparecerá en Los Elementos hasta el Libro VI–, Euclides agudiza el ingenio y obtiene el magnífico resultado aplicando para su demostración, además de algún que otro postulado y axioma, elementos muy simples de Geometría elemental, estudiados previamente. Entre ellos:

• La construcción de cuadrados sobre segmentos (I.46).
• Ángulos adyacentes que suman dos rectos (I.14).
• El primer teorema de congruencia de triángulos (I.4).
• La relación entre triángulos y paralelogramos que tienen la misma base y situados entre las mismas paralelas (I.36, I.41).

«Los paralelogramos que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas tiene el mismo área» (Euclides I.36).

«Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y están situados entre las mismas paralelas el área del paralelogramo es doble de la del triángulo» (Euclides I.41).

Parece que Euclides está ansioso de situar lo más pronto posible, de la manera más rápida y directa, el Teorema de Pitágoras en Los Elementos, ante la perentoria necesidad de utilizarlo ulteriormente con asiduidad; pero ante la imposibilidad de aplicar de forma tan temprana la Teoría de la Proporción de Eudoxo –que será desarrollada en los Libros V y VI de Los Elementos–, con base en las proposiciones descritas (I.36, I.41), realiza, con una estética inefable y con una sutileza sublime, la siguiente demostración:

• Los triángulos DCB y ABI son iguales ya que AB=BD, BI=BC y el ángulo B del triángulo DCB es igual al ángulo B del triángulo ABI.
• El área del cuadrado ABDE es doble del área del triángulo DCB ya que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas.
• El área del rectángulo BIKJ es doble del área del triángulo ABI ya que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas.

Combinando los tres resultados anteriores, resulta que el área del rectángulo BIKJ es igual al área del cuadrado ABDE.

Razonando de forma análoga se demuestra que el área del rectángulo CHKJ es igual al área del cuadrado ACGF.
Luego, ya que el área del cuadrado BIHC es igual a la suma de las áreas de los rectángulos BIKJ y CHKJ, definitivamente, el área del cuadrado cuyo lado subtiende el ángulo recto, BIHC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados, ABDE y ACG, cuyos lados comprenden el ángulo recto.

La demostración euclídea del Teorema de Pitágoras es de naturaleza estrictamente geométrica. En ella juega un papel fundamental una figura que procede de una secuencia de construcciones que, mediante ciertas congruencias de triángulos, va transformando los cuadrados sobre los catetos en dos rectángulos que al encajarse componen el cuadrado sobre la hipotenusa. La figura euclídea se ha hecho famosa por las curiosas calificaciones que se le han dado. E. Lucas en Recréations mathématiques dice que los árabes le llamaban «silla de la novia», porque se parece a la silla que en algunos países orientales llevaba un esclavo a la espalda para transportar a la novia hasta la ceremonia. También se ha llamado «calesa de la mujer recién casada» (Bhaskara), «capucha de franciscano», «cola de pavo real», «figura del molino de viento». El filósofo Schopenhauer, que muy impresionado por el hecho del teorema, siempre se preguntó por la razón natural de la relación pitagórica, llamaba a la demostración de Euclides «una prueba paseando en zancos» y también «prueba de la ratonera».

ILUSTRACIONES HISTÓRICAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS EN EUCLIDES

Fragmentos de la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides en versiones históricas. 1: Manuscrito griego (siglo XII, Biblioteca Nacional de París). 2: Manuscrito chino (siglo XVII). 3: Manuscrito francés (siglo XV). 4: Manuscrito latino de fecha incierta (la primera traducción medieval al latín, hacia 1142, procede del árabe y es atribuida al filósofo escolástico Adelardo de Bath. 5: Página de un Comentario árabe de 1250 sobre Euclides. Los Elementos de Euclides es, sin duda alguna, el libro científico más traducido y divulgado a lo largo de la Historia de la Cultura. Es el texto que más veces se ha editado, después de La Biblia, siendo, además, la obra más influyente de toda la literatura matemática.

Fragmentos de la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides en versiones impresas. 1. Primera impresión (Ratdolt, Venecia, 1482). Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso. 2. Editio princeps de Los Elementos de Euclides (S.Grynaeus el viejo, Basilea, 1533). Biblioteca de la Universidad de Sevilla.