El Teorema de Pitágoras y su inverso –Proposiciones I.47 y I.48 de Los Elementos de Euclides– en la edición de Rodrigo Çamorano, primera en idioma castellano, Sevilla, 1576.

El Teorema de Pitágoras (I.47) en la edición de O.Byrne (1847)  de los Elementos de Euclides (Colbeck collection, Library of the University of British Columbia). Su largo título es The first six books of the Elements of Euclid, in which coloured diagrams and symbols are used instead of letters for the greater ease of learners. Es una versión muy peculiar de los seis primeros libros de Euclides –la Geometría plana elemental–, en la que Byrne reduce al mínimo el texto de las proposiciones y lo reemplaza por preciosas ilustraciones en color que son magníficos diagramas descriptivos de las construcciones de Euclides. La edición de Byrne es un sacrilegio para el idealismo platónico que presidía Los Elementos de Euclides, pero tiene un alto valor didáctico, casi de Geometría empírica. En la portada de esta edición se exhibe el anagrama euclídeo de la que debe ser considerada por el editor como la más importante de las 173 proposiciones descritas, la I.47 –el Teorema de Pitágoras–.

El recíproco del Teorema de Pitágoras en la Proposición I.48 de Los Elementos de Euclides

La Proposición I.47 marca la cumbre del Libro I de Los Elementos, pero la sagacidad de Euclides va todavía más allá, exhibiendo una demostración del resultado inverso del Teorema de Pitágoras que es un increíble modelo de economía de recursos en Geometría, en la Proposición I.48 (Euclides: Elementos. Gredos. Madrid, 1996. Libro I, p.263):
«Si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los restantes lados del triángulo, el ángulo comprendido por estos dos lados es recto».
En la demostración Euclides traza un segmento AD=AB y perpendicular a AC. De la hipótesis:  AB² + AC² = BC², y al ser rectángulo el triángulo ADC, resulta:
AD² + AC² = DC² (I.47, Teorema de Pitágoras).
Pero como AB=AD, será:
BC² = AB² + AC² = AD² + AC² = DC²,
por tanto: BC=DC; de manera que los triángulos DAC y CAB son congruentes, ya que al ser el lado AC común, los dos triángulos tienen los tres lados iguales.
Por tanto, el ángulo CAB que es igual al CAD  (Euclides I.8), debe ser recto.

Dos notas son dignas de ser remarcadas sobre esta demostración: su concisión y el hecho de gran valor lógico-deductivo de que Euclides aplica el propio Teorema de Pitágoras para demostrar su recíproco.

Por desgracia esta sencilla demostración es obviada en los libros de texto aunque paradójicamente es utilizada implícitamente tanto como el propio Teorema de Pitágoras y ello desde los antiguos agrimensores egipcios. En efecto, es curioso que mientras cualquier persona se enfrenta al Teorema de Pitágoras en su etapa escolar, muy pocas personas conocen la demostración del teorema inverso, aunque están seguros de su legitimidad y de hecho lo aplican cuando es necesario.

Las dos proposiciones, I.47 y I.48 constituyen una unidad secuencial, con la que se alcanza un clímax de esplendor geométrico en el final del Libro I de Los Elementos, ya que tomadas en conjunto caracterizan por completo los triángulos rectángulos, es decir:

«Un triángulo es rectángulo si y sólo si el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos».

He aquí otro relevante rasgo del alto valor pedagógico de Los Elementos de Euclides.

El inverso del Teorema de Pitágoras (Proposición I.48) en la edición de visual de O.Byrne (1847) de Los Elementos de Euclides.

En la Introducción general de la edición de Gredos de Los Elementos de Euclides (Libro I, pp.66–67), así como en el capítulo 4.2.4 de su obra La Trama de la Demostración (Alianza Editorial. Madrid, 1990, p.321), Luís Vega escribe:

«El carácter elemental de I.47 y I.48 convierte ambos teoremas en un broche de oro del Libro I desde un punto de vista disciplinario; son una viva muestra de la capacidad de Euclides para dominar por medios relativamente sencillos buena parte de la tradición geométrica antigua. […]. La prueba de esta versión, a todas luces propia de Euclides, discurre al margen de la teoría de la proporción y del recurso a la semejanza de triángulos […] lo que contribuye a hacer significativa la opción de Euclides en el contexto del Libro I, por un desarrollo inicial y sistemático en los términos elementales de la aplicación y transformación de áreas. […]. Revela, además, la capacidad de Euclides para reconstruir de modo sistemático un legado antiguo y forjar nuevas pruebas que se adecuen a esta reconstrucción».