8. Los poliedros en los tiempos modernos

La famosa Fórmula de Euler que relaciona caras, vértices y aristas de un sólido platónico: «en todo poliedro convexo, el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a dos» (V – A + C = 2), es posible que fuera conocida por Teeteto y por Arquímedes, pero es Descartes quien primero la establece hacia 1635, aunque este hecho no fue conocido hasta 1860 con la publicación de sus Oeuvres inédites por P.Tannery. Euler la obtuvo de nuevo de forma independiente en 1752, dando una sencilla prueba inductiva. Hoy se estudia como un invariante topológico y es uno de los tópicos más representativos de la moderna Topología Algebraica, en relación con la Característica de Euler-Poincaré de una superficie.

A partir de la Fórmula de Euler se puede demostrar por procedimientos muy elementales (Courant, 1971, Sagan, 1982) la proposición que culmina con broche de oro la composición de Euclides: la existencia de justamente cinco poliedros regulares distintos.

Cada poliedro se caracteriza por el símbolo (p,q) que significa que concurren en cada vértice q caras p-gonales. En el caso de un poliedro regular, además de la Fórmula de Euler se verifican las siguientes sencillas relaciones numéricas (Coxeter, 1989):

q·V = 2·A = p·C,

de donde se obtienen fórmulas que permiten expresar V, A  y C como funciones de p y q.
En efecto:

De donde se obtiene:

Ya que estos números deben ser positivos y así son los numeradores, también deben ser positivos los denominadores, de modo que los posibles valores de p y q están restringidos por la desigualdad: 2p+2q–pq > 0 o la equivalente (p–2)·(q–2) < 4, de modo que los únicos productos posibles pueden ser:

1·1  o  2·1  o  1·2  o  3·1  o  1·3.

Estas cinco posibilidades nos dan una prueba elemental del aludido Teorema de Euclides: la existencia de justamente cinco sólidos platónicos que corresponden a los tipos:

(3,3), (4,3), (3,4), (5,3), (3,5).

A finales del siglo XIX el estudio de los poliedros recibió nuevo impulso con la aplicación de la Teoría de Grupos en Matemáticas y Cristalografía, sobre todo por parte de F.Klein, que en su obra El Icosaedro y la Solución de las Ecuaciones de Quinto Grado, estudia los grupos de simetrías de los poliedros regulares obteniendo (Artmann, 1996):

• El Grupo Tetraédrico que es isomorfo con el grupo alternado A₄ de las permutaciones pares de cuatro elementos.
• El Grupo Octaédrico (que es el mismo que el grupo del cubo), isomorfo con el grupo simétrico S₄ de las permutaciones de cuatro elementos.
• El Grupo Icosaédrico (que es el mismo que el Grupo Dodecaédrico), isomorfo con el grupo alternado A₅ de las permutaciones pares de cinco elementos.