5. El Libro XIII de Los Elementos de Euclides

Según Boyer (1986), los comentaristas griegos atribuyen el contenido del Libro XIII de Los Elementos de Euclides (dedicado casi exclusivamente a las propiedades de los cinco sólidos regulares) a Teeteto.

Puesto que Euclides se formó en el ambiente platónico de La Academia de Atenas, debió sufrir la fascinación y el delirio de sus miembros por los cinco poliedros regulares, para incluirlos como clímax final, como glorificación y cenit de un tratado tan brillante como Los Elementos (González Urbaneja, 2000). De hecho Proclo, en su Comentario señala:

«Euclides era platónico,..., mejoró los trabajos de Teeteto,..., se propuso como objetivo final del conjunto de sus Elementos la construcción de los cinco poliedros regulares».

Esta opinión, basada en que Proclo como filósofo profesaba ciegamente como platónico, es manifiestamente exagerada, ya que la mayor parte de Los Elementos –los doce primeros libros, salvo algunas definiciones del Libro XI– no está relacionada, en modo alguno, con los sólidos platónicos.

El tratamiento euclídeo de los poliedros regulares es especialmente importante para la Historia de la Matemática porque contiene el primer ejemplo de un teorema fundamental de clasificación. En Euclides no se encuentra –como en Platón– una definición genérica de poliedro regular (Euclides, 1986; Heath, 1956) sino que los introduce uno por uno en las definiciones XI.12 (tetraedro), XI.25 (cubo), XI.26 (octaedro), XI.27 (icosaedro), XI.28 (dodecaedro).

Página inicial de la primera impresión de Los Elementos de Euclides que tiene lugar en Venecia en 1482 y se debe al impresor E.Ratdolt. Pertenece a un incunable de la Biblioteca Nacional de España. Esta edición se hizo a partir de una versión arábigo-latina que a su vez era una reelaboración de la traducción latina de Adelardo de Bath de 1142, comentada por Campano de Novara, a mediados del siglo XIII. Seguramente este texto contiene la primera impresión de figuras geométricas en un libro de contenido matemático. Para ello dispone de un margen de 8 cm. Ratdolt asegura haber desarrollado una tecnología que le permitía imprimir cualquier figura con la misma facilidad que el texto.

La construcción pitagórica de los poliedros regulares pudo ser una generalización evidente al espacio de los mosaicos del plano ya que a juzgar por un testimonio de Proclo, los pitagóricos descubrieron que los únicos polígonos regulares que podían recubrir un plano (a modo de mosaico) son el triángulo, el cuadrado y el hexágono, según el gráfico siguiente:

En efecto: si m polígonos regulares de n lados coinciden en un punto, ya que los ángulos interiores de un polígono de n lados suman [(n-2)180º] (resultado atribuido a Pitágoras) se verifica: =360º, de donde resulta la ecuación: m(n-2)=2n, cuyas únicas soluciones enteras son: m=6, n=3 (triángulos), m=4, n=4 (cuadrados), m=3, n=6 (hexágonos).

Este estudio aplicado a los mosaicos puede aplicarse a los poliedros con la necesaria modificación de que la concurrencia de m polígonos regulares de n lados en un vértice da un ángulo sólido, de modo que la suma de los ángulos de los polígonos concurrentes no debe ser mayor de 360º, es decir: <360º (Euclides XI.21).

El objeto de los Teoremas del Libro XIII de Euclides es el de inscribir cada uno de los poliedros regulares en una esfera, construcciones que Euclides, con una extraordinaria habilidad geométrica, va obteniendo sucesivamente en las Proposiciones XIII.13 – XIII.17, hallando la razón de la arista del sólido al radio R de la esfera circunscrita, obteniendo los resultados que se sintetizan en la tabla adjunta.

El libro XIII de Los Elementos y con él toda la obra de Euclides alcanza su colofón final en la última proposición, la XIII.18:

«Construir los cinco poliedros regulares inscritos en la misma esfera y comparar las aristas de las cinco figuras»:

Euclides traza la figura siguiente, tomando:

AB diámetro de la esfera
AC = CB, AD = 2DB,
AH = AB, CL = KC.

Y demuestra, paso a paso, utilizando numerosas proposiciones anteriores (en particular las de la sección áurea) que:

Siendo la relación entre ellas:

• t² = (4/3) o² = 2c².
• o² = (3/2) c².
• La arista i del icosaedro es mayor que  la arista d del dodecaedro.

La última proposición de Euclides acaba, a su vez, con el teorema de clasificación de los poliedros:

«Ninguna otra figura, además de estas cinco, se puede construir con polígonos equiláteros y equiángulos».

La demostración es similar a la de los mosaicos pitagóricos, pero ahora hay que resolver una inecuación en números enteros: la que resulta de la Proposición XI.21: <360º,  si la concurrencia en un vértice es de m polígonos regulares de n lados.

Esta inecuación es equivalente a (m–2)·(n–2)<4 que da como soluciones geométricas:
para m=3 , para m=4, n=3 (octaedro), para m=5, n=3  (icosaedro).